还剩23页未读，
继续阅读
2022-2023学年江西省南昌市青云谱区江铃学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）
展开
这是一份2022-2023学年江西省南昌市青云谱区江铃学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌市青云谱区江铃学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（共6小题，共18分）
1．计算|﹣2|的结果为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．2a2+3a2＝6a2
C．2a2•a3＝2a6 D．
3．如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（ ）
A．这次调查的样本容量是200
B．全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有500人
C．扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36°
D．被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人
6．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
7．要使有意义，x应满足的条件是 ．
8．我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为5923000牛．将5923000用科学记数法表示应为 ．
9．非零实数m，n（m≠n）满足m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，则＝ ．
10．如图，点A是直线y＝﹣2x+3上的动点，过点A作AB垂直x轴于点B，y轴上存在点C，能使以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．请写出所有符合条件的点C的坐标 ．
三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）
11．解不等式组，并在数轴上表示解集，
12．某地新茶上市，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求该茶商每天的最大利润．
四、解答题（本大题共9小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．某校八年级计划在开学第二周的星期二至星期五开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期三的概率是 ；
（2）甲同学随机选择两天．请用列表或画树状图的方法求其中有一天是星期三的概率．
14．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中作出圆心O．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
16．如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.7米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，在点C处测得摄像头M的仰角为60°，求学校大门ME的高是多少米．
17．为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是 人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于 度；
（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
18．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于A，B两点，与x轴交于点C（﹣2，0），点A的横坐标为1，S△AOC＝2．
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
19．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．
（1）若PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，BC＝6，求CE的长度．
20．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；
（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+a﹣5与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若P（n，c）和Q（2，b）是抛物线上两点，且c＜b，求n的取值范围；
（3）连接BC，若M（xM，yM）是y轴左侧抛物线上的一点，N为x轴上一动点，当MN∥BC，且MN＞BC时，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．计算|﹣2|的结果为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
【分析】利用绝对值的定义即可求解．
解：|﹣2|＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的定义，比较简单．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．2a2+3a2＝6a2
C．2a2•a3＝2a6 D．
【分析】分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断．
解：A、（﹣a3）2＝a6，此选项不合题意；
B、2a2+3a2＝5a2，此选项不合题意；
C、2a2•a3＝2a5，此选项不合题意；
D、，此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方的运算法则．
3．如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据左视图是从左边看，得出结论即可．
解：由题意知，原几何体的左视图为一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的性质得，将序号②④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形，再利用概率公式进行计算即可．
解：根据轴对称图形的性质得，将序号②④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形，
∴与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质，概率公式等知识，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
5．某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（ ）
A．这次调查的样本容量是200
B．全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有500人
C．扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36°
D．被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人
【分析】根据统计图分别判断各个选项即可．
解：∵10÷5%＝200，
∴这次调查的样本容量为200，
故A选项结论正确，不符合题意；
∵1600×＝400（人），
∴全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有400人，
故B选项结论不正确，符合题意；
∵200×25%＝50（人），
∴被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人，
故D选项结论正确，不符合题意；
∵360°×＝36°，
∴扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36°，
故C选项结论正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查统计的知识，熟练掌握扇形统计图等统计的知识是解题的关键．
6．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＞﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．
解：∵函数y＝的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，
∴k＞﹣1，
∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x＝﹣＝，＜﹣1，
∴对称轴在直线x＝﹣1的左边．
∴当x＝0时，y＝k2＜1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
7．要使有意义，x应满足的条件是 x＞8 ．
【分析】根据二次根式（a≥0）以及分母不为0可得：x﹣8＞0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
x﹣8＞0，
解得：x＞8，
故答案为：x＞8．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0）以及分母不为0是解题的关键．
8．我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为5923000牛．将5923000用科学记数法表示应为 5.923×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：5923000＝5.923×106．
故答案为：5.923×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．非零实数m，n（m≠n）满足m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，则＝ ．
【分析】根据已知判断出m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
解：∵实数m，n（m≠n）满足等式m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，
∴m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣2，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两实数根是解题的关键．
10．如图，点A是直线y＝﹣2x+3上的动点，过点A作AB垂直x轴于点B，y轴上存在点C，能使以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．请写出所有符合条件的点C的坐标 （0，1）、（0，0）、（0，﹣3）、（0，） ．
【分析】等腰直角三角形可以以A、B、C任意一个为直角顶点，所以分三种情况讨论．以A为直角顶点时AB＝AC，以B为直角顶点时，由于AB⊥x轴，所以C点为原点，以C为顶点时，AC＝BC，因A在直线上，AB⊥x轴，C在y轴，可列方程求得C点的坐标．
解：以A、B、C为顶点的等腰直角三角形分为以A为直角顶点，以B为直角顶点，以C为直角顶点三种情况．
设A（x，y），B（x，0），C（0，c），
（1）以A为直角顶点，则AB、AC为等腰的两条边，
∴若y＝x＝c．
由A在直线y＝﹣2x+3得：x＝﹣2x+3
∴x＝1，y＝1故得C（0，1）．
若y＝﹣x＝c的情况，
∴﹣x＝﹣2x+3，解得x＝3，
C的坐标为（0，﹣3）
（2）以B为直角，则AB，BC为等腰的两条边，
∴C（0，0）．
（3）以C为直角，则AC，BC为等腰的两条边，
此时y2＝2×（x2+c2），（y﹣c）2+x2＝x2+c2，
又y＝﹣2x+3，
∴联立解得：c＝
故得C（0，）．
综上所述：C的所有可能值为（0，1）（0，0）（0，﹣3）（0，）．
【点评】本题考查的是思维的紧密性及直线和等腰直角三角形的有关知识，考虑问题一定要全面，分类讨论．
三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）
11．解不等式组，并在数轴上表示解集，
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
数轴表示如图：．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题关键是准确求解每个不等式．
12．某地新茶上市，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求该茶商每天的最大利润．
【分析】（1）根据“每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤”列函数关系式即可；
（2）根据每天的利润＝每斤的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值．
解：（1）根据题意得，y＝60﹣2x；
（2）设茶商每天的利润为w元，根据题意得，w＝（20+x）（﹣2x+60）＝﹣2（x﹣5）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝5时，w最大＝1250元，
答：该茶商每天的最大利润为1250元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
四、解答题（本大题共9小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．某校八年级计划在开学第二周的星期二至星期五开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期三的概率是 ；
（2）甲同学随机选择两天．请用列表或画树状图的方法求其中有一天是星期三的概率．
【分析】（1）由题意得，乙同学随机选择连续的两天可能出现结果有3种，其中有一天是星期三的结果有2种，根据概率公式可得答案．
（2）列表得出所有等可能的结果，以及甲同学随机选择两天，其中有一天是星期三的结果，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由题意得，乙同学随机选择连续的两天可能出现结果有：（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），共3种，
其中有一天是星期三的结果有2种，
∴其中有一天是星期三的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
星期二
星期三
星期四
星期五
星期二
（星期二，星期三）
（星期二，星期四）
（星期二，星期五）
星期三
（星期三，星期二）
（星期三，星期四）
（星期三，星期五）
星期四
（星期四，星期二）
（星期四，星期三）
（星期四，星期五）
星期五
（星期五，星期二）
（星期五，星期三）
（星期五，星期四）
共有12种等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6种，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期三的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中作出圆心O．
【分析】（1）延长BA、CA分别交半圆于F、E，利用圆周角定理得到∠E＝∠B＝∠C＝∠F，则EF∥BC；
（2）延长BE、CF交于G，连接GA并延长与直径交点即为圆心．
解：（1）如图，EF为所作；
（2）如图，点O为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
【分析】（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE＝CD，DE＝FE，即可得出答案；
（2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC＝90°，由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF是矩形．进而求出CD＝AD即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到，
∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，
且AE＝CE，DE＝FE，
故四边形ADCF是平行四边形．
（2）解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．
理由如下：
在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°．
而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形．
又∵∠ACB＝90°，
∴，
故四边形ADCF是正方形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形ADCF是矩形是解题关键．
16．如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.7米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，在点C处测得摄像头M的仰角为60°，求学校大门ME的高是多少米．
【分析】根据题意得：AC＝BD＝EF＝1.7米，AB＝CD＝6米，∠MFD＝90°，再利用三角形的外角性质可得∠CDM＝∠CMD＝30°，从而可得CD＝CM＝6米，然后在Rt△MCF中，利用锐角三角函数的定义求出MF的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
解：由题意得：
AC＝BD＝EF＝1.7米，AB＝CD＝6米，∠MFD＝90°，
∵∠MCF是△MCD的一个外角，
∴∠MCF＝∠CDM+∠CMD，
∴∠CMD＝∠MCF﹣∠CDM＝30°，
∴∠CDM＝∠CMD＝30°，
∴CD＝CM＝6米，
在Rt△MCF中，MF＝MC•sin60°＝6×＝3（米），
∴ME＝MF+EF＝（1.7+3）米，
∴学校大门ME的高是（1.7+3）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是 60 人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于 108 度；
（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
【分析】（1）用“A”的频数除以所占比例即可得出答案；
（2）求出“C”的频数，补全条形统计图即可；
（3）用360°乘以“B”所占的比例即可；
（4）画出树状图，由概率公式即可得出结果．
解：（1）本次随机调查的学生人数＝15÷25%＝60人；
故答案为：60；
（2）60﹣15﹣18﹣9＝18（人），补全条形统计图如图1所示：
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角＝360°×＝108°，
故答案为：108；
（4）画树状图如图2所示：
共有16个等可能的结果，
小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；读懂题意，画出树状图是解题的关键．
18．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于A，B两点，与x轴交于点C（﹣2，0），点A的横坐标为1，S△AOC＝2．
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
【分析】（1）根据C的坐标和S△AOC＝2求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数及反比例函数的表达式；
（2）联立方程求得B的坐标，根据图象即可求得．
解：（1）∵C（﹣2，0），S△AOC＝2．
∴OC＝2，OC•|yA|＝2，
∴|yA|＝2，
∵点A在第一象限，
∴A（1，2），
∵A点在反比例函数y＝图象上，
∴m＝1×2＝2，
∵一次函数y＝kx+b经过A（1，2），C（﹣2，0），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵解得或，
∴B（﹣3，﹣），
∴反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围：x＜﹣3或0＜x＜1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式．
19．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．
（1）若PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，BC＝6，求CE的长度．
【分析】（1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得∠DFE＝∠PBF，∠D＝∠DBO，然后根据圆周角定理证明△DEF是直角三角形，据此即可证得∠PBA＝90°，从而证明PB是切线；
（2）根据三角形的中位线定理求得OE的长，然后根据垂径定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵PF＝PB，
∴∠PFB＝∠PBF，
又∵∠DFE＝∠PFB，
∴∠DFE＝∠PBF，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC．
又∵OD∥BC，
∴OD⊥AC．
∴在直角△DEF中，∠D+∠DFE＝90°，
又∵OD＝OB，
∴∠D＝∠DBO，
∴∠DBO+∠PBE＝90°，即PB⊥AB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥BC，OA＝OB，
∴OE＝BC＝×6＝3．
∵OD⊥AB，
∴EC＝AE．
∵在直角△OAE中，OA＝AB＝×10＝5，
∴AE＝＝＝4．
∴EC＝4．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及等边对等角的性质，本题中证明OD⊥AC是关键．
20．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；
（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
【分析】（1）作CH⊥y轴于H，证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形的性质得到BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，求出OH，得到C点坐标；
（2）证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的性质得到PA＝CQ；
（3）根据C、P，Q三点共线，得到∠BQC＝135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA＝∠BQC＝135°，根据等腰三角形的性质求出OP，得到P点坐标．
解：（1）作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，
∴OH＝OB+BH＝4，
∴C点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，
∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC，
在△PBA和△QBC中，
，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA＝CQ；
（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP＝45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC＝135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA＝∠BQC＝135°，
∴∠OPB＝45°，
∴OP＝OB＝1，
∴P点坐标为（1，0）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+a﹣5与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若P（n，c）和Q（2，b）是抛物线上两点，且c＜b，求n的取值范围；
（3）连接BC，若M（xM，yM）是y轴左侧抛物线上的一点，N为x轴上一动点，当MN∥BC，且MN＞BC时，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴求出a的值，即可求函数的解析式；
（2）抛物线开口向上，图象上的点离对称轴越远对应的函数值越大，由此可得|n+1|＜3，求出n的范围即可；
（3）求出直线MN的解析式，确定N点坐标，再由MN＞BC，可得+2xM﹣3|＞3，求出xM的取值范围即可．
解：（1）∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
解得a＝2，
∴y＝x2+2x﹣3，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）∵P（n，c）和Q（2，b）是抛物线上两点，且c＜b，
∴|n+1|＜3，
解得﹣4＜n＜2；
（3）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），A（﹣3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝3x﹣3，
∵MN∥BC，
∴直线MN的解析式为y＝3x+yM﹣3xM，
∴N（xM﹣yM，0），
∵MN＞BC，
∴|yM|＞，
∴|yM|＞3，
∵yM＝+2xM﹣3，
∴+2xM﹣3|＞3，
解得﹣2＜xM＜0或xM＜﹣1﹣．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两直线平行k值相等，绝对值不等式的解法是解题的关键．
2022-2023学年江西省南昌市青云谱区江铃学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（共6小题，共18分）
1．计算|﹣2|的结果为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．2a2+3a2＝6a2
C．2a2•a3＝2a6 D．
3．如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（ ）
A．这次调查的样本容量是200
B．全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有500人
C．扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36°
D．被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人
6．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
7．要使有意义，x应满足的条件是 ．
8．我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为5923000牛．将5923000用科学记数法表示应为 ．
9．非零实数m，n（m≠n）满足m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，则＝ ．
10．如图，点A是直线y＝﹣2x+3上的动点，过点A作AB垂直x轴于点B，y轴上存在点C，能使以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．请写出所有符合条件的点C的坐标 ．
三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）
11．解不等式组，并在数轴上表示解集，
12．某地新茶上市，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求该茶商每天的最大利润．
四、解答题（本大题共9小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．某校八年级计划在开学第二周的星期二至星期五开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期三的概率是 ；
（2）甲同学随机选择两天．请用列表或画树状图的方法求其中有一天是星期三的概率．
14．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中作出圆心O．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
16．如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.7米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，在点C处测得摄像头M的仰角为60°，求学校大门ME的高是多少米．
17．为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是 人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于 度；
（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
18．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于A，B两点，与x轴交于点C（﹣2，0），点A的横坐标为1，S△AOC＝2．
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
19．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．
（1）若PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，BC＝6，求CE的长度．
20．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；
（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+a﹣5与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若P（n，c）和Q（2，b）是抛物线上两点，且c＜b，求n的取值范围；
（3）连接BC，若M（xM，yM）是y轴左侧抛物线上的一点，N为x轴上一动点，当MN∥BC，且MN＞BC时，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．计算|﹣2|的结果为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
【分析】利用绝对值的定义即可求解．
解：|﹣2|＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的定义，比较简单．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．2a2+3a2＝6a2
C．2a2•a3＝2a6 D．
【分析】分别根据幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方逐一计算即可判断．
解：A、（﹣a3）2＝a6，此选项不合题意；
B、2a2+3a2＝5a2，此选项不合题意；
C、2a2•a3＝2a5，此选项不合题意；
D、，此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法及分式的乘方的运算法则．
3．如图，该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据左视图是从左边看，得出结论即可．
解：由题意知，原几何体的左视图为一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤⑥中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的性质得，将序号②④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形，再利用概率公式进行计算即可．
解：根据轴对称图形的性质得，将序号②④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形，
∴与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质，概率公式等知识，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
5．某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，则下列说法中不正确的是（ ）
A．这次调查的样本容量是200
B．全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有500人
C．扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36°
D．被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人
【分析】根据统计图分别判断各个选项即可．
解：∵10÷5%＝200，
∴这次调查的样本容量为200，
故A选项结论正确，不符合题意；
∵1600×＝400（人），
∴全校1600名学生中，估计最喜欢体育课外活动的大约有400人，
故B选项结论不正确，符合题意；
∵200×25%＝50（人），
∴被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人，
故D选项结论正确，不符合题意；
∵360°×＝36°，
∴扇形统计图中，科技部分所对应的圆心角是36°，
故C选项结论正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查统计的知识，熟练掌握扇形统计图等统计的知识是解题的关键．
6．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数k＞﹣1，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案．
解：∵函数y＝的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，
∴k＞﹣1，
∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x＝﹣＝，＜﹣1，
∴对称轴在直线x＝﹣1的左边．
∴当x＝0时，y＝k2＜1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，正确判断抛物线开口方向和对称轴位置是解题关键．属于基础题．
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
7．要使有意义，x应满足的条件是 x＞8 ．
【分析】根据二次根式（a≥0）以及分母不为0可得：x﹣8＞0，然后进行计算即可解答．
解：由题意得：
x﹣8＞0，
解得：x＞8，
故答案为：x＞8．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式（a≥0）以及分母不为0是解题的关键．
8．我国神舟十三号载人飞船的起飞推力为5923000牛．将5923000用科学记数法表示应为 5.923×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：5923000＝5.923×106．
故答案为：5.923×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．非零实数m，n（m≠n）满足m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，则＝ ．
【分析】根据已知判断出m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
解：∵实数m，n（m≠n）满足等式m2﹣m﹣2＝0，n2﹣n﹣2＝0，
∴m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣2，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，n是方程x2﹣x﹣2＝0的两实数根是解题的关键．
10．如图，点A是直线y＝﹣2x+3上的动点，过点A作AB垂直x轴于点B，y轴上存在点C，能使以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．请写出所有符合条件的点C的坐标 （0，1）、（0，0）、（0，﹣3）、（0，） ．
【分析】等腰直角三角形可以以A、B、C任意一个为直角顶点，所以分三种情况讨论．以A为直角顶点时AB＝AC，以B为直角顶点时，由于AB⊥x轴，所以C点为原点，以C为顶点时，AC＝BC，因A在直线上，AB⊥x轴，C在y轴，可列方程求得C点的坐标．
解：以A、B、C为顶点的等腰直角三角形分为以A为直角顶点，以B为直角顶点，以C为直角顶点三种情况．
设A（x，y），B（x，0），C（0，c），
（1）以A为直角顶点，则AB、AC为等腰的两条边，
∴若y＝x＝c．
由A在直线y＝﹣2x+3得：x＝﹣2x+3
∴x＝1，y＝1故得C（0，1）．
若y＝﹣x＝c的情况，
∴﹣x＝﹣2x+3，解得x＝3，
C的坐标为（0，﹣3）
（2）以B为直角，则AB，BC为等腰的两条边，
∴C（0，0）．
（3）以C为直角，则AC，BC为等腰的两条边，
此时y2＝2×（x2+c2），（y﹣c）2+x2＝x2+c2，
又y＝﹣2x+3，
∴联立解得：c＝
故得C（0，）．
综上所述：C的所有可能值为（0，1）（0，0）（0，﹣3）（0，）．
【点评】本题考查的是思维的紧密性及直线和等腰直角三角形的有关知识，考虑问题一定要全面，分类讨论．
三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）
11．解不等式组，并在数轴上表示解集，
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
数轴表示如图：．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题关键是准确求解每个不等式．
12．某地新茶上市，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加x元，每天售出y斤．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求该茶商每天的最大利润．
【分析】（1）根据“每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤”列函数关系式即可；
（2）根据每天的利润＝每斤的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值．
解：（1）根据题意得，y＝60﹣2x；
（2）设茶商每天的利润为w元，根据题意得，w＝（20+x）（﹣2x+60）＝﹣2（x﹣5）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝5时，w最大＝1250元，
答：该茶商每天的最大利润为1250元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
四、解答题（本大题共9小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．某校八年级计划在开学第二周的星期二至星期五开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．
（1）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期三的概率是 ；
（2）甲同学随机选择两天．请用列表或画树状图的方法求其中有一天是星期三的概率．
【分析】（1）由题意得，乙同学随机选择连续的两天可能出现结果有3种，其中有一天是星期三的结果有2种，根据概率公式可得答案．
（2）列表得出所有等可能的结果，以及甲同学随机选择两天，其中有一天是星期三的结果，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）由题意得，乙同学随机选择连续的两天可能出现结果有：（星期二，星期三），（星期三，星期四），（星期四，星期五），共3种，
其中有一天是星期三的结果有2种，
∴其中有一天是星期三的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
星期二
星期三
星期四
星期五
星期二
（星期二，星期三）
（星期二，星期四）
（星期二，星期五）
星期三
（星期三，星期二）
（星期三，星期四）
（星期三，星期五）
星期四
（星期四，星期二）
（星期四，星期三）
（星期四，星期五）
星期五
（星期五，星期二）
（星期五，星期三）
（星期五，星期四）
共有12种等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6种，
∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期三的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；
（2）在图2中作出圆心O．
【分析】（1）延长BA、CA分别交半圆于F、E，利用圆周角定理得到∠E＝∠B＝∠C＝∠F，则EF∥BC；
（2）延长BE、CF交于G，连接GA并延长与直径交点即为圆心．
解：（1）如图，EF为所作；
（2）如图，点O为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和圆周角定理．
15．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
【分析】（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE＝CD，DE＝FE，即可得出答案；
（2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC＝90°，由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF是矩形．进而求出CD＝AD即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到，
∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，
且AE＝CE，DE＝FE，
故四边形ADCF是平行四边形．
（2）解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．
理由如下：
在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，
∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°．
而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形．
又∵∠ACB＝90°，
∴，
故四边形ADCF是正方形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形ADCF是矩形是解题关键．
16．如图，某学校门口安装了体温监测仪器，体温检测有效识别区域AB长为6米，当身高为1.7米的学生进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，在点C处测得摄像头M的仰角为60°，求学校大门ME的高是多少米．
【分析】根据题意得：AC＝BD＝EF＝1.7米，AB＝CD＝6米，∠MFD＝90°，再利用三角形的外角性质可得∠CDM＝∠CMD＝30°，从而可得CD＝CM＝6米，然后在Rt△MCF中，利用锐角三角函数的定义求出MF的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
解：由题意得：
AC＝BD＝EF＝1.7米，AB＝CD＝6米，∠MFD＝90°，
∵∠MCF是△MCD的一个外角，
∴∠MCF＝∠CDM+∠CMD，
∴∠CMD＝∠MCF﹣∠CDM＝30°，
∴∠CDM＝∠CMD＝30°，
∴CD＝CM＝6米，
在Rt△MCF中，MF＝MC•sin60°＝6×＝3（米），
∴ME＝MF+EF＝（1.7+3）米，
∴学校大门ME的高是（1.7+3）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“A：文明礼仪，B：生态环境，C：交通安全，D：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．
（1）本次随机调查的学生人数是 60 人；
（2）请你补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角等于 108 度；
（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．
【分析】（1）用“A”的频数除以所占比例即可得出答案；
（2）求出“C”的频数，补全条形统计图即可；
（3）用360°乘以“B”所占的比例即可；
（4）画出树状图，由概率公式即可得出结果．
解：（1）本次随机调查的学生人数＝15÷25%＝60人；
故答案为：60；
（2）60﹣15﹣18﹣9＝18（人），补全条形统计图如图1所示：
（3）在扇形统计图中，“B”所在扇形的圆心角＝360°×＝108°，
故答案为：108；
（4）画树状图如图2所示：
共有16个等可能的结果，
小明和小华恰好选中同一个主题活动的结果有4个，
∴小明和小华恰好选中同一个主题活动的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；读懂题意，画出树状图是解题的关键．
18．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝图象交于A，B两点，与x轴交于点C（﹣2，0），点A的横坐标为1，S△AOC＝2．
（1）求一次函数及反比例函数的表达式；
（2）直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
【分析】（1）根据C的坐标和S△AOC＝2求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数及反比例函数的表达式；
（2）联立方程求得B的坐标，根据图象即可求得．
解：（1）∵C（﹣2，0），S△AOC＝2．
∴OC＝2，OC•|yA|＝2，
∴|yA|＝2，
∵点A在第一象限，
∴A（1，2），
∵A点在反比例函数y＝图象上，
∴m＝1×2＝2，
∵一次函数y＝kx+b经过A（1，2），C（﹣2，0），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+，反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵解得或，
∴B（﹣3，﹣），
∴反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围：x＜﹣3或0＜x＜1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式．
19．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC，交⊙O于点D，交AC于点E，连接BD，BD交AC于点F，延长AC到点P，连接PB．
（1）若PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，BC＝6，求CE的长度．
【分析】（1）根据等边对等角以及对顶角相等可以证得∠DFE＝∠PBF，∠D＝∠DBO，然后根据圆周角定理证明△DEF是直角三角形，据此即可证得∠PBA＝90°，从而证明PB是切线；
（2）根据三角形的中位线定理求得OE的长，然后根据垂径定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵PF＝PB，
∴∠PFB＝∠PBF，
又∵∠DFE＝∠PFB，
∴∠DFE＝∠PBF，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC．
又∵OD∥BC，
∴OD⊥AC．
∴在直角△DEF中，∠D+∠DFE＝90°，
又∵OD＝OB，
∴∠D＝∠DBO，
∴∠DBO+∠PBE＝90°，即PB⊥AB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥BC，OA＝OB，
∴OE＝BC＝×6＝3．
∵OD⊥AB，
∴EC＝AE．
∵在直角△OAE中，OA＝AB＝×10＝5，
∴AE＝＝＝4．
∴EC＝4．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及等边对等角的性质，本题中证明OD⊥AC是关键．
20．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；
（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
【分析】（1）作CH⊥y轴于H，证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形的性质得到BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，求出OH，得到C点坐标；
（2）证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的性质得到PA＝CQ；
（3）根据C、P，Q三点共线，得到∠BQC＝135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA＝∠BQC＝135°，根据等腰三角形的性质求出OP，得到P点坐标．
解：（1）作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∴∠ABO＝∠BCH，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，
∴OH＝OB+BH＝4，
∴C点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，
∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC，
在△PBA和△QBC中，
，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA＝CQ；
（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP＝45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC＝135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA＝∠BQC＝135°，
∴∠OPB＝45°，
∴OP＝OB＝1，
∴P点坐标为（1，0）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+ax+a﹣5与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）若P（n，c）和Q（2，b）是抛物线上两点，且c＜b，求n的取值范围；
（3）连接BC，若M（xM，yM）是y轴左侧抛物线上的一点，N为x轴上一动点，当MN∥BC，且MN＞BC时，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴求出a的值，即可求函数的解析式；
（2）抛物线开口向上，图象上的点离对称轴越远对应的函数值越大，由此可得|n+1|＜3，求出n的范围即可；
（3）求出直线MN的解析式，确定N点坐标，再由MN＞BC，可得+2xM﹣3|＞3，求出xM的取值范围即可．
解：（1）∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
解得a＝2，
∴y＝x2+2x﹣3，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）∵P（n，c）和Q（2，b）是抛物线上两点，且c＜b，
∴|n+1|＜3，
解得﹣4＜n＜2；
（3）令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），A（﹣3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝3x﹣3，
∵MN∥BC，
∴直线MN的解析式为y＝3x+yM﹣3xM，
∴N（xM﹣yM，0），
∵MN＞BC，
∴|yM|＞，
∴|yM|＞3，
∵yM＝+2xM﹣3，
∴+2xM﹣3|＞3，
解得﹣2＜xM＜0或xM＜﹣1﹣．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两直线平行k值相等，绝对值不等式的解法是解题的关键．
相关试卷
2022-2023学年江西省南昌市青云谱区民德学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年江西省南昌市青云谱区民德学校八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌市青云谱区重点学校八年级（下）期末数学试卷： 这是一份2022-2023学年江西省南昌市青云谱区重点学校八年级（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省南昌市青云谱区重点学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）-普通用卷： 这是一份2022-2023学年江西省南昌市青云谱区重点学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）-普通用卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
