江西省南昌市青云谱区江铃学校2022-2023学年九年级上学期第一次段考数学试卷（含答案）

2022-2023学年江西省南昌市青云谱区江铃学校九年级（上）第一次段考数学试卷

一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）

1．（3分）下列方程中，是关于的一元二次方程的是　　

A． B． C． D．

2．（3分）抛物线与轴的交点坐标为　　

A． B． C． D．

3．（3分）用配方法解方程，变形正确的是　　

A． B． C． D．

4．（3分）抛物线的对称轴是　　

A． B． C． D．

5．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，设每次降价的百分率为，可列方程　　

A． B． C． D．

6．（3分）已知一次函数的图象如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

7．（3分）一元二次方程的较小实数根是 　　．

8．（3分）已知是关于的方程的一个根，则的值为 　　．

9．（3分）一元二次方程的根的判别式的值是 　　．

10．（3分）如图，若抛物线上的，两点关于它的对称轴对称，则点的坐标为　 　．

11．（3分）是方程的一个根，则代数式的值是　　．

12．（3分）已知抛物线与轴交于点，点与点位于轴两侧，点在对称轴上且在点的下方，当为等腰三角形时，的长为 　　．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）（1）解方程：；

（2）已知抛物线过点，，求，的值．

14．（6分）若关于的方程是一元二次方程，求的值．

15．（6分）已知关于的一元二次方程，若该方程的两根之积为，求的值，并解此方程．

16．（6分）某校教学楼在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为9000平方米的矩形绿地，出并且长比宽多10米，求矩形绿地的长和宽．

17．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）当　　时，方程有一个负整数解为．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）已知一元二次方程．

（1）若方程有两个实数根，求的范围．

（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值．

19．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．

20．（8分）如图1所示，某公园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，如图2，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．

（1）若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高，且高度为5米，求水柱所在抛物线的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k+1）＝0（k是常量），它有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当﹣2＜k＜3，且k为整数时，求原方程的解．

22．（9分）某地新茶上市，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加元，每天售出斤．

（1）求与的函数关系式；

（2）求该茶商每天的最大利润．

六、（本大题共12分）

23．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线，与从左至右依次交于点，，与轴交于点，取的中点，的中点．

（1）当时，求中点，两点的坐标；

（2）对于当时的所有值，对应的，所有点是否在某一抛物线上？如果是，求此抛物线的表达式及自变量的取值范围；如果不是，说明理由．

2022-2023学年江西省南昌市青云谱区江铃学校九年级（上）第一次段考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）

1．（3分）下列方程中，是关于的一元二次方程的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据一元二次方程的定义（一个未知数且未知数的次数是2的整式方程）解决此题．

【解答】解：．根据一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故不符合题意．

．根据一元二次方程的定义，是一元二次方程，故符合题意．

．根据一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故不符合题意．

．根据一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故不符合题意．

故选：．

2．（3分）抛物线与轴的交点坐标为　　

A． B． C． D．

【分析】令，求出相应的的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标．

【解答】解：抛物线，

当时，，

即抛物线与轴的交点坐标是，

故选：．

3．（3分）用配方法解方程，变形正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．

【解答】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到

配方得．

故选：．

4．（3分）抛物线的对称轴是　　

A． B． C． D．

【分析】配方成顶点式后即可确定其顶点坐标．

【解答】解：

，

对称轴方程为，

故选：．

5．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，设每次降价的百分率为，可列方程　　

A． B． C． D．

【分析】设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，根据售价由原来的每件25元降到每件16元，列出方程即可．

【解答】解：设平均每次降价的百分率为．由题意，得

，

故选：．

6．（3分）已知一次函数的图象如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据一次函数图象经过的象限，即可得出、，由此即可得出：二次函数的图象对称轴，与轴的交点在轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．

【解答】解：观察函数图象可知：、，

二次函数的图象对称轴，与轴的交点在轴负正半轴．

故选：．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

7．（3分）一元二次方程的较小实数根是 　　．

【分析】利用因式分解法解方程可得到方程的较小实数根．

【解答】解：，

，

或，

所以，，

即一元二次方程的较小实数根是．

故答案为：．

8．（3分）已知是关于的方程的一个根，则的值为 　16　．

【分析】把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．

【解答】解：把代入方程中得：

，

，

，

，

，

故答案为：16．

9．（3分）一元二次方程的根的判别式的值是 　　．

【分析】将，，代入△计算即可．

【解答】解：，，，

△

，

故答案为：．

10．（3分）如图，若抛物线上的，两点关于它的对称轴对称，则点的坐标为　　．

【分析】直接利用二次函数的对称性得出点坐标即可．

【解答】解：抛物线上的，两点关于它的对称轴对称，

，两点到对称轴的距离相等，

点的坐标为：．

故答案为：．

11．（3分）是方程的一个根，则代数式的值是　8　．

【分析】直接把的值代入得出，进而将原式变形得出答案．

【解答】解：是方程的一个根，

，

．

故答案为：8．

12．（3分）已知抛物线与轴交于点，点与点位于轴两侧，点在对称轴上且在点的下方，当为等腰三角形时，的长为 　或4或2　．

【分析】先解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，则利用点与点位于轴两侧可确定，所以，再确定抛物线的对称轴为直线，然后进行讨论：由于为等腰三角形，所以当时，的长为；当时，点与点关于轴对称，则；当时，点为直线与轴的交点，易得．

【解答】解：当时，，解得，，

抛物线与轴的交点坐标为，，

点与点位于轴两侧，

点坐标为，

，

，

抛物线的对称轴为直线，

点在对称轴上，

为等腰三角形，

当时，的长为；

当时，点与点关于轴对称，则；

当时，点为直线与轴的交点，则，

综上所述，的长为或4或2．

故答案为：或4或2．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）（1）解方程：；

（2）已知抛物线过点，，求，的值．

【分析】（1）首先把方程两边分解因式，然后移项提公因式即可求解；

（2）把已知、两点坐标代入解析式中得到关于、的方程组即可求解．

【解答】解：（1），

，

，

，；

（2）依题意得，

解之得，

，．

14．（6分）若关于的方程是一元二次方程，求的值．

【分析】任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成，这种形式叫一元二次方程的一般形式．利用一元二次方程的一般形式进行判断，即可求出的取值范围．

【解答】解：由题意得：

，

，

解得．

15．（6分）已知关于的一元二次方程，若该方程的两根之积为，求的值，并解此方程．

【分析】利用两根之积等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解该方程即可．

【解答】解：关于的一元二次方程的两根之积为，

，

，

原方程为，即，

解得：，，

的值为6，此方程的解为和5．

16．（6分）某校教学楼在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为9000平方米的矩形绿地，出并且长比宽多10米，求矩形绿地的长和宽．

【分析】设宽为米，则长为米，根据矩形面积公式长宽矩形面积可得答案．

【解答】解：设宽为米，则长为米，

依题意列方程：，

解方程得：，（舍去）．

（米．

答：绿地的长和宽各是100米，90米．

17．（6分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）当　　时，方程有一个负整数解为．

【分析】（1）由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，知△，解之即可；

（2）将代入方程求解即可．

【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

△且，

解得且；

（2）是方程的解，

，

解得，

故答案为：．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）已知一元二次方程．

（1）若方程有两个实数根，求的范围．

（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值．

【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，△，把系数代入可求的范围；

（2）利用两根关系，已知结合，先求、，再求．

【解答】解：（1）方程有两个实数根，

△，

解得；

（2）由两根关系可知，，，

解方程组，

解得，

．

19．（8分）某小区在绿化工程中有一块长为、宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．

【分析】设人行道的宽度为米，根据矩形绿地的面积之和为60米，列出一元二次方程．

【解答】解：设人行道的宽度为米，根据题意得，

，

化简整理得，．

解得，（不合题意，舍去）．

答：人行通道的宽度是．

20．（8分）如图1所示，某公园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷出的水柱为抛物线，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，如图2，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．

（1）若喷出的水柱在距水池中心3米处达到最高，且高度为5米，求水柱所在抛物线的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出值，此题得解；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论．

【解答】解：（1）设水柱所在抛物线的函数表达式为，

将代入，得：，

解得：，

水柱所在抛物线的函数表达式为；

（2）当时，有，

解得：，，

为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k（k+1）＝0（k是常量），它有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当﹣2＜k＜3，且k为整数时，求原方程的解．

【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k+1）＞0，然后解不等式即可；

（2）利用k的范围确定k＝﹣1或0，然后利用因式分解法分别求解方程即可．

【解答】解：（1）Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k+1）

＝4k2﹣4k+1﹣4k2﹣4k

＝﹣8k+1＞0，

解得：k＜．

故k的取值范围是k＜；

（2）∵﹣2＜k＜3，且k为整数，

∴k＝﹣1或0，

当k＝﹣1时，方程x2﹣3x＝0；

解得它的两根为x1＝0，x2＝3；

当k＝0时，方程x2﹣x＝0，

解得它的两根为x1＝0，x2＝1．

22．（9分）某地新茶上市，一茶商在该地收购新茶，茶商经过包装处理试销数日发现，平均每斤茶叶利润为20元，并且每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤．设销售单价每增加元，每天售出斤．

（1）求与的函数关系式；

（2）求该茶商每天的最大利润．

【分析】（1）根据“每天可售出60斤．进一步根据茶叶市场调查发现，销售单价每增加5元，每天销售量会减少10斤”列函数关系式即可；

（2）根据每天的利润每斤的利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值．

【解答】解：（1）根据题意得，；

（2）设茶商每天的利润为元，根据题意得，，

，

当时，元，

答：该茶商每天的最大利润为1250元．

六、（本大题共12分）

23．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线，直线，与从左至右依次交于点，，与轴交于点，取的中点，的中点．

（1）当时，求中点，两点的坐标；

（2）对于当时的所有值，对应的，所有点是否在某一抛物线上？如果是，求此抛物线的表达式及自变量的取值范围；如果不是，说明理由．

【分析】（1）联立方程组，求出、点坐标，再由中点坐标公式求出、点坐标即可；

（2）联立方程组，求出、点坐标，再由中点坐标公式求出、点坐标，设、经过的抛物线为，联立方程组，由根与系数的关系可得，，再由与无关，分别求出，，，即可确定抛物线解析式为，联立方程组，求出两抛物线的交点，由此交点确定的取值范围是或．

【解答】解：（1）当时，，

联立方程组，

解得或，

，，

，

，，，；

（2），所有点在某一抛物线上，理由如下：

联立方程组，

解得或，

，，，，

，

，，，，

设、经过的抛物线为，

联立方程组，

整理得，

，，

，，

与无关，

，

，，

，

联立方程组，

解得或，

或．