江苏省南京市2021届高三上学期期中考试考前训练数学试题 Word版含答案

江苏省南京市2021届期中考试考前训练

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数 （其中是虚数单位），则在复平面内对应点在（    ）．

A． 第一象限     B．  第二象限    C． 第三象限    D．   第四象限

2．已知集合则（    ）

3．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

4．函数的零点所在区间为　　

A． B． C． D．

5．函数的部分图象大致为　　

A． B． 

C．  D．

6. 已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有　　

A．36种 B．30种 C．24种 D．20种

7．知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则的最小值为　　

A． B． C． D．

8．已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是　　

A．女生身高的极差为12 B．男生身高的均值较大 

C．女生身高的中位数为165 D．男生身高的方差较小

10．已知函数的图象关于直线对称，则　　

A．函数为奇函数 

B．函数在，上单调递増 

C．若，则的最小值为 

D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

11．已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有　　

A． B． C． D．

12．当时，恒成立，则整数的取值可以是　　

A． B． C．0 D．1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应

位置上。

13．已知锐角，且，则______．

14．曲线在点处的切线方程为________．

15．在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，，点是平面内的一个动点，若，则面积的最大值是__________．

16．数列的前项和为，，，，则数列的前项和_____．

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(本小题满分10分)

已知△ABC中，为钝角，而且，，AB边上的高为．

（1）求的大小；

（2）求的值．

18．(本小题满分12分)

为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某高校入驻该园区．为了解教职工意愿，该高校在其所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数；

（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴研发区进行实地考察，记X为考察团中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求X的分布列及数学期望．

参考公式及数据：，，，．

19．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥中，为直角梯形，，，平面平面．是以为斜边的等腰直角三角形，，为上一点，且．

（1）证明：直线平面；

（2）求二面角的余弦值．

20．(本小题满分12分)

记是正项数列的前项和，是和的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

21．(本小题满分12分)

已知，分别为椭圆的左、右焦点，为上的动点，其中到的最短距离为1，且当△的面积最大时，△恰好为等边三角形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆的外切圆为．

求圆的方程；

在平面内是否存在定点，使得以为直径的圆与相切，若存在求出定点的坐标；若不存在，请说明理由

22．(本小题满分12分)

已知函数，，曲线在点，（1）处的切线在轴上的截距为．

（1）求；

（2）讨论函数和的单调性；

（3）设，，求证：．

江苏省南京市2021届期中考试考前训练

数学参考答案

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. D. 解析：

2. A 解析∵3. 解析：双曲线的离心率为，

可得：，即，

可得，

则双曲线的渐近线方程为：．

故选：．

4. 解析函数是增函数并且是连续函数，

可得，（1）．

（1），

所以函数的零点在，．

故选：．

5. 解析函数的定义域为，

，

为偶函数，排除选项；

当时，，当时，，排除选项和．

故选：．

6．.解析根据题意，依次分析四人的结账方式：

对于甲，只会用现金结账，有1种方式，

对于乙，只会用现金和银联卡结账，有2种方式，

对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有3种方式，若乙用银行卡，则丙有2种方式，

对于丁，用哪种结账方式都可以，有4种方式，

则他们结账方式的组合有种，

故选：．

7. 解析：以为原点，、所在的直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，．

设，则，，，，

，，

，当，时，取得最小值，为．

故选：．

8. 解析：因为线恒过定点，直线恒过定点且，故两直线的交点在以为直径的圆上，且圆的方程，

要求的最大值，转化为在上找一点，在上找一点，使最大，

根据题意可得两圆的圆心距，则．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9. 解析：、找出所求数据中最大的值173，最小值161，再代入公式求值极差，故本选项符合题意；

、男生身高的数据在之间，女生身高数据在之间，所以男生身高的均值较大，故本选项符合题意；

、抽取的10名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165和167，所以中位数是166，故本选项不符合题意；

、抽取的学生中，男生身高的数据在之间，女生身高数据在之间，男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意．

故选：．

10. 解析:函数的图象关于直线对称，，；

，；；

对于，函数，根据正弦函数的奇偶性，所以因此函数是奇函数，故正确．

对于，由于，，，，函数在，上不单调，故错误；

对于，因为，又因为，的周期为，所以则的最小值为，正确；

对于，函数的图象向右平移个单位长度得到函数，故错误．

故选：．

11. 解析：数列是公比为的等比数列，是首项为12，公差设为的等差数列，

则，，

，故正确；

正负不确定，故错误；

正负不确定，由，不能求得的符号，故错误；

由且，则，，

可得等差数列一定是递减数列，即，

即有，故正确．

故选：．

12. 解析：由，可得，

令，则，

可令，，所以在递增，

因为（1），所以在有且只有一个实根，

于是在递减，在，递增，

所以

因为（3），（4），

所以，且，

将代入可得，，

因为在递增，所以，，

即，，

因为为整数，所以， 故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应

位置上。

13. 解析：由，得，是锐角，，则，故答案为．

14. 解析：∵曲线，∴，

将带入曲线中可得，带入导函数中可得，

∴曲线在点处的切线方程为，即．

15. 解析：∵，，，∴由正弦定理，可得．又，∴在三角形中，令，令，

由余弦定理可得，

∴，（当且仅当时等号成立）

∴，∴．故答案为．

16. 解析：，，，

两式作差，得，

化简得，

检验：当时，，，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；，，

令，

，

故填．

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（1）由三角形面积可知，   ……………2分

，又因为是锐角，所以．  ………………5分

（2）由（1）可知

，

所以．………………………………7分

又因为，……………9分

因此．………………12分

18. 解：（1）由已知有，，，

，…………………………………………………………………4分

故变量y关于变量x的线性回归方程为y=0.80x，……………………………………5分

所以当x=2500时，y=2500×0.80=2000．  ………………………………………… 6分

（2）由题意可知X的可能取值有1，2，3，4．……………………………………7分

，，

，．  …………………………………11分

所以X的分布列为

E(X)=． ……………………………………………12分

19. （1）证明：连接交于点，连接．

因为，所以与相似．

所以．

又，所以．

因为平面，平面，所以直线平面．

（2）解：平面平面，平面平面，平面，

，所以平面．

以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴的正方向，

与均垂直的方向作为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，0，，，1，，，2，，，

，2，，，1，，．

设平面的一个法向量为，，，

则，令，得，，，

设平面的一个法向量为，，，

则，令，得，，．

设二面角的平面角的大小为，

则．

所以二面角的余弦值为．

20. （1）因为是和的等比中项，

所以①，当时，②，

由①②得：，

化简得，即或者（舍去），

故，数列为等差数列，

因为，解得，

所以数列是首项为、公差为的等差数列，.

（2）因为，

所以.

21. 解：（1）由题意可得：，面积最大时为短轴的顶点，再由△恰好为等边三角形，可得，，

解得：，，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）由（1）得圆的圆心坐标为，半径为，

所以圆的方程为：；

解法一：假设存在满足条件的定点，

由题意可知定点必在轴上，设，，，则，

由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，

设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，

，即，，，

因为圆与圆相切，则，

所以，其中，

两边平方并整理得：，化简得，

上式对任意，恒成立，

故，解得，

所以，当定点恰好为椭圆的焦点时，符合题意．

解法二：存在满足条件的定点，

由题意可知，当为长轴的端点时，即为切点，因此，定点必在轴上，设，，，则，

由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，

设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，则，

即，，，

因为圆与圆相切，则，

所以，

整理得，

设，则，

又因为在椭圆上，设，分别为椭圆的左右焦点，

，

故，分别与，重合，

所以当定点恰好为椭圆的的焦点时，符合题意．

解法三：假设存在满足条件的定点，由题意可知定点必在轴上，

由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，

设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，则，

因为圆与圆相切，则，即，

所以，

设为关于原点对称点，则恰好为△的中位线，

所以，

所以，下同解法二；

解法四：假设存在满足条件的定点，设，，，则

由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，

设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，则，即，，，

因为圆与圆相切，则，

所以，

整理得，

设，因此，下同解法一．

22. （1）对求导，得．

因此．又因为（1），

所以曲线在点，（1）处的切线方程为，

即．

由题意，．

显然，适合上式．

令，

求导得，

因此（a）为增函数：故是唯一解．

（2）由（1）可知，，，

因为，

所以为减函数．

因为，

所以为增函数．

（3）证明：由，，易得

由（2）可知，在上为减函数．

因此，当时，，即．

令，得，即．

因此，当时，．

所以成立．

下面证明：．

方法一：由（2）可知，在上为增函数．

因此，当时，，

即．

因此，

即．

令，得，

即．

当时，．

因为，

所以，所以．

所以，当时，．

所以，当时，成立．

综上所述，当时，成立．

方法二：时，因为，

所以．

下面用数学归纳法证明：时，．

①当时，．

而，

因为，所以．可见，不等式成立．

②假设当时不等式成立，即．

当时，．

因为，是增函数，

所以．

要证，只需证明．

而，

因为，所以．所以．

可见，时不等式成立．

由①②可知，当时，成立．