江苏省南京师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试数学试题（含解析）

南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三期中考试
数学试题
注意事项∶
1.考试时间∶120分钟，试卷满分150分。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。
3.请用0.5毫术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答∶在其它位置作答一律无效；考试结束后，请将答题纸、卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.设，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.设，则“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设为实数，已知向量.若，则向量与之间的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ）
A. “宫、商、羽”的频率成等比数列
B. “宫、徵、商”的频率成等比数列
C. “商、羽、角”的频率成等比数列
D. “宫、商、角”的频率成等比数列
6.若函数的部分图像如图所示，则函数图像的一条对称轴是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.函数的图像大致为（ ）

8.设实数，已知函数若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（ ）

A. 此人退休前每月储蓄支出2400元
B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍
C. 此人退休工资收入为6000元/月
D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少
10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足（为坐标原点），下列说法正确的有（ ）
A. 双曲线的虚轴长为4 B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的一条渐近线方程为 D. △的面积为8
11.在正方体中，，、分别为、中点，是棱上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 三棱锥的体积与点位置有关
C. 平面截正方体的截面面积为
D. 点到平面的距离为
12.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线为曲线的一条切线；
B. 的极值点个数为3；
C. 的零点个数为4；
D. 若，则.
三、填空题
13.二项式的展开式中的系数为________.
14.已知、均为锐角，且，则________.
15.设为实数，对于任意的，关于的不等式（为自然对数的底数）在实数域上恒成立，则的取值范围为________.
16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____.

四、简答题.
17.在中，设内角所对的边分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若三角形的面积为，求的周长.
18.已知函数（为常数，且）
（1）在下列条件中选择一个条件____（仅填序号），使得依次条件可以推出数列为等差数列，并说明理由；①数列是首项为4，公比为2的等比数列；
②数列是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列是首项为4，公比为2的等比数列的前项和构成的数列；
（2） 在（1）的选择下，若，求数列的前项和.
19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，点是棱上一点.
（1）若时中点，求证：平面平面;
（2）即二面角的平面角为，且，求线段的长.
20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为.
（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.
（2）第10轮比赛中，记中国队3∶1取胜的概率为.
（ⅰ）求出的最大值点;
（ⅱ）若以作为的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为，求的分布列.
参考数据：，则.
21.设为实数，已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若有两个不同的零点，求的取值范围.
22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.
（1）求的值；
（2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点时，在线段上取点，使得，问：点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三期中考试
数学试题
注意事项∶
1.考试时间∶120分钟，试卷满分150分。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。
3.请用0.5毫术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答∶在其它位置作答一律无效；考试结束后，请将答题纸、卡交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【考点】集合的交集运算
【解析】由题意可知，所以，故答案选B.
2.设，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【考点】复数的运算
【解析】由题意，则的虚部为为，故答案选C.
3.设，则“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【考点】抛物线的方程、逻辑用语
【解析】由题意抛物线可化为，由焦点在轴正半轴上，则，即mn<0，所以“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的充分必要条件，
故答案选C.
4.设为实数，已知向量.若，则向量与之间的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【考点】平面向量的数量积坐标公式、数量积定义、垂直的坐标计算
【解析】由题意由，可得，解得，所以，则，所以，因为，所以向量与之间的夹角为，故答案选A.
5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ）
A. “宫、商、羽”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列
C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “宫、商、角”的频率成等比数列
【答案】D
【考点】文化题：等比数列的概念
【解析】由题意可设“宫”的频率为a，则经过一次“损”，可得“徵”的频率为a；“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，即a，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为a；即a；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率为a，即a，则a，a，a成公比为的等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故答案选D.
6.若函数的部分图像如图所示，则函数图像的一条对称轴是（ ）
E.
F.
G.
H.
【答案】B
【考点】三角函数的图象与性质应用
【解析】由函数的图象可知一个对称中心为，而，即另一个对称中心为，且为相邻的对称中心，故函数的一条对称轴为，则，即，所以函数的对称轴为直线，令，解得，故答案选B.
7.函数的图像大致为（ ）

【答案】B
【考点】函数的图象与性质
【解析】法一：由题意可作出函数与函数的图象，得到有3个交点，即函数有3个零点，则故答案选B.
法二：因为，可排除选项A、D；且当，，排除选项C，故答案选B.
法三：因为，设，则，令，可得，所以当时，，则，在上单调递减；当时，，则，在上单调递增，又，即函数有两个极值点，排除选项C、D；而，所以排除选项A，故答案选B.
8.设实数，已知函数若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】分段函数的零点、数形结合思想
【解析】如图有两个零点，，则
则，，，，
解得，
令，，
而，所以在上单调递增，则，
在上单调递增，且，，，故答案选D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（ ）

A. 此人退休前每月储蓄支出2400元
B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍
C. 此人退休工资收入为6000元/月
D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少
【答案】ACD
【考点】数据的分析与整理
【解析】由图可知此人退休前储蓄为8000×0.30=2400（元），故选项A正确；此人退休前的旅行支出为8000×0.05=400（元），退休后的收入为（元），退休后的旅行支出为6000×0.15=900（元），则选项B错误，选项C正确；退休后的其他支出为6000×0.25=1500（元），退休前的其他支出为8000×0.2=1600（元），则选项D正确；所以答案选ACD.

10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于、两点，若点满足（为坐标原点），下列说法正确的有（ ）
A. 双曲线的虚轴长为4 B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的一条渐近线方程为 D. △的面积为8
【答案】BD
【考点】圆锥曲线的几何性质、双曲线与圆的位置关系
【解析】由题意在圆，可令y=0，可解得，即，由双曲线的渐近线方程为，且，与圆联立可得，所以，又由，则，即，联立，解得b=4，a=2，所以双曲线的虚轴长为8，离心率为，渐近线方程为，△的面积为，所以答案选BD.


11.在正方体中，，、分别为、中点，是棱上的动点，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 三棱锥的体积与点位置有关
C. 平面截正方体的截面面积为
D. 点到平面的距离为
【答案】AC
【考点】立体几何的位置关系、几何体的体积、表面积、截面面积等
【解析】由题意在正方体中，可取AB的中点为点M，连结A1M，可得A1M⊥AE，又因为A1F在平面ABB1A1的射影为A1M，所以A1F⊥AE，故选项A正确；在正方体中，可得BC1∥AD1，则可得到BC1∥平面AED1，又因点P在BC1上，则点P到平面AED1的距离为定值，故选项B错误；取B1C1的中点为点N，则平面截正方体的截面为梯形AD1NE，因为AE=D1N=，AD1=，NE=，所以可得
等腰梯形AD1NE的面积为，故选项C正确；在正方体中，可设点到平面的距离为h，且在△AD1E中，D1E=3，AE=，AD1=，由余弦定理可得，，所以，则由，可得到
，即，解得h=，故选项D错误；综上答案选AC.
12.已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 直线为曲线的一条切线； B. 的极值点个数为3；
C. 的零点个数为4； D. 若，则.
【答案】ABD
【考点】函数的切线方程、导数的几何意义、函数的零点、极值点问题综合
【解析】由题意，则，即曲线的一条切线为y=0，故A选项正确；令，解得x=0、、，即为3个极值点，故B选项正确；由B选项可作出图像大致如右图所示，结合图像可知函数图象有3个零点，故C选项错误；因为，所以函数为偶函数，则D选项正确；综上，答案选ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13.二项式的展开式中的系数为________.
【答案】240
【考点】二项展开式项的系数
【解析】由题意展开式通式为，令，解得r=2，则展开式中的系数为，故答案为240.
14.已知、均为锐角，且，则________.
【答案】
【考点】三角函数中二倍角公式与变角应用
【解析】由题意因为、均为锐角，且，所以，则，所以
，则，故答案为.
15.设为实数，对于任意的，关于的不等式（为自然对数的底数）在实数域R上恒成立，则的取值范围为________.
【答案】
【考点】函数的恒成立问题综合应用
【解析】由题意①当时，恒成立，此时；
②当时，，取对数得，，即，因为，则可得到，∴，令，则，可得在上单调递增，在上单调递减，所以，则b≥
，所以的取值范围为.
16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____.

【答案】；
【考点】文化题：空间几何体的的体积与表面积、内切球问题
【解析】由题意可知，一个正三角形面积为，该六面体是由六个边长为的正三角形构成的，所以该六面体可看成是由两个全等的正四面体组合而成，且全等的正四面体的棱长为，如图，在棱长为的正四面体中，取中点为，连结，，可作平面，垂足在上，则，则该正四面体的体积为，所以该六面体的体积为两个正四面体的体积之和，当该六面体内有一球，如上图，且该球体积取最大值时，球心为，且该球与相切，过球心作，则就是球半径，因为，所以球半径，所以该球表面积的最大值为，所以答案为；.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.在中，设内角所对的边分别为，已知.
（1）求角的值；
（2）若三角形的面积为，求的周长.
【考点】利用正余弦定理解三角形及面积公式的应用
【解析】（1），且，，
由正弦定理得，即,
在中，,，，
在中，，，，则.
（2） ，则，
由余弦定理得：，则，
，在中，，，周长为.
18.已知函数（为常数，且）
（1）在下列条件中选择一个条件____（仅填序号），使得依次条件可以推出数列为等差数列，并说明理由；①数列是首项为4，公比为2的等比数列；
②数列是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列是首项为4，公比为2的等比数列的前项和构成的数列；
（2）在（1）的选择下，若，求数列的前项和.
【考点】开放性试题：等差数列的证明、错位相减法求和
【解析】（1） 选条件①
，，是首项为，公比为的等比数列，则，
则；，则为等差数列.
（2） 当时，，又，
----------（*）
----------（**）
（*）减去（**）得：


.

19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面，点是棱上一点.
（1）若时中点，求证：平面平面;
（2）即二面角的平面角为，且，求线段的长.
【考点】立体几何的位置关系证明、利用空间向量表示二面角
【解析】（1）证明：如图建立空间直角坐标系
，，，，，
，，，，
,，，
设平面的法向量为，平面的一个法向量为


.平面平面.
由（1）可设，，，
设平面的一个法向量为

令，，，
平面的法向量，设，所成角为

而，.

20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W，已知这种球的质量指标（单位：g）服从正态分布.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为.
（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.
（2）第10轮比赛中，记中国队3∶1取胜的概率为.
（ⅰ）求出的最大值点;
（ⅱ）若以作为的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为，求的分布列.
参考数据：，则.
【考点】正态分布的应用、随机变量的概率与分布列
【解析】
（1）
所以质量指标在内的排球个数约个.
（2）前三场赢两场，第四场必赢
，满足最大值点要求.
（3）可能取的值为0、1、2、3
①前三场全赢，或者前三场赢两场，第四场必赢.
②前四场赢两场，第五场必赢.
③前四场赢两场，第五场必输.
④前三场全输，或者前三场赢一场.
∴的分布列为：

3
2
1
0






21.设为实数，已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若有两个不同的零点，求的取值范围.
【考点】函数的单调性（不含参）的求解、函数零点问题
【解析】（1）当时，，

令是，的单调递减区间为，单调递增区间为
（2）
令得
且当时，，单调递减；当时，，单调递增，
要使有两个不同的零点，
则首先，
当时，
此时
当时，，令
取且知或取知
故时满足在 上各有一个零点，
综上：的取值范围为.

22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为.
（1）求的值；
（2）当过点的动直线与椭圆交于不同的点时，在线段上取点，使得，问：点是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.
【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系求定直线
【解析】（1）由题意知
（2）由得，设，

且
①×②得由均在圆上得
①-②
即在直线上运动.