江西省2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

这是一份江西省2022-2023学年高三第三次模拟考试数学（文）试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．z的虚部为1B．
C．为纯虚数D．在复平面内对应的点位于第二象限
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
5．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，立夏当日日影长为2.5尺，则冬至当日日影长为（ ）
A．12.5尺B．13尺C．13.5尺D．14尺
6．设为任一实数，表示不超过的最大整数，表示不小于的最小整数，例如，，，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．在新冠肺炎疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒.教室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：小时）的变化情况如图所示.在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数）.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室.那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在（ ）（参考数值）
A．42分钟后B．48分钟后
C．50分钟后D．60分钟后
9．某数学兴趣小组要测量校园内国旗杆的高度，测量的同学在地面选择了，两个观测点，且，，三点在同一直线上，如图所示.在处测得国旗杆顶端的仰角为，在处测得国旗杆顶端的仰角为.若，则国旗杆的高度为（ ）
A．B．
C．D．
10．某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码.丁问：“你们每人看到几个1、几个2？” 甲说：“我看到三个1.”乙说：“我看到一个2和两个1.”丙说：“我看到三个2.”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有（ ）
A．乙B．甲、乙C．丁D．乙、丁
11．已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，则（ ）
A．B．1C．504D．无法确定
12．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．设向量，，若，则___________.
14．若实数，满足约束条件则的最小值为 _______.
15．下面如图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为，如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是___________.
16．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则到的距离为______.
三、解答题
17．如图，已知在中，M为BC上一点，，且．
(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．
18．如图，在正三棱台中，，，为的中点.
(1)求证：棱台过D，，的截面为正方形；
(2)求点到平面的距离.
19．某工厂为了检验某产品的质量，随机抽取100件产品，测量其某一质量指数，根据所得数据，按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计该产品这一质量指数的中位数；
(2)若采用分层抽样的方法从这一质量指数在和内的该产品中抽取6件，再从这6件产品中随机抽取2件，求这2件产品不是取自同一组的概率.
20．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)①若，求实数的值；
②设，求证：.
21．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴为正半轴建立极坐标，椭圆的极坐标方程为，其右焦点为，直线与椭圆交于两点.
(1)求的值；
(2)若点是椭圆上任意一点，求的面积最大值.
23．我国手机所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查，某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为50万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且.当该公司一年内共生产该款手机1万部并全部销售完时，年利润为433万美元.
(1)写出年利润（万美元）关于年产量（万部）的函数解析式：
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
参考答案：
1．A
【分析】化简集合，，利用集合的补集和交集的运算定义求解.
【详解】由可得，所以，
因为函数的值域为，所以
所以或，所以．
故选：A.
2．C
【分析】根据复数的运算法则进行化简后再判断即可.
【详解】，∴z的虚部为－1，，为纯虚数，在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：C.
3．B
【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.
【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，即，
又因焦距为2，即，即，
因为，所以，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：B.
4．B
【分析】根据三视图还原原几何体，从而即可求出几何体的表面积．
【详解】解：由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面是边长为2的正方形，一条侧棱垂直于底面，直观图如图所示：
所以表面积= ，
故选：B.
5．B
【分析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，利用等差数列的性质即可求解.
【详解】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，故
所以冬至当日日影长为.
故选：B
6．A
【分析】根据给定的信息，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】对于实数，依题意，，而，因此，
若，如取，有，显然，
所以“”是“”的充分不必要条件，A正确.
故选：A
7．B
【分析】构函数函数，根据为奇函数，得为偶函数.求导并利用已知得到在上单调递增，再根据为偶函数得到在上单调递减，利用的单调性可求出结果.
【详解】设，因为为奇函数，所以，
所以，所以为偶函数，
对求导得，
因为当时，，所以，则在上单调递增，
又因为为偶函数，则在上单调递减，
因为，
所以当时，，
当时，，
所以使得成立的x的取值范围是.
故选：B．
8．B
【分析】根据函数图象求出时的函数解析式，即求出的值，再解不等式求得答案.
【详解】把点代入中，，解得.
所以当时，
因为当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室
所以，解得.
至少需要经过分钟后，学生才能回到教室.
故选：B.
9．A
【分析】先在中，利用正弦定理求得BD，再在中，由求解.
【详解】解：在中，由正弦定理得，
即，
所以，
在中，，
故选：A
10．D
【分析】分别假设甲说真话和乙说的是假话进行判断.
【详解】若甲说真话，则乙、丙说假话，但按甲所说内容看，乙说的又是真话，矛盾，故甲说的是假话，进而可确定丙也说的是假话.
若乙说的是假话，要么甲、丙中至少有一个2，要么甲、乙、丁都是1，以上情形相互矛盾，所以乙说的是真话，号码为2的嘉宾只能是乙和丁.
故选：D.
11．A
【分析】先利用奇函数的性质得到，再利用和得到函数是周期函数，进而可以求解.
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
即，；
因为为偶函数，
所以，
即的图象关于对称，
又满足，
所以，
则，，
即函数是周期函数，周期为4，
则.
故选：A.
12．B
【分析】观察到，构造函数进行尝试比较，可证其在是增函数，由可得，
对于，注意到，把换成，直接构造函数进行尝试比较其大小，证明其在是增函数，由可得，可得答案.
【详解】令，则，
当时，，在是增函数，
所以，所以，
即，所以，
令，则，
当时，，在是增函数，
所以，所以，
即，所以，
综上.
故选：B.
【点睛】本题属于构造函数，利用单调性比较大小问题，是近几年的高考热点，往往要求高难度大，解决问题的关键在于构造函数，平时对常见函数要熟悉，解题时细心观察题目特征，联想构造函数，利用导数判断单调性求解.
13．##0.5
【分析】根据向量平行的坐标表示可求结果.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
14．##3.5
【分析】作出可行域，采用平移直线的方法即可求出z的最小值.
【详解】
如图阴影部分为不等式确定的可行域，，
由,得，所以
则当直线过时，.
故答案为：.
15．10
【分析】根据算法流程图可知是统计大于或等于90分的人数，结合茎叶图即可求解.
【详解】由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于或等于90的人数.由茎叶图知，数学成绩大于若等于90的人数为10，因此输出结果为10.
故答案为：10
16．6
【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果.
【详解】如图，不妨令在轴上方，准线l与轴交点为，
因为点在C上，根据抛物线定义可得，
且，则，所以为等腰三角形，
且，
在中，，即
解得，即F到l的距离为.
故答案为：6
17．(1)
(2)
【分析】（1）由求得，由可得，结合得，利用正弦定理即可求得答案；
（2）由余弦定理求得，根据角平分线性质定理可求得，再求得，由三角形面积公式可得答案.
【详解】（1）因为，,
所以，
因为，
所以由正弦定理知，即，
因为，所以，，
在中，．
（2）由题意知，设，
由余弦定理得，解得或．
因为，所以，
因为AM为的平分线，
所以（h为底边BC的高）
所以，故，
而由（1）知，
所以．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取BC的中点E，连接ED，，可证明为平行四边形﹐即为平面的截面，进而可得为菱形；取下底面与上底面中心，，连接，，，由线面垂直可证明，即可得证；
（2）由等积法求解即可
【详解】（1）取BC的中点E，连接ED，
因为D为AB的中点，
所以，
又，故，
所以为平行四边形﹐即为平面的截面.
又，，
所以为平行四边形，
所以.
所以为菱形.
取下底面与上底面中心，，连接，，.
则平面，
又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以
又，故，
所以为正方形，即平面的截面为正方形.
（2）在直角梯形中，，，，
故
三棱锥的体积.
由（1）知，平面，
所以点B到平面的距离等于点到平面的距离.
设点B到平面的距离为，的面积为.
故三棱锥的体积为.
又，所以，故.
所以点到平面的距离为.
19．(1)15.
(2).
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用中位数的含义，列式计算，可得答案;
（2）确定质量指数在和内产品件数，即可确定采用分层抽样的方法，从这6件产品中随机抽取2件，每组里的抽取的件数，列出所有情况，根据古典概型的概率公式，计算可得答案.
【详解】（1）因为，，
所以该产品这一质量指数的中位数在内，
设该产品这一质量指数的中位数为，则，
解得；
（2）由频率分布直方图可得，
即在和的产品分别由件，
采用分层抽样的方法抽取的6件产品中这一质量指数在内的有4件，记为，这一质量指数在内的有2件，记为，
从这6件产品中随机抽取2件的情况有，
共15种；其中符合条件的情况有，共8种，
故所求概率.
20．(1)函数的单调增区间为,
单调减区间为.
(2)①； ②见解析.
【分析】（1）利用导数求解函数的单调区间即可.
（2）①首先根据题意得到,从而将题意等价为,再结合的单调性分类讨论求解即可;
②根据（1）知:,从而得到,再化简得到,累加即可证明.
【详解】（1）由已知的定义域为.
令,
有两根,
因为，
时,单调递减;
,时,单调递增，
故函数的单调增区间为，
单调减区间为.
（2）①因为,所以等价于.
由（1）知:,
当时,,故满足题意.
当时,时，单调递减，故不满足题意.
当时,时, 单调递增，故不满足题意.
综上可知：.
②证明:由（1）可知:时,,即,当且仅当时取等号.
故当时,可得
即，
即.
故
故
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可得，然后利用离心率即可求解；
（2）设直线方程为，联立椭圆方程利用韦达定理，可得，进而可求直线的方程为，即可得证.
【详解】（1）依题意，，
又
椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，
由得，，
直线OP的斜率，
直线的斜率，令得点坐标为，
直线的方程为，即，
直线恒过定点.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据极坐标方程可得椭圆的标准方程，又直线经过点椭圆焦点，将直线参数方程代入椭圆方程，得坐标关系，即可得的值；
（2）设点P坐标为，直线l的直角坐标方程为，由点到直线的距离，结合三角函数的图象性质求得距离最大值，即可求得的面积最大值.
【详解】（1）由得椭圆的方程为，其焦点坐标为，
由题意得直线经过点，其参数方程为（为参数），
代入椭圆的方程整理得，所以，
所以.
（2）由椭圆方程，可设点P坐标为，
又直线l的直角坐标方程为，
∴点P到直线l的距离，其中，
所以，因为，
所以的面积最大值为.
23．(1)
(2)当万部时，最大利润为8525万美元
【分析】（1）根据该公司一年内共生产该款手机1万部并全部销售完时，年利润为433万美元，求出，然后由，将代入即可.
（2）当时，利用二次函数的性质求出最大值；当时，利用基本不等式求出最大值，比较两个最大值，确定时的最大值即可.
【详解】（1）因为生产该款手机1万部并全部销售完时，年利润为433万美元.
所以，解得.
当时，，
当时，，
所以；
（2）①当时，，
则，当且仅当时取等号.
②当时，，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，
综合①②知，当时，W取最大值，最大利润为8525万美元.