四川省2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试数学（理）试卷（含解析）

四川省2022-2023学年高三下学期第二次模拟考试

数学（理）试卷

一、单选题

1．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A． B．1 C． D．

2．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

3．如图是某公司500名员工的月收入的频率分布直方图，则该公司月收入在2500元以上的人数是（    ）

A．175 B．200 C． D．250

4．已知函数，则函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

5．如图，点在圆上，且点位于第一象限，圆与正半轴的交点是，点的坐标为，，若 则的值为

A． B． C． D．

6．如图，四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

7．已知，则a，b，c大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

8．如图，平面平面ABEF，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为矩形，且，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

9．若，则函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

10．直线被椭圆截得的弦长是

A． B． C． D．

11．已知A，B，C，D在球O的表面上， 为等边三角形且边长为3，平面ABC，，则球O的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为 （    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知向量，若，则______

14．已知的展开式中含项的系数为，则______.

15．点M是双曲线渐近线上一点，若以M为圆心的圆与圆C：x2+y2-4x+3=0相切，则圆M的半径的最小值等于________.

16．中，角、、所对的边分别为、、.若，且，则面积的最大值为___________.

三、解答题

17．某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：

(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？

(2)该商店在春节期间开展促销活动，该产品共有如下两个销售方案.方案一：按原价的8折销售；方案二：顾客购买该产品时，可在一个装有4张“每满200元少80元”，6张“每满200元少40元”共10张优惠券的不透明箱子中，随机抽取1张，购买时按照所抽取的优惠券进行优惠.已知该产品原价为260（元/件）.顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付的金额；你认为顾客甲选择哪种购买方案较为合理？

附表及公式：

其中，.

18．已知数列是公差为2的等差数列，.是公比大于0的等比数列，，.

(1)求数列和的通项公式；

(2)若数列满足，求的前项和.

19．如图，在三棱柱中，侧面和侧面均为正方形，为棱的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)若直线与平面所成角为30°，求平面与平面夹角的余弦值．

20．已知椭圆（）经过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆长轴上两个动点，满足，直线，分别交椭圆于点，（均不同于），求证：直线的斜率为定值.

21．已知函数，其中．

(1)求的最大值；

(2)若不等式对于任意的恒成立，求实数a的取值范围．

22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为(为参数)，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为(为直线的倾斜角)．

(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;

(2)设，直线与曲线相交于两点，求的最大值．

23．已知函数．

(1)恒成立，求实数m的取值范围；

(2)在（1）的条件下，设m的最大值为，a，b，c均为正实数，当时，求的最小值．

参考答案

1．B

【分析】先利用复数相等求得复数，进而求得的虚部.

【详解】设，则，

所以，

则，解之得，则，

即的虚部为1.

故选：B

2．C

【分析】解不等式得，再根据集合运算求解即可.

【详解】解：因为等价于，解得或，

所以，

因为，

所以，

所以.

故选：C

3．C

【分析】按照直方图的定义计算即可.

【详解】由图可知，收入在2500元以上的有： （人）；

故选：C.

4．A

【分析】由函数的奇偶性，特殊点的函数值对选项逐一判断，

【详解】，

，

故为偶函数，故B，C错误，

当时，，，故，故D错误，

故选：A

5．A

【分析】直接利用两点间的距离公式求出半径，再写出A的坐标,由A，B的坐标，利用两点间的距离公式即可解得-6sinα+8cosα=5，结合+=1，即可解得的值．

【详解】半径r＝|OB|1，

由三角函数定义知，点A的坐标为（cosα，sinα）；

∵点B的坐标为（，），|BC|，

∴，

∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又+=1，

∴解得sin或，又点位于第一象限，∴0<<，∴sin，

故选A.

【点睛】本题主要考查了三角函数定义，两点间的距离公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．

6．C

【分析】由三视图知原几何体是正四棱锥，底面为边长是2的正方形，高为2，从而可求该四棱锥的侧面积.

【详解】由三视图知原几何体是正四棱锥，如图，是棱锥的高，,

是的中点，则是斜高，,

所以.

所以该四棱锥的侧面积为.

故选:C.

7．D

【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性得，再构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而得到，即可得解.

【详解】令，，则，即当时，，

∴在上单调递增，∴，

∴，∴，即；

令，，∴，

∴在上单调递增，∴，

∴，

∴，即，综上可知：.

故选：D

8．C

【分析】建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.

【详解】建立空间直角坐标系如下图所示，，所以.设平面的法向量为，则，令，则，所以.设直线与平面所成角为，则.

故选：C

【点睛】本小题主要考查线面角的正弦值的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

9．A

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为，结合正弦函数的图像和性质，求解即可.

【详解】由题意，

当时，有，

当，即时，；

当，即时，.

即函数的值域为.

故选：A

10．A

【分析】直线y＝x+1代入，得出关于x的二次方程，求出交点坐标，即可求出弦长．

【详解】将直线y＝x+1代入，可得，

即5x2+8x﹣4＝0，

∴x1＝﹣2，x2，

∴y1＝﹣1，y2，

∴直线y＝x+1被椭圆x2+4y2＝8截得的弦长为

故选A．

【点睛】本题查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题．

11．C

【分析】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，计算，，根据勾股定理得到，计算表面积得到答案.

【详解】球心在平面的投影为的中心，设为，连接，

是中点，连接，如图所示：

，，则，四边形为矩形，

，，故，.

故选：C

12．A

【分析】由题意可得，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线对称，可得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值．

【详解】不等式，

所以，

即为，

即有，

可令，

则成立，

由和互为反函数，可得图象关于直线对称，

可得有解，

则，即，

可得，导数为，

可得时，函数递减，时，函数递增，

则时，取得最大值，

可得即有，所以，

可得，

即的最大值为．

故选：A

【点睛】关键点睛：解答本题有两个关键，其一，是得到有，想到令换元，则成立，；其二，通过转化得到有解，再利用导数解答.

13．##

【分析】求出向量的坐标，然后利用向量平行的坐标公式计算即可.

【详解】由已知，

又，

，

解得.

故答案为：.

14．##

【分析】求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解.

【详解】，

又的展开式通项为，

的展开式通项为，

，解得.

故答案为：.

15．

【分析】先得到渐近线方程，再根据圆M的半径最小，得到圆M与圆C外切，且直线MC与直线2x-y=0垂直.此时圆M的半径的最小值rmin=|MC|min-R，从而可解.

【详解】不妨设点M是渐近线2x-y=0上一点.

∵圆C：x2+y2-4x+3=0的标准方程为，

∴圆心C（2，0），半径R=1.

若圆M的半径最小，则圆M与圆C外切，且直线MC与直线2x-y=0垂直.

因此圆M的半径的最小值rmin=|MC|min-R.

由于，故.

故答案为：

16．##

【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出面积的最大值.

【详解】因为，由正弦定理可得，

所以，，

因为、，则，所以，，故，

由余弦定理可得，

所以，，则.

当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为.

故答案为：.

17．(1)有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系

(2)元，选择方案二较为合理

【分析】（1）根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；

（2）设甲顾客按方案二购买一件产品需要出元，写出的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求出期望即可，再求出选择方案一所需的金额，即可得出结论.

【详解】（1），

所以有99%的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系；

（2）若甲顾客按方案二购买一件产品，设需要出元，则可取，

，

所以（元），

所以顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付元，

若甲顾客按方案一购买一件产品，则需要（元），

因为，

所以顾客甲选择方案二购买较为合理.

18．(1)，

(2)

【分析】（1）由等差数列的求和公式解方程可得首项，进而得到；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到；

（2）由等比数列的求和公式，结合数列的错位相减法求和，可得所求和.

【详解】（1）数列是公差为2的等差数列,

,

得，

，

是公比大于0的等比数列，，设公比为，

，解得(负值舍去)，

；

（2）由（1）得，

①，

②，

①-②得

，

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得平面，即平面，进而，再次利用线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；

（2）建立如图空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，结合面面角的向量求法即得.

【详解】（1）因为侧面、侧面均为正方形，

所以，，又，平面，

所以平面，又，所以平面，

又平面，所以．

由，为棱的中点，所以，

又，平面，

因此平面，又平面，

故平面平面；

（2）由（1）得是与侧面所成角，即，

令，所以，又，

所以，，，

则，．

以A为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，．所以，．

设是平面的一个法向量，

则即取．

易知是平面的一个法向量，

则．

而平面与平面的夹角为锐角，

所以平面与平面的夹角的余弦值为．

20．（1）；（2）定值为，证明见解析.

【分析】（1）根据离心率和点在椭圆上，再结合即可求出；

（2）设出直线的方程再代入到椭圆方程消去y，由根与系数的关系得到两根关系，根据长度关系得到斜率关系，最后结合两根关系即可解出.

【详解】（1）由，即，

∵代入椭圆，可得，根据

解得，，∴椭圆的方程为.

（2）动点，是椭圆长轴上两个动点，直线，分别交椭圆于点，

可知直线方程斜率存在，设直线方程为，

联立，消去，可得，

显然.

设，，

由根与系数的关系，可得，，

根据，可得，即，

化简可得……①.

将和代入①式，整理可得；

因为点不在直线上，可得，那么.

∴.

故得直线的斜率为定值.

【点睛】直线与椭圆相结合的题目比较综合，常规套路是将直线方程代入到椭圆方程消元，再由根与系数的关系得到两根关系，此时应结合题目条件找到另一个坐标关系，然后将二者结合得到结论.

21．(1)1

(2)

【分析】（1）求导，得到函数单调性，极值最值情况，求出最大值；

（2）先考虑时满足题意，再分与两种情况，求导后变形，与题干中的建立联系，分类讨论求出实数a的取值范围.

【详解】（1），，

令，解得：或，

令，解得：，

故在，上单调递增，在上单调递减，

故在处取得极大值，，

令，即当时，恒成立，

故在处取得最大值，；

（2）设，其中，

①当时，，符合题意，

②当时，，且，

由（1）知：在单调递增，故，

若，，则单调递减，有，符合题意，

若，，符合题意，

若，即时，，则在上单调递减，有，符合题意，

若，即时，存在使得，

当时，，故，则单调递增，可得，不合题意，

因此当时，满足题意得，

③当时，，且，

由②可知：只需考虑，

若，即时，由（1）知在上单调递减，故，

存在，使得，

当时，，得，则单调递减，

可得：，不合题意，

若，即时，由（1）可知：当时，，，

故，则在上单调递增，有，符合题意，

若，，符合题意，

若，下面证明符合题意，

当时，，故，

当时，设，则，

可得在上单调递增，在上单调递减，

故，

从而，符合题意，

综上：.

【点睛】数学问题的转化要注意等价性，也就是充分性与必要性兼备，有时在探求参数的取值范围时，为了寻找解题突破口，从满足题意得自变量范围内选择一个数，代入求得参数的取值范围，从而得到使得问题成立的一个必要条件，这个范围可能恰好就是所求范围，也可能比所求的范围大，需要验证其充分性，这就是所谓的必要性探路和充分性证明，对于特殊值的选取策略一般是某个常数，实际上时切线的横坐标，端点值或极值点等.

22．(1)；；

(2)2

【分析】（1）利用与正弦的和差公式可求得直线的直角坐标方程；利用消参法可求得曲线的普通方程；

（2）法一：先由条件得到直线的参数方程，再联立直线与曲线的方程，利用参数的几何意义得到，从而得解；

法二：利用圆的切割线定理得到，从而得到，由此得解.

【详解】（1）由，得，

由，得直线的直角坐标方程为，

由(为参数)，两式相除得，

所以，整理得曲线的普通方程为.

（2）法一：

因为直线经过点，所以直线的参数方程为(为参数)，

代入中，得，

由，得，又，故，

所以，

所以，

因为，所以，故，则，

所以，

当且仅当时，等号成立，故的最大值为2.

法二：

直线经过点，曲线为除点外，以为圆心半径为的圆，

易得圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，且为切点，

所以由圆的切割线定理得，

所以，当且仅当为圆的直径时，等号成立，

故的最大值为2．

23．(1)m的取值范围为；

(2)的最小值为.

【分析】(1)由已知 ，由绝对值三角不等式可求最大值，再解不等式求实数的取值范围；(2)由向量的数量积的性质可得，

由此可得的最小值.

【详解】（1）因为恒成立，所以，

由绝对值三角不等式知，当且仅当时等号成立，所以，即，∴，所以m的取值范围为；

（2）由（1）得，，

设向量，，所以，

又，当且仅当，方向相同时等号成立，

所以，

（当且仅当时，等号成立）

所以，即的最小值为.