四川省2023届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试卷（含解析）

四川省2023届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试卷

学校:___________姓名：___________班级：____________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

3．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）

A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

5．过抛物线焦点F的直线与圆相切于点P，则（    ）

A．3 B． C．4 D．

6．函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

7．关于x方程的两个根为a，b，且，则以下结论正确的个数是（    ）

（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．将函数图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（    ）

A． B． C． D．

9．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断不正确的是（    ）

A． B．平面

C．与所成的角为 D．

10．直线与抛物线C：交于A，B两点，点P为抛物线的准线与x轴的交点，若，则（    ）

A． B．3 C． D．6

11．在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12．已知在R上为单调递增函数，过点且平行于y轴的直线与函数的图象的交点为P，函数在点P处的切线交x轴于点B，当a变化时，的面积最小时，函数的解析式为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，则其共轭双曲线离心率为__________．

14．已知向量，若，则______

15．化简________.

16．甲订了一份报纸，送报人可能在早上之间把报纸送到甲家，而甲取报纸的时间在早上之间，则甲能得到报纸的概率为__.

三、解答题

17．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒．对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位．明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：

(1)现在用分层抽样的方法在第二，三组共选取5人参加传染病知识学习，若从参加学习的5人中随机选取2人参加考试，求恰有一人来自第二组的概率；

(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．

附：

，其中．

18．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

19．在如图所示的多面体ABCDE中，平面ABC，，，，．

(1)证明：平面平面BDE；

(2)求多面体ABCDE的体积．

20．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线，分别交直线于E，F两点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

21．已知函数．

(1)为函数的导函数，对任意的恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若函数有两个不同的极值点，证明：．

22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的直角坐标方程；

(2)已知直线过点，与曲线交于，两点，为弦的中点，且，求的斜率．

23．已知函数，．

(1)求函数的值域；

(2)若a>0，b>0，且，不等式恒成立，求实数的取值范围．

参考答案

1．D

【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，即可求解.

【详解】由解得，

又因为，所以，

所以，

故选:D.

2．D

【分析】根据给定条件，结合复数的乘方及除法运算求出复数，再求出的虚部作答.

【详解】依题意，，即，

所以复数的虚部是.

故选：D

3．C

【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.

【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.

4．B

【分析】将已知等式两边平方，结合同角的三角函数关系以及二倍角的正弦公式，即可求得答案.

【详解】由可得，，

即，

故选：B

5．C

【分析】由题可得，圆心为，半径为3，然后利用切线长公式即得.

【详解】由题可得，圆，即，圆心为，半径为3，

所以.

故选：C.

6．A

【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对任意的，，则函数的定义域为，

，则函数为偶函数，排除BC选项，

当时，，则，排除D选项.

故选：A.

7．C

【分析】根据题意结合对数分析可得，且，对（1）：解不等式即可得结果；对（2）：由，根据的单调性分析运算即可；对（3）：，构建，结合的单调性分析判断；对（4），构建，结合的单调性分析判断.

【详解】由题意可得：，则，故，

∵，故，且，

对（1）：由，即，解得或，

∵，故，（1）正确；

对（2）：∵，且在上单调递减，

∴，（2）正确；

对（3）：构建，则在上单调递增，故，

可得，即，

∵，等价于，

构建，

∵，则在定义域内单调递增，

∴，即，C错误；

对（4）：由（1）得，且，

由，等价于，等价于，

构建，则，

令，则，

故在上单调递增，在上单调递减，且，

∴在上恒成立，即，

又∵在上单调递减，则在上恒成立，即，

故，（4）正确.

故选：C.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

（1）作差或变形；

（2）构造新的函数h(x)；

（3）利用导数研究h(x)的单调性或最值；

（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．

8．C

【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可得答案.

【详解】由题意知将函数图象向左平移个单位长度，

则得到函数的图象，

故所得图象的函数解析式为，

故选：C

9．A

【分析】由正方体的平面展开图还原正方体，可直接判断A、D的正误；根据且可证，可得平面；可证，在等边三角形△中分析与所成的角．

【详解】如图：由正方体的平面展开图还原正方体

根据图形显然不平行，，A不正确，D正确；

∵且，则为平行四边形

∴

平面，平面

则平面，B正确；

连接

∵且，则为平行四边形

∴

又∵，即△为等边三角形

∴与所成的角为，C正确；

故选：A．

【点睛】

10．C

【分析】由列方程求得两点的横坐标，结合抛物线的定义求得.

【详解】直线，过抛物线的焦点，

设，

，消去并化简得，

，.

由于，所以，

， ，

，

，

整理得，由于为正数，

所以，所以.

故选：C

11．B

【分析】设MN与BD的交点为H，连接，证明平面ABC．设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过，分别作平面ABC，平面的垂线，设两垂线交于点O，则O是三棱锥外接球的球心，先求出，再求出三棱锥的外接球的半径即得解.

【详解】如图所示，因为，，

所以，设MN与BD的交点为H，连接，

因为，，所以，则，，

所以．又，则，则．又，，平面ABC，故平面ABC．

设的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，过，分别作平面ABC，平面的垂线，设两垂线交于点O，则O是三棱锥外接球的球心，且四边形为矩形．设的外接圆半径为，在中，由，解得，同理可得的外接圆半径，所以．设三棱锥的外接球半径为R，则，则三棱锥的外接球的表面积.

故选：B．

12．D

【分析】由导数的几何意义求切线方程后得点坐标，将的面积表示为的函数，由导数判断单调性后求解，

【详解】在R上为单调递增，则，

由已知得，，，，

曲线在点P处的切线方程为，令得，

故可得．所以的面积

∴．

当时，，当时，．

故在上单调递减，在上单调递增．

所以时，有最小值，故此时．

故选：D

13．

【分析】本题首先可以求出双曲线的实轴长以及虚轴长，然后结合题意求出其共轭双曲线的实轴长以及虚轴长，最后根据离心率即可得出结果.

【详解】因为双曲线的解析式为，

所以，双曲线的实轴长为，，双曲线的虚轴长为，

因为以双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，

所以双曲线的共轭双曲线实轴长为，虚轴长为，

此时，，

故，离心率，

故答案为：.

【点睛】本题考查共轭双曲线的离心率的求法，能否结合题意得出共轭双曲线的实轴长以及虚轴长是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.

14．##

【分析】求出向量的坐标，然后利用向量平行的坐标公式计算即可.

【详解】由已知，

又，

，

解得.

故答案为：.

15．8

【解析】由二倍角公式得出，再将分子分母同乘以结合商数关系化简得出，逆用两角差的正弦公式，二倍角的正弦公式求解即可.

【详解】原式.

故答案为：8

【点睛】本题主要考查了利用两角差的正弦公式，商数关系以及二倍角公式化简求值，属于中档题.

16．

【分析】求出全部结果所构成的区域以及甲能看到报纸构成的区域，由面积之比可得.

【详解】设送报人到达的时间为，甲取报纸的时间为，

记甲能得到报纸为事件，可以看成是平面中的点，

试验的全部结果所构成的区域为，

这是一个正方形区域，面积，

事件所构成的区域为，.

所以，

故答案为：.

17．(1)

(2)填表见解析；没有

【分析】（1）根据分层抽样确定抽取人数，然后列举出所有结果，由古典概型概率公式可得；

（2）根据公式计算，然后查表可得.

【详解】（1）根据分层抽样方法，

第二组抽取人数为，第三组抽取人数为，

假设第二组2人为，；第三组3人为，，，

从5人中抽取2人有和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，

共10种选择，恰有一人来自第二组有6种，

故恰有一人来自第二组的概率为；

（2）根据分层抽样方法，

潜伏期不超过6天的抽取人数为，

潜伏期超过6天的抽取人数为，

根据题意补充完整的列联表如下：

则，

所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.

18．(1)，；

(2).

【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式；

（2）用错位相减法求数列的和．

【详解】（1）解：设的公差为，的公比为，，，

联立，整理可得，解得，

所以，.

（2）解：由（1）知，

则，①

，②

①-②，得

.

所以.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）说明四边形CFGD为平行四边形，由线面垂直证，再由线线垂直证平面ABE，最后可证平面平面BDE；

（2）多面体ABCDE的体积等于三棱锥的体积与三棱锥的体积之和，

其中说明平面ABE、平面ABE，可得点D到平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离，并计算其值；说明平面ABC，则为三棱锥的高.

【详解】（1）证明：设AB，BE的中点分别为F，G，连接CF，FG，DG，则，且，

又，且，所以，且，

所以四边形CFGD为平行四边形，所以．

因为平面ABC，平面ABC，所以，所以，

因为，F为AB的中点，所以，所以，

又AB，平面ABE，且，所以平面ABE，

又平面BDE，所以平面平面BDE．

（2）由（1）得，，且AB，平面ABE，，所以平面ABE，

又因为，，F为AB的中点，所以．

因为，平面ABE，平面ABE，所以平面ABE，

所以点D到平面ABE的距离等于点C到平面ABE的距离．

因为平面ABC，AC，平面ABC，所以，，

又，所以，，又AC，平面ABC，且，所以平面ABC，

连接AD，多面体ABCDE的体积V等于三棱锥的体积与三棱锥的体积之和，

而，，

所以多面体ABCDE的体积．

20．(1)

(2)见解析

【分析】（1）设椭圆C的方程为，由两点得出椭圆C的标准方程；

（2）联立直线l与椭圆方程，由直线的方程得出坐标，再由韦达定理以及数量积公式，得出的范围，进而得出的最值.

【详解】（1）设椭圆C的方程为且，

因为椭圆C过点与点，所以，解得.

所以椭圆C的标准方程为.

（2）设直线，

由，得，

即，则.

直线的方程分别为.

令，则.

则，

，

所以

.

因为，所以.

即的取值范围为.

所以存在最小值，且最小值为.

【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于利用韦达定理将双变量变为单变量问题，从而由的范围，得出的取值范围.

21．(1)

(2)证明过程见详解

【分析】（1）先求，将对任意的恒成立问题转化为对任意的恒成立问题，再分离参数，结合对勾函数的性质即可得到实数a的取值范围；

（2）结合（1）知当时单调递减，无极值点，不满足条件；讨论当时，得到，满足条件，先证明，再将要证转化为只需证，构造函数，再通过函数的单调性即可证明结论．

【详解】（1）依题意得对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

所以，

又，当且仅当时取“=”，所以．

（2）由（1）知当时单调递减，无极值点，不满足条件．

当时，令，

得，则，所以其两根为，

由韦达定理得，

又∵，∴，满足条件，

令，则，

∴，∴，

要证只需证，

即证，即证，即，

令，即证，

令，，

则，

所以在单增，，

故结论得证．

【点睛】关键点点睛：先证明，再将要证转化为只需证，构造函数，再通过函数的单调性是解答小问（2）的关键．

22．(1)

(2)

【分析】（1）两边同时乘以，利用和差公式展开，代入公式即可求解.

（2）根据参数方程的几何意义，联立方程得出韦达定理，将韦达定理代入即可求解.

【详解】（1）由得,,

即,所以曲线的直角坐标方程为

（2）易知直线过点,设直线倾斜角为,

则直线的参数方程为(为参数),

代入得,易得,

设,对应的参数分别为,则，

故.

解得,

则,

的斜率为.

23．(1)

(2)．

【分析】（1）根据绝对值的几何含义，分，，三种情况，分类讨论求解或者绝对值不等式性质求解.

（2）根据“1”的代换，结合基本不等式，求出的最小值，结合（1）分情况讨论，解不等式即可.

【详解】（1）法一：由题得，

其中，当时，，从而易得函数的值域为．

法二：由绝对值不等式的性质可得，，

所以，当且仅当，即或时取得等号，

故函数的值域为．

（2）由基本不等式，得，

当且仅当时取得等号，故的最小值为2．

由题得，，即，

等价于或或，

由此可解得，故原不等式的解集为．