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    2023届四川省成都市石室中学高三下学期二诊模拟考试数学(理)试题含解析

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    2023届四川省成都市石室中学高三下学期二诊模拟考试数学(理)试题含解析

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    这是一份2023届四川省成都市石室中学高三下学期二诊模拟考试数学(理)试题含解析,共20页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    2023届四川省成都市石室中学高三下学期二诊模拟考试数学(理)试题

    一、单选题
    1.已知集合,,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】直接解出集合,再利用指数函数单调性即可解出集合,最后根据并集含义即可得到答案.
    【详解】由题意可得,集合,,解得,
    则,所以.
    故选:C.
    2.已知z的共轭复数是,且(i为虚数单位),则复数z的虚部为(    )
    A. B. C.-2 D.-2i
    【答案】C
    【分析】设复数,根据题意和复数的相关知识进行求解即可.
    【详解】设.因为,所以,解得则,所以复数z的虚部为-2.
    故选:C.
    3.下图是我国跨境电商在2016~2022年的交易规模与增速图,由图可以知道下列结论正确的是(    )

    A.这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元
    B.这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大
    C.这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元
    D.图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8%
    【答案】D
    【分析】根据图逐项进行分析即可求解.
    【详解】对于,由图可知:这7年我国跨境电商交易规模的平均数为:
    万亿元,故选项错误;
    对于,由图可知:交易规模的增速并不是越来越大,故选项错误;
    对于,由图可知:这7年我国跨境电商交易规模的极差为,故选项错误,
    对于,由图可知:6个增速的中位数为和的平均数,即,故选项正确,
    故选:.
    4.设实数,满足约束条件,则的最小值为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】作出可行域如图所示,表示斜率为的平行直线,平移可得过点时,取最小值,代入计算即可.
    【详解】作出可行域如图中阴影部分所示,可化简为,即斜率为的平行直线,由,解得,结合图形可知,当直线过点时,取最小值,.
    故选:C

    5.的展开式中,常数项为(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【分析】先求出展开式的通项公式,然后求出其一次项系数和常数项,从而可求得结果.
    【详解】展开式的通项公式为,
    所以的展开式中,常数项为

    故选:D
    6.我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,“割之弥细,所失弥少,割之,又割,以至于不可割,则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割,一直分割到圆内接正3072边形,用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法,由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【分析】求出正n边形的面积、正边形的面积为,由可得答案.
    【详解】对于正n边形,其圆心角为,面积为,对于正边形,其圆心角为,
    面积为,由此可得,.
    故选:B.
    7.从0,2,4中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(  )
    A.24 B.27 C.30 D.36
    【答案】C
    【分析】分两种情况讨论:选0或2,4,分别求出组成无重复数字的三位奇数的个数,再求和即可.
    【详解】第一类,从0,2,4中选一个数字,若选0,则0只能排在十位,故有个奇数,
    第二类,从0,2,4中选一个数字,若不选0,先把奇数排个位,再排其它,故有个奇数,
    综上可得,从0,2,4中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为个, 故选C.
    【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用,属于难题.有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率.
    8.已知双曲线的右焦点为,点、在双曲线上,且关于原点对称.若,且的面积为,则双曲线的离心率为(    )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【分析】设该双曲线的左焦点为,分析可知四边形为矩形,利用三角形的面积公式、勾股定理以及双曲线的定义可求得的值,即可求得该双曲线的离心率的值.
    【详解】因为双曲线的右焦点为,所以,设该双曲线的左焦点为.
    由题意可知为、的中点,则四边形为平行四边形,
    因为,所以,四边形为矩形,所以,,
    由的面积为,得,则.
    又,则,
    所以.
    则由双曲线的定义可得,所以,则离心率.
    故选:C.
    9.已知函数满足,,当时,,则(    )
    A. B. C. D.
    【答案】D
    【分析】首先证明函数为奇函数,再得到其周期为2,最后得,代入已知解析式即可.
    【详解】因为满足,且定义域关于原点对称,所以为奇函数.
    又因为,所以,
    所以是周期为2的奇函数.
    又因为时,,
    所以
    .
    故选:D.
    10.已知抛物线:与直线相交于,两点,为抛物线的焦点,若,则的中点的横坐标为
    A. B.3 C.5 D.6
    【答案】A
    【解析】据题意,设AB的中点为G,根据直线方程可知直线恒过定点,据此过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,根据|FA|=2|FB|,推断出|AM|=2|BN|,点B为AP的中点、连接OB,进而分析可得|OB|=|BF|,进而求得点B的横坐标,则点B的坐标可得,又由B为P、A的中点,可得A的横坐标,进而由中点坐标公式分析可得答案.
    【详解】根据题意,设AB的中点为G,
    抛物线C:y2=8x的准线为l:x=﹣2,焦点为(2,0),
    直线y=k(x+2)恒过定点P(﹣2,0)
    如图过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,
    由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,
    点B为AP的中点、连接OB,则|OB||AF|,
    又由|FA|=2|FB|,则|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,
    B为P、A的中点,则A的横坐标为4,
    故AB的中点G的横坐标为;
    故选A.

    【点睛】本题考查抛物线的标准方程及其性质,注意抛物线的几何性质、定义的应用,属于基础题.
    11.设,则下列关系正确的是(    )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【分析】将三个值中的共同量0.05用变量替换,构造函数,利用导数研究相应函数的单调性,进而比较大小.
    【详解】记,因为,当时,,所以在上单调递增,
    则当时,,即,取,所以,
    记,因为,所以在上单调递减,
    则当时,,即,取,所以,故,即;
    记,因为,当时,,所以在上单调递增,
    所以当时,,即,取,所以,即;
    所以.
    故选:C.
    12.已知正方体的棱长为为的中点,为所在平面上一动点,为所在平面上一动点,且平面,则下列命题正确的个数为(    )
    (1)若与平面所成的角为,则动点所在的轨迹为圆;
    (2)若三棱柱的侧面积为定值,则动点所在的轨迹为椭圆;
    (3)若与所成的角为,则动点所在的轨迹为双曲线;
    (4)若点到直线与直线的距离相等,则动点所在的轨迹为抛物线
    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【答案】D
    【分析】对于(1),利用圆的定义判断;对于(2),利用椭圆的定义判断;对于(3),易得运动成圆锥面判断;对于(4),利用抛物线的定义判断.
    【详解】如图所示:

    对于(1),因为与平面所成的角为,所以,
    所以点的轨迹为圆,所以正确;
    对于(2),当三棱柱的侧面积为定值时,因为高为2,则为定值,且大于,所以点的轨迹为椭圆,正确;
    对于(3),因为、,所以,
    于是满足条件的运动成圆锥面,又平面,所以圆锥面被平面所截的交线为双曲线,所以正确;
    对于(4),因为点到直线与直线距离相等,所以点的轨迹为点到点与直线的距离相等的轨迹,即抛物线,所以正确;
    故选:D.

    二、填空题
    13.平面向量,满足,,且,则的值为______.
    【答案】
    【分析】先利用向量坐标的加减法运算求出,再用向量数量积的坐标运算即可求出结果.
    【详解】因为,,所以,
    又因为,所以,解得.
    故答案为:
    14.已知直线,,圆C与,都相切,则圆C的一个方程为________.(写出满足题意的任意一个即可)
    【答案】(答案不唯一)
    【分析】根据题意可得直线,关于直线对称,设一个圆心坐标,利用直线与圆相切即可求出半径.
    【详解】由题意可得,直线的斜率为,直线的斜率为,因为,
    所以直线,关于直线对称.
    则圆的圆心坐标在直线或上,
    不妨设圆的圆心坐标为,因为圆C与,都相切,
    所以圆的半径,
    所以圆C的一个方程为,
    故答案为:(答案不唯一).
    15.已知三棱锥的体积为,各顶点均在以PC为直径的球面上,,,,则该球的表面积为______.
    【答案】
    【分析】根据已知条件及余弦定理,利用正弦定理及棱锥的体积公式,结合勾股定理及球的表面积公式即可求解.
    【详解】由,,及余弦定理,得,即,解得,,
    所以,
    设为外接圆半径,
    所以,解得,
    所以,
    所以,解得,即点P到平面ABC的距离为2,
    所以外接球球心O(PC的中点)到平面ABC的距离,
    以外接球半径,
    所以.
    故答案为:.
    16.已知函数,,,且在上单调,则的最大值为_________.
    【答案】5
    【详解】解答:
    函数f(x)=2sin(ωx+φ),
    ∴f(−)=2sin(−ω+φ)=0,
    ∴−ω+φ=kπ,k∈Z①;
    又f(−x)=f(+x),
    ∴x=是f(x)图象的对称轴,
    ∴ω+φ=k′π+π2,k′∈Z②;
    由①②得,φ=k+k′2π+,k∈Z,
    ∴取φ=,且ω=−4k+1,k∈Z;
    ∴f(x)=2sin(ωx+)的最小正周期为T=;
    又f(x)在上单调,
    ∴−⩽,即⩽,
    解得ω⩽6;
    综上,ω的最大值为5.
    故答案为5.
    点睛:等价于对称中心为(,0);等价于对称轴为x=;在上单调隐含者区间长度小于等于周期的一半.

    三、解答题
    17.针对我国老龄化问题日益突出,人社部将推出延迟退休方案.某机构进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示.

    支持
    保留
    不支持
    50岁以下
    8000
    4000
    2000
    50岁以上(含50岁)
    1000
    2000
    3000

    (1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取n个人,已知从持“不支持”态度的人中抽取了30人,求n的值;
    (2)在持“不支持”态度的人中,用分层抽样的方法抽取10人看成一个总体,从这10人中任意选取3人,求50岁以下人数的分布列和期望.
    【答案】(1)120
    (2)分布列见解析,

    【分析】(1)根据题意求出参与调查的总人数,利用分层抽样的特征即可求解;
    (2)抽取的10人中,50岁以下与50岁以上的人数分别为4人,6人,根据超几何分布列出分布列求得期望.
    【详解】(1)参与调查的总人数为,其中从持“不支持”态度的人数中抽取了30人,所以.
    (2)在持“不支持”态度的人中,50岁以下及50岁以上人数之比为2∶3,因此抽取的10人中,50岁以下与50岁以上的人数分别为4人,6人,故,
    则,,,.
    的分布列为:

    0
    1
    2
    3
    P





    期望.
    18.已知数列的前n项和为
    (1)求数列的通项公式;
    (2)令①;②;③从上面三个条件中任选一个,求数列的前项和注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
    【答案】(1)
    (2)答案见解析

    【分析】(1)根据的关系求通项公式;
    (2)选①,利用错位相减法求和,选②,利用裂项相消求和,选③,利用并项求和以及等差数列前项和公式.
    【详解】(1),
    两式相减得,



    数列是以2为首项,2为公比的等比数列,

    (2)由(1)可知,
    若选①:,

    .
    两式相减得:,
    所以.
    若选②:
    .
    若选③:
    当为偶数时,
    当为奇数时,.
    综上得:.
    19.如图1,在中,B=90°,AB=4,BC=2,D,E分别是边AB,AC的中点,现将沿着DE折起,使点A到达点P的位置,连接PB,PC,得到四棱锥P-BCED,如图2所示,设平面平面PBC=l.

    (1)求证:平面PBD;
    (2)若点B到平面PDE的距离为,求平面PEC与平面PBD夹角的正弦值.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)

    【分析】(1)利用线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理以及性质定理进行证明.
    (2)利用线面垂直的判定定理、性质定理以及空间向量、平面与平面的夹角公式进行计算求解.
    【详解】(1)证明:因为,所以.
    因为D,E分别是边AB,AC的中点,
    所以,所以DE⊥BD,DE⊥PD.
    又BD,平面PBD,,
    所以DE⊥平面PBD.
    因为,平面PBC,平面PBC,
    所以平面PBC.
    又平面PDE,平面平面,
    所以,所以平面PBD.
    (2)
    如图,过点B作,垂足为F.
    由(1)可知,平面PDE⊥平面PBD.
    又平面平面PBD=PD,所以BF⊥平面PDE,
    所以点B到平面PDE的距离即为BF的长,则.
    在中,,所以.
    又BD=PD=2,所以是边长为2的等边三角形.
    取BD的中点O,连接OP,则,.
    由(1)可知,DE⊥平面PBD.
    又平面PBD,所以DE⊥OP.
    又,BD,平面BCED,
    所以OP⊥平面BCED.
    以D为坐标原点,DB,DE所在直线分别为x轴、y轴,
    且以过点D与OP平行的直线为z轴,建立空间直角坐标系如图所示,
    则,,,,
    所以,,.
    设平面PEC的法向量为,

    令,得,,
    所以是平面PEC的一个法向量.
    易知是平面PBD的一个法向量,
    所以,
    所以平面与平面夹角的正弦值为.
    20.已知椭圆经过点,其右焦点为.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)椭圆的右顶点为,若点在椭圆上,且满足直线与的斜率之积为,求面积的最大值.
    【答案】(1)
    (2)

    【分析】(1)根据椭圆过的点和右焦点,列方程组求出,则椭圆方程可求;
    (2)设,与椭圆方程联立,消去,利用韦达定理计算,可得的关系,利用的关系表示出,利用二次函数的性质求出最值.
    【详解】(1)依题可得解得
    所以椭圆的方程为;
    (2)易知直线与的斜率同号,所以直线不垂直于轴,
    故可设,
    由可得,,
    所以,即,
    而,即,
    化简可得,


    化简得,
    所以或,
    所以直线或,
    因为直线不经过点,
    所以直线经过定点.
    所以直线的方程为,易知,
    设定点



    因为,且,
    所以,所以,
    设,
    所以,
    当且仅当,即时取等号,即面积的最大值为.
    【点睛】方法点睛:在圆锥曲线中涉及到三角形面积的求解时,常常有三种求解三角形面积的方法:
    (1)常规面积公式:底高;
    (2)正弦面积公式:;
    (3)铅锤水平面面积公式:
    过轴上的定点:(为轴上定长)
    过轴上的定点(为轴上定长)
    21.已知函数.
    (1)讨论的零点个数;
    (2)若有两个零点,,求证:.
    【答案】(1)答案见解析
    (2)证明见解析

    【分析】(1)利用导数可求出的最小值为,讨论最小值与0的大小结合零点存在性定理可解决问题;
    (2)由(1)可得,在区间上单调递增,则与2的大小关系,等价于与的大小关系,即与的大小关系,又注意到,故利用导数研究函数的单调性即可.
    【详解】(1).
    因为,所以当时,,单调递减;
    当时,,单调递增.
    所以.
    当,即时,的零点个数为0.
    当,即时,的零点个数为1.
    当,即时,
    注意到,.
    下面证明.
    设,所以,
    由解得;由解得.
    则在单调递增,单调递减,
    所以,即.
    所以,所以.
    因此,,,使得,所以此时的零点个数为2.
    综上,当时,的零点个数为0;当时,的零点个数为1;当时,的零点个数为2.
    (2)证明:(证法一)由(1)可知,当时,函数有两个零点,且.
    令,,则.
    当时,,所以在区间上单调递增,
    所以.
    所以.因为,所以.
    又由(1)可知,在区间上单调递增,所以,故.
    (证法二)由,得
    则.
    由对数平均不等式,得,
    所以,
    所以.又,所以.
    【点睛】关键点点睛:本题涉及讨论函数零点与双变量问题,难度较大.
    (1)讨论零点常利用导数结合零点存在性定理或数形结合,本题采用第一种方法,难点在于取点;
    (2)该问为极值点偏移问题,常利用构造差函数或利用消元将双变量变为单变量.
    22.在平面直角坐标系xOy中,已知直线与曲线,(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
    (1)求曲线C的普通方程;
    (2)在极坐标系中,射线与直线l和曲线C分别交于点A,B,若,求的值.
    【答案】(1),
    (2)

    【分析】(1)消去参数即可得到曲线的普通方程;
    (2)写出直线l的极坐标方程为,得到,曲线C的极坐标方程为,曲线C的极坐标方程为,,代入条件结合二倍角公式及同角三角函数关系即可得到的值.
    【详解】(1),,
    则,
    故曲线C的普通方程为,.
    (2)直线l的极坐标方程为,易得.
    曲线C的极坐标方程为,易得.
    由已知,得,,
    ,,
    两边平方并整理得.
    又,即,所以,则.
    23.已知存在,使得成立,,.
    (1)求的取值范围;
    (2)求的最小值.
    【答案】(1)
    (2)

    【分析】(1)利用绝对值不等式即可;
    (2)利用柯西不等式即可.
    【详解】(1)由题意,知.
    因为存在,使得,
    所以只需,即的取值范围是.
    (2)由柯西不等式,得,
    当,时,取得最小值.

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