2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学模试卷（一）（含解析）

这是一份2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学模试卷（一）（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省黄冈市、孝感市、咸宁市中考数学模试卷（一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在下列个实数中，最小的数是（    ）
A． B． C． D．
2．图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是(   )
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．（a3）4＝a12 B．a3•a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2
4．下列说法正确的是（  ）
A．要调查人们对“低碳生活”的了解程度，宜采用普查方式
B．一组数据：3，4，4，6，8，5的众数和中位数都是3
C．必然事件的概率是100%，随机事件的概率是50%
D．若甲组数据的方差S甲2=0.128，乙组数据的方差是S乙2=0.036，则乙组数据比甲组数据稳定
5．圆锥的主视图是边长为4的等边三角形，其侧面展开图的面积为（　　）
A．4π B． C．8π D．
6．已知二次函数的图象经过两点，且，则的值不可能是(    )
A． B． C． D．
7．如图，将沿弦折叠，圆弧恰好经过圆心，点是优弧上一点，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
8．抛物线大致如图，顶点坐标为．下列结论，①；②；③方程两根的和为，④若方程有个实数根，则这个根的和为，其中正确的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
9．﹣4的倒数是_________________ .
10．因式分解：__________．
11．如图，正六边形的对角线与其边的比值为______．

12．如图，在直角坐标系中，点的坐标分别为，若直线与线段有公共点，则的值可以为___________（写出一个即可．）

13．如图，大楼AD高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，则塔高BC为_________m．

14．如图，将放置于平面直角坐标系中，直角顶点在轴正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，反比例函数的图象交于点，若，且的面积为，则___．

15．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
根据以上等式给出的规律，计算： ___．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知正方形ABCO，A（0，3），点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°，连接OE，则OE的最小值为________.


三、解答题
17．(1)计算：．
(2)先化简，再求值：，其中
18．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，．
  
(1)画出向下平移个单位长度后得到的；
(2)画出绕原点顺时针旋转后得到的；
(3)判断以，，为顶点的三角形的形状．(直接写出结果)
19．甲、乙两人用扑克牌玩“10点”游戏，游戏规则如下：
①将牌面数字作为点数，如红桃6的点数就是6（牌面点数与牌的花色无关）；
②每人摸2次，每次摸一张（不放回），将所摸的两张牌的点数相加，若点数之和小于或等于10，此时点数就是最终点数；若点数之和大于10，则最终点数是0；
③游戏结束前双方均不知道对方点数；
④判定游戏结果的依据是：最终点数大的一方获胜，最终点数相等时不分胜负．现在甲已经摸出了两张牌，且这两张牌的数字之和是8，这时桌上还有四张背面朝上的扑克牌，牌面数字分别是4、5、6、7，如图所示．

(1)若乙从桌面上随机摸出一张扑克牌，点数为6的概率是多少？
(2)根据题意和游戏规则，甲乙双方谁获胜的可能大？
20．如图，一次函数的图象交、轴于、两点，以为斜边在第一象限内作等腰直角，反比例函数的图象经过点，连接交于点．

(1)求、的长；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)求的正切值．
21．如图，是的直径，是弦，于，交于，．

(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的长．
22．每年5月，西安郊区的樱桃大量成熟，某樱桃种植户对樱桃的销售价格规定如下：一次购买2千克以下（含2千克）樱桃，单价为元/千克；一次购买2千克以上，超过2千克部分的樱桃价格打七五折，小华对购买量（千克）和付款金额（元）这两个变量的对应关系做了分析，绘制了如图所示的函数图象．请你根据图象回答下列问题．

(1)求与的函数关系式：
(2)已知小华将30元钱全部用于购买樱桃，小丽购买了2千克樱桃，如果他们两个人合起来购买，可以比分开购买多买多少千克樱桃？
23．已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．

(1)如图1，判断线段AP与BQ的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；
(3)如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，请直接写出线段AP的长度．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)为第一象限抛物线上一点，若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标，以及点到直线的距离；
(3)在(2)的条件下，为抛物线上一动点，当时，请直接写出直线的解析式．

参考答案：
1．C
【分析】根据实数大小比较法则进行解答便可．
【详解】解：∵=3，>3， ||=≈<1.5 ，||==1.5，
∴<，即>，
∴>>>．
故选：C．
【点睛】本题考查实数大小的比较．牢记负数大小比较法则是解题关键．两个负数绝对值大的反而小．熟记常见的无理数近似值可使计算简便快捷，如≈1.732．
2．A
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【详解】A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选A．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，熟记轴对称图形的定义是解题关键.
3．A
【分析】利用幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、积的乘方的性质分别进行计算即可．
【详解】解：A、（a3）4=a12，故原题计算正确；
B、a3•a4=a7，故原题计算错误；
C、a2+a2=2a2，故原题计算错误；
D、（ab）2=a2b2，故原题计算错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．
4．D
【详解】A、由于涉及范围太广，故不宜采取普查方式，故A选项错误；
B、数据3，4，4，6，8，5的众数是4，中位数是4.5，故B选项错误；
C、必然事件的概率是100%，随机事件的概率是50%，故C选项错误；
D、方差反映了一组数据的波动情况，方差越小数据越稳定，故D选项正确．
故选D．
5．C
【分析】根据三视图得到这个几何体为圆锥，且圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，
所以这个几何体的侧面展开图的面积4π×4＝8π．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
6．D
【分析】二次函数开口向上，对称轴为直线，根据抛物线上的点与直线的距离越远对应的值就越大，即可得到的取值范围．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当抛物线上的点与直线的距离越远，对应的值就越大，
，且，
点到直线的距离大于点到直线的距离，
或，即，
∴，
而只有，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
7．C
【分析】作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
【详解】解：如图作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB．

∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD．
∴OD=OC=OA．
∴∠OAD=30°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=30°．
∴∠AOB=120°．
∴∠APB=∠AOB=60°．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得∠OAD=30°是解题关键．
8．C
【分析】根据对称轴可得b=4a，由顶点坐标公式可得顶点坐标为，代入解析式即可求解①②；根据图象平移和韦达定理即可确定③④．
【详解】由开口向上，得．
由对称轴，得
由顶点坐标为，得．
．
①．①错．
②．②正确．
③．③正确．
④由，
若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，设方程ax2+bx+c=1的两根分别为x1，x2，则=-2，可得x1+x2=-4，设方程ax2+bx+c=-1的两根分别为x3，x4，则=-2，可得x3+x4=-4，
所以这四个根的和为-8，故结论④正确．
∴②③④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9．
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数解答即可.
【详解】∵-4×（）=1，
∴﹣4的倒数是.
故答案为.
【点睛】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键.求小数的倒数一般先把小数化成分数，求带分数的倒数一般先把带分数化成假分数.
10．
【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：原式=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)；
故答案为：3(x+2)(x−2)．
【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
11．
【分析】先由正六边形的性质得，，，再由等腰三角形的性质得，则，然后由含有的直角三角形的性质得，即可得出结论．
【详解】解：六边形是正六边形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握正六边形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
12．
【分析】将y=3代入求出x=2，再根据点A、B的坐标及直线与线段有公共点即可确定n的取值范围由此得到答案.
【详解】当y=3时，得到，解得x=2，
∵点的坐标分别为，若直线与线段有公共点，
∴，
故答案为：3（答案不唯一）.
【点睛】此题考查两直线相交，由点A与确定的直线可以得到点B在直线上或是在直线的右侧，由此求出直线上纵坐标为3的点的横坐标，即可确定n的取值范围，由此解答问题.
13．45
【分析】用AC分别表示出BE，BC长，根据BC﹣BE=30得方程求AC，进而求得BC长．
【详解】解：根据题意得：，，
∴，
∴BC=，
∵BE=DEtan30°=ACtan30°=．
∴大楼高AD=BC﹣BE=（）AC=30．
解得：AC=15．
∴BC=AC=45．
故答案为：45．
14．
【分析】延长交轴于，如图，利用反比例函数的几何意义得到，则，根据相似三角形的性质，利用，得出，进而证明，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：延长交轴于，如图，

轴，
，，

，
，



，
，


整理得，
解得：，舍去

，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定以及反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
15．/
【分析】直接仿照前面三个等式，即可写出第n个等式，根据前面已知，，的值和所求出的的值，进行计算即可解答．
【详解】解：第n个等式：，
∴



【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，发现规律，根据已知等式，找出数字变换规律是解题的关键．
16．
【分析】如图，作EH⊥x轴于H，连接CE．利用全等三角形的性质证明∠ECH=45°，推出点E在直线y=x-3上运动，作OE′⊥CE，求出OE′的长即可解决问题.
【详解】如图，作EH⊥x轴于H，连接CE．

∵∠AOD=∠ADE=∠EHD=90°，
∴∠ADO+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°，
∴∠ADO=∠DEH，
∵AD=DE，
∴△ADO≌△DEH（AAS），
∴OA=DH=OC，OD=EH，
∴OD=CH=EH，
∴∠ECH=45°，
∴点E在直线y=x-3上运动，作OE′⊥CE，则△OCE′是等腰直角三角形，
∵OC=3，
∴OE′=，
∴OE的最小值为．
故答案为．
【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短，一次函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题.
17．（1）；（2）；
【分析】（1）根据零指数幂，化简绝对值，求一个数的算术平方根，有理数的乘法运算，进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：（1）

；
（2）

，
当时，原式
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握零指数幂，化简绝对值，求一个数的算术平方根，有理数的乘法运算，分式的化简气质是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)以，，为顶点的三角形的形状：等腰直角三角形

【分析】（1）根据平移的性质即可画出向下平移个单位长度后得到的；
（2）根据旋转的性质即可画出绕原点顺时针旋转后得到的；
（3）结合（1）（2）即可判断以，，为顶点的三角形的形状．
【详解】（1）如图，即为所求；
  
（2）如图，△即为所求；
  
（3）解：如图所示，连接，
  
∴，，
∴，，
∴以，，为顶点的三角形的形状：等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了平移作图，作旋转图形，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)若乙从桌面上随机摸出一张扑克牌，点数为6的概率是
(2)甲乙双方甲获胜的可能大

【分析】（1）由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，乙获胜的结果有4个，由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
若乙从桌面上随机摸出一张扑克牌，点数为6的概率是；
（2）解：甲乙双方甲获胜的可能大，理由如下：
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，甲已经摸出了两张牌，且这两张牌的数字之和是8，乙获胜的结果有4个，
乙获胜的概率为，
甲获胜的可能大．
【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率的知识，注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，列表法适合与两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．(1)，
(2)，
(3)

【分析】（1）分别令和代入一次函数中，求出点，坐标，
（2）过作于，作于，，证明，得，得四边形是正方形，根据面积公式计算，根据反比例函数的几何意义可得的值；
（3）判断，从而将求出的正切值转化求的正切值，即可得结论；
【详解】（1）当时，，
，，
，
当时，，
，
，，
；
（2）∵，；
由勾股定理得：，
是等腰直角三角形，
，
过作于，作于，

，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
反比例函数的表达式为；
（3）由（2）知，四边形是正方形，
，，
又，，
，
，
，
，
，
，
；
【点睛】本题是反比例函数和一次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标的交点，待定系数法求反比例函数解析式，锐角三角函数等知识，注意反比例函数系数k的几何意义．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据已知得出，根据，可得，等量代换可得，进而得出，即可得证；
（2）勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
．
即，
又是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．(1)与的函数关系式为
(2)如果他们两个人合起来购买，可以比分开购买多买0.5千克樱桃

【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以写出与的函数关系式；
（2）根据题意，可以分别计算出小华购买的樱桃质量和小丽购买樱桃花费的钱数，然后即可计算出他们两个人合起来购买樱桃的质量，再将合起来购买的樱桃质量与他们单独购买的质量作差，即可解答本题．
【详解】（1）解：由图象可得，
，
当时，，
当时，销售价格为：（元/千克），
则与的函数关系式为，
即与的函数关系式为；
（2）解：小华购买的樱桃质量为：（千克），
小丽购买樱桃的花费为：（元），
如果他们两个人合起来购买，则可以购买的樱桃质量为：（千克），
（千克），
即如果他们两个人合起来购买，可以比分开购买多买0.5千克樱桃．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．(1)，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)或或．

【分析】（1）由“SAS”证得，再用全等三角形的性质求解；
（2）由“SAS”证得可得，所以，由“等边对等角”可得°，则，进而得到，得到BD是的平分线，结合即可求解；
（3）需要分点Q在直线l上方和点Q在直线l下方两种情况讨论，设AP的长度，根据的面积等于建立等式，即可求出AP的长．
【详解】（1）解：AP＝BQ．
理由如下：
在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ；
（2）证明：在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB﹣∠PCB＝∠PCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；
∴BQ＝AP＝AC＝BC.
∵AP＝AC，∠CAP＝90°，
∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠QBD＝45°，
∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，
∴BD⊥CQ，且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ；
（3）解：AP的长为：或或．
理由如下：①当点Q在直线l上方时，如图所示，延长BQ交l于点E，过点Q作于点F，

由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△APC≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE，
∴∠BEF＝60°，
设AP＝t，则BQ＝t，
∴EQ，
在中，QFEQ（），
∴S△APQAP•QF，即•t（），
解得t或t．即AP的长为或．
②当点Q在直线l下方时，如图所示，设BQ交l于点E，过点Q作于点F，

由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△APC≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，
∵∠CAB＝∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABE＝30°，
∴∠BEF＝120°，∠QEF＝60°，
∵AB＝AC＝4，
∴AE＝BE，
设AP＝m，则BQ＝m，
∴EQ＝m，
在中，QFEQ（m），
∴S△APQAP•QF，即•m•（m），
解得（ 负值舍去）．
综上可得，AP的长为：或或．
【点睛】本题主要考查了几何知识的综合运用和几何变换，求相关线段的长度和解一元二次方程是利用代数方法解决几何问题，本题意在加强学生的图形与几何的逻辑推理以及代数几何综合能力．第（3）问中需要根据点Q的位置分类讨论，此处属于易错点．
24．(1)
(2),点到直线的距离为
(3)的解析式为：或

【分析】（1）求出、点坐标，再将点，代入即可求解析式；
（2）先求出，再由对称性可知轴，即可求点坐标，再由等腰直角三角形的性质，可求点到直线的距离为；
（3）设，先求出，过点作交于直线于点，然后分两种情况讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，根据题意，即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
，，
令，则，
，，
将点，，，代入，
得
解得：

（2）如图1，

，
，
点关于直线的对称点在轴上，
，
轴，
，
，
，
，
点到直线的距离为；
（3）设，
，，
，
，
，
，
过点作交于直线于点，

①当点在上方时，，
解得舍或，
；
，设直线的解析式为：，
则
解得：
直线的解析式为
②当点在下方时，，
解得舍或，
；
，设直线的解析式为：，
则
解得：
直线的解析式为
综上所述，的解析式为：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，分类讨论是解题的关键．