新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案63第十章计数原理概率随机变量及其分布第七讲正态分布

练案[63] 第七讲　正态分布

A组基础巩固

一、单选题

1．(2023·江苏扬州调研)已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，则P(X>2)＝( A )

A．0.2  B．0.4

C．0.6  D．0.8

[解析]　由X～N(1，σ2)，知：随机变量X的分布函数图象关于X＝1对称，∴P(X>2)＝P(X<0)＝1－P(X≥0)＝0.2.故选A.

2．(2022·广东模拟)已知随机变量X～N(μ，σ2)，若P(μ≤X≤μ＋1)＝0.2，则P(X≥μ－1)＝( A )

A．0.7  B．0.4

C．0.3  D．0.2

[解析]　由已知P(μ－1≤X≤μ)＝P(μ≤X≤μ＋1)＝0.2，所以P(X≥μ－1)＝P(μ－1≤X≤μ)＋P(X≥μ)＝0.2＋0.5＝0.7.故选A.

3．(2022·河北唐山一模)随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<2)＝0.2，P(2<X<6)＝0.6，则μ＝( C )

A．6  B．5

C．4  D．3

[解析]　由题意可知P(X≥6)＝1－P(X<2)－P(2<X<6)＝0.2，

∴P(X≥6)＝P(X<2)，∴μ＝＝4.选C.

4．(2022·山东临沂二模)已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，且P(ξ<5)＝0.7，则P(1<ξ<3)＝( D )

A．0.6  B．0.5

C．0.3  D．0.2

[解析]　P(1<ξ<3)＝＝＝0.2.故选D.

5．(2023·云南昆明、福建师大附中月考)已知某地区成年女性身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(160，σ2)，且P(158<X≤160)＝0.2，则随机抽取该地区1 000名成年女性，其中身高不超过162 cm的人数大约为( D )

A．200  B．400

C．600  D．700

[解析]　因为P(158<X≤160)＝0.2，所以P(X≤162)＝0.2＋0.5＝0.7，则随机抽取该地区1 000名成年女性，其中身高不超过162 cm的人数服从Y～B(1 000,0.7)，所以E(Y)＝np＝700，故选D.

6．(2022·江西八校联考)江西某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了联考，共有1 000名学生参加，已知该校上次测试中，成绩X(满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，已知120分及以上的人数为160人，假设这次考试成绩和上次分布相同，那么通过以上信息推测这次数学成绩优异的人数为(成绩140分以上者为优异)( B )

附参考数据：

P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.68，

P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.95，

P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.99

A．20  B．25

C．30  D．40

[解析]　由题可知随机变量X满足正态分布X～N(100，σ2)，

因为120分及以上的人数为160人，所以80分及以下的人数也为160人，故P(80<X<120)＝＝0.68，由此可知σ＝20，即X～N(100,202)，所以P(60<X<140)＝0.95，故140分及以上的人数为＝25，故选B.

7．(2023·广东四校联考)已知随机变量X～B(6，p)，Y～N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝，E(X)＝E(Y)，则p＝( B )

A.  B．

C．  D．

[解析]　因为随机变量X～B(6，p)，所以E(X)＝6p，因为Y～N(μ，σ2)，P(Y≥2)＝，所以μ＝2，即E(Y)＝2，又E(X)＝E(Y)所以6p＝2，即p＝.故选B.

8．(2022·湖北荆州中学调研)已知某校高三年级有1 000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[60,300]，若使标准分X服从正态分布N(180,900)．(参考数据：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3)

则下列结论正确的个数为( B )

①这次考试标准分超过180分的约有450人　②这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997　③甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为　④P(240<X≤270)＝0.042 8

A．1  B．2

C．3  D．4

[解析]　这次考试标准分超过180分的约有500人，①错；∵P(90<X<270)＝P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.997 3，∴标准分在(90,270]内的人数约为0.997 3×1 000≈997，∴②正确；甲、乙、丙恰有2人超过180分的概率为C2×＝，∴③正确；

∵P(240<X<270)

＝

＝

＝＝0.021 4，∴④错误．故选B.

二、多选题

9．(2023·湖南模拟)已知某种袋装食品每袋质量(单位：g)X～N(500,16)，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 3，则下面结论正确的是( ACD )

A．σ＝4

B．P(496<X≤504)＝0.954 5

C．随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间(492,504]的约8 186袋

D．随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量小于488 g的不多于14袋

[解析]　对于A，X～N(500,16)，则σ2＝16，解得σ＝4，故A正确；对于B，P(496<X≤504)＝0.682 7，故B错误；对于C，P(492<X≤504)＝P(492<X≤500)＋P(500<X≤504)＝＋＝0.818 6，故随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量在区间(492,504]的约10 000×0.818 6＝8 186袋，故C正确；对于D，P(X<488)＝＝0.001 35，则随机抽取10 000袋这种食品，袋装质量小于488 g有0.001 35×10 000＝13.5，故D正确．故选ACD.

10．(2022·福建诊断)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高ξ(单位：cm)近似服从正态分布N(100,102)．已知X～N(μ，σ2)时，有P(|X－μ|≤σ)≈0.682 7，P(|X－μ|≤2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|≤3σ)≈0.997 3.下列说法正确的是( ABD )

A．该地水稻的平均株高约为100  cm

B．该地水稻株高的方差约为100

C．该地株高超过110 cm的水稻约占68.27%

D．该地株高低于130 cm的水稻约占99.87%

[解析]　E(X)＝μ＝100，D(X)＝σ2＝100，A、B正确；P(X>110)＝P(X>μ＋σ)＝＝0.158 65，∴C错；P(X<130)＝P(X<μ＋3σ)＝1－≈0.998 7.∴D正确．故选ABD.

三、填空题

11．(2023·湖南长沙雅礼中学月考)设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)．若P(X>0)＝0.9，则P(2<X<4)＝_0.4__.

[解析]　由题意知P(X<0)＝P(X>4)＝1－P(X>0)＝0.1，

所以P(0<X<4)＝1－2×0.1＝0.8，

所以P(2<X<4)＝×0.8＝0.4.

12．(2023·广东广州阶段测试)已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，且P(ξ<6)＝5P(ξ<2)，则P(2<ξ<6)＝ 　.

[解析]　设P(ξ<2)＝x，所以P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝x，

又P(ξ<6)＝5P(ξ<2)，∴P(2<ξ<6)＝4x，

根据题意x＋4x＋x＝1，∴x＝，

∴P(2<ξ<6)＝4x＝.

13．(2022·辽宁六校协作体期中)某品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命多于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为_0.25__.

[解析]　由题意知P(ξ＞2)＝0.8，

P(ξ≥6)＝0.2，

∴P(ξ≤2)＝P(ξ≥6)＝0.2，

∴正态曲线的对称轴为直线x＝4，∴P(ξ≥4)＝0.5，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为0.5，

∴两个该品牌的摄像头在4年内都正常工作的概率为0.5×0.5＝0.25.

四、解答题

14．(2022·湖北十堰调研)一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(200，σ2)，且P(z≤210)＝0.9.

(1)求z<190的概率；

(2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于190 mm的零件个数，求X的分布列与数学期望．

[解析]　(1)因为零件尺寸z服从正态分布N(200，σ2)．

所以P(z>210)＝1－P(z≤210)＝0.1，

因为＝200，

所以P(z<190)＝P(z>210)＝0.1.

(2)依题意可得X～B(2,0.1)．

所以P(X＝0)＝(1－0.1)2＝0.81.

P(X＝1)＝C×0.1×(1－0.1)＝0.18，

P(X＝2)＝0.12＝0.01.

所以X的分布列为

所以E(X)＝1×0.18＋2×0.01＝0.2(或E(X)＝2×0.1＝0.2)．

15．(2023·江苏常州模拟)某乒乓球教练为了解某同学近期的训练效果，随机记录了该同学40局接球训练成绩，每局训练时教练连续发100个球，该同学每接球成功得1分，否则不得分，且每局训练结果相互独立，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)同一组数据用该区间的中点值作代表，

①求该同学40局接球训练成绩的样本平均数；

②若该同学的接球训练成绩X近似地服从正态分布N(μ，100)，其中μ近似为样本平均数，求P(54<X<64)的值；

(2)为了提高该同学的训练兴趣，教练与他进行比赛．一局比赛中教练连续发100个球，该同学得分达到80分为获胜，否则教练获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y.以频率分布直方图中该同学获胜的频率作为概率，求E(Y)．

参考数据：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则

P(μ－σ<ξ<μ＋σ)≈0.682 7，

P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)≈0.954 5，

P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)≈0.997 3.

[解析]　(1)①由频率分布直方图可得＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.45＋85×0.2＋95×0.05＝74；

②可知μ＝74，σ＝10，则54＝μ－2σ，64＝μ－σ，

所以，P(54<X<64)＝P(μ－2σ<X<μ－σ)

＝≈0.135 9.

(2)由频率分布直方图可知，在一局中，该同学得分达到80分的概率为(0.02＋0.005)×10＝，

由题意可知，随机变量Y的可能取值有3、4、5，

P(Y＝3)＝3＋3＝，

P(Y＝4)＝C×2×＋C×2×＝，

P(Y＝5)＝C×2×2＋C×2×2＝.

所以，随机变量Y的分布列如下表所示：

因此，E(Y)＝3×＋4×＋5×＝.

B组能力提升

1．(2022·河南洛阳统测)若某单位员工每月网购消费金额(单位：元)近似地服从正态分布N(1 000，5002)，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2 000元之间的人数为X，则X的数学期望为( C )

参考数据：若随机变量X服从正态分布则N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

A．2.718  B．6.827

C．8.186  D．9.545

[解析]　P(1 000－500<X≤1 000＋2×500)

＝P(1 000－2×500<X≤1 000＋2×500)－P(1 000－2×500<X≤1 000－500)

＝P(1 000－2×500<X≤1 000＋2×500)－

＝＝0.818 6，

X的数学期望为0.8186×10＝8.186，故选C.

2．(2023·山西忻州联考)在某次数学考试中，学生成绩X服从正态分布(100，σ2)．若X在(85,115)内的概率是0.5，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是( A )

A.  B．

C．  D．

[解析]　由题意可知从参加这次考试的学生中任意选取1名学生，其成绩不低于85的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是C×2×＝.故选A.

3．(2023·山东青岛调研)某地有6 000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布N(110，σ2)，若P(90≤X≤110)＝0.45，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为_300__.

[解析]　由正态分布曲线的对称轴为μ＝110，以及P(90≤X≤110)＝0.45，可得P(110≤X≤130)＝0.45，因此P(X>130)＝－P(110≤X≤130)＝0.05，故130分以上的人数为6 000×0.05＝300.

4．(2022·福建南平模拟)南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权．为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩X近似于服从正态分布N(μ，11.52)，μ近似为这100人测试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，

①求μ的值；

②利用该正态分布，求P(75.5<X≤87)；

(2)在(1)的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于μ的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于μ的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为ξ(单位：元)，试根据样本估计总体的思想，求ξ的分布列与数学期望．

参考数据与公式：若X～N(μ，σ2)，则

P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，

P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，

P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

[解析]　(1)①由题，μ＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.15＋95×0.15＝75.5，

②因为σ＝11.5，所以P(75.5<X≤87)＝＝＝0.341 35.

(2)由题，P(X<μ)＝P(X≥μ)＝，

所获赠话费ξ的可能取值为10,20,30,40,60，

P(ξ＝10)＝×＝，

P(ξ＝20)＝××＝，P(ξ＝30)＝×＝，

P(ξ＝40)＝××＋××＝，

P(ξ＝60)＝××＝，

所以ξ的分布列为：

E(ξ)＝10×＋20×＋30×＋40×＋60×＝.

5．(2023·广东中山一中等七校联考)在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为p(0<p<1)，它们之间相互不影响．

(1)当p＝0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列和数学期望；

(2)已知深圳某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费用为5万元．请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？

[解析]　(1)X为正常工作的设备数，由题意可知X～B(3,0.9)．

P(X＝0)＝C×0.90×(1－0.9)3＝0.001，

P(X＝1)＝C×0.91×(1－0.9)2＝0.027，

P(X＝2)＝C×0.92×(1－0.9)＝0.243，

P(X＝3)＝C×0.93×(1－0.9)0＝0.729，

从而X的分布列为

由X～B(3,0.9)，则E(X)＝3×0.9＝2.7.

(2)设方案1、方案2的总损失分别为Y1，Y2，

采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度达到0.9，由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.001，不断掉的概率为0.999，

故E(Y1)＝80 000＋0.001×500 000＝80 500元；

采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，可知计算机网络断掉的概率为C×0.80×(1－0.8)3＝0.008，

故E(Y2)＝50 000＋0.008×500 000＝54 000元．

因此，从期望损失最小的角度判断，决策部门应选择方案2.