新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案62第十章计数原理概率随机变量及其分布第六讲随机事件的独立性条件概率与二项分布

练案[62] 第六讲　随机事件的独立性、条件概率与二项分布

A组基础巩固

一、单选题

1．(2022·贵州贵阳四校联考)设随机变量X，Y满足：Y＝3X－1，X～B(2，p)，若P(X≥1)＝，则D(Y)＝( A )

A．4  B．5

C．6  D．7

[解析]　由题意可得：P(X≥1)＝1－P(X＝0)

＝1－C(1－p)2＝，解得：p＝.

则：D(X)＝np(1－p)＝2××＝，D(Y)＝32D(X)＝4.故选A.

2．(2023·河南重点中学“顶尖计划”联考)某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为( A )

A.  B．

C．  D．

[解析]　所求概率P＝C2×＋3＝.选A.

3．(2022·山东日照联考)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )

A.  B．

C．  D．

[解析]　记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品为事件A1，仅第二个实习生加工一等品为事件A2两种情况，则P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝×＋×＝，故选B.

4．(2023·广东佛山顺德区质检)国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策．某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件A：该家庭既有男孩又有女孩；事件B：该家庭最多有一个男孩；事件C：该家庭最多有一个女孩．则下列说法正确的是( D )

A．事件B与事件C互斥但不对立

B．事件A与事件B互斥且对立

C．事件B与事件C相互独立

D．事件A与事件B相互独立

[解析]　设0表示女孩，1表示男孩．该家庭的子女情况可表示如下：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)．事件A包括：(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)；事件B包括：(0,0,0)，(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)；事件C包括：(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，(1,1,1)．对于选项A，事件B与事件C互斥且对立，故选A错误；对于选项B，事件A与事件B不互斥，故选项B错误；由上可知：P(A)＝＝，P(B)＝，P(C)＝，P(BC)＝0≠P(B)·P(C)，P(AB)＝＝P(A)·P(B)，其中事件A与事件B独立，故选D.

5．(2022·重庆市诊断)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为( A )

A.  B．

C．  D．

[解析]　解法一：公式法：设事件A为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B为“学生丙第一个出场”，

则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，

则P(B|A)＝＝＝，故选A.

解法二：直接法：“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”有A＋CCA＝78种；

“学生丙第一个出场，学生乙不最后一个出场”有CA＝18种，

故所求概率为P＝＝.故选A.

6．(2023·辽宁实验中学期中)甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则由乙箱中取出的是红球的概率为( D )

A.  B．

C．  D．

[解析]　依题意，乙箱中取出的是红球的概率为×＋×＝.故选D.

7．(2023·广东摸底、河北衡水重点高中联考)一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F，G,7个开关，其闭合的概率均为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( A )

A．1－  B．1－

C．  D．

[解析]　电路由上到下有3个分支并联，开关A，B所在的分支不通的概率为1－×＝，开关C，D所在的分支不通的概率为×＝，开关E，F，G所在的分支不通的概率为1－×＝，所以灯亮的概率是1－××＝1－.故选A.

二、多选题

8．(2022·福建龙岩等四地市质检)已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，下列说法正确的有( ABC )

A．若P(AB)＝0.18，则A，B相互独立

B．若A，B相互独立，则P(B|A)＝0.6

C．若P(B|A)＝0.4，则P(AB)＝0.12

D．若A⊆B，则P(A|B)＝0.3

[解析]　因为随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，

对于A，因为P(AB)＝0.18＝P(A)P(B)＝0.3×0.6，所以A，B相互独立，故A正确；

对于B，若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)＝0.6，故B正确；

对于C，若P(B|A)＝＝＝0.4，

则P(AB)＝0.12，故C正确；

对于D，若A⊆B，则P(A|B)＝＝＝0.5，故D错误．故选ABC.

9．(2022·广东惠州一中等六校联考)为庆祝建团100周年，六校组织开展团史知识竞赛活动，以学校为单位参加比赛，某校在6道团史题中(4道选择和2道填空)，不放回地依次随机抽取3道题作答，设事件Ai为“第i次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( AD )

A．P(A1)＝  B．事件A1与A2互斥

C．P(A1∪A2)＝  D．P(A3|A2)＝

[解析]　P(A1)＝＝，选项A正确；

事件A1与A2可以同时发生，不是互斥，选项B错误；

P(A1∪A2)＝1－P( )＝1－×＝，选项C错误；

P(A2)＝P(A1A2)＋P(A2)＝×＋×＝，

P(A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A2A3)＝××＋××＝，

P(A3|A2)＝＝＝，选项D正确．故选AD.

10．(2023·湖南长沙雅礼中学等十六校联考)某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C，D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．用随机变量X表示该游客游览景点的个数，下列说法正确的是( ABD )

A．该游客至多游览一个景点的概率为

B．P(X＝2)＝

C．P(X＝4)＝

D．E(X)＝

[解析]　由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4，

A：游客至多游览一个景点，即游览0个或1个景点，即X＝0或1，

P(X＝0)＝×3＝，

P(X＝1)＝×3＋×C××2＝，

游客至多游览1个景点的概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝，正确；

B：P(X＝2)＝×C××2＋×C×2×＝，正确；

C：P(X＝4)＝×3＝，错误；

D：P(X＝3)＝×C×2×＋×C×3＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，正确．故选ABD.

三、填空题

11．(2022·天津高考真题)52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 　；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 　.

[解析]　由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，则P(BC)＝×＝，P(B)＝＝，P(C|B)＝＝＝.

12．(2022·吉林五校联考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立，则甲队以32获胜的概率是 　.

[解析]　甲队以32获胜即甲第五局胜，前四局中胜2局，故所求概率P＝C2×2×＝.

四、解答题

13．(2023·山西大同调研)袋中有大小、质地完全相同的五个小球，小球上面分别标有0,1,2,3,4.

(1)从袋中任意摸出三个球，标号为奇数的球的个数记为X，写出X的分布列；

(2)从袋中一次性摸两球，和为奇数记为事件A，有放回地摇匀后连摸五次，事件A发生的次数记为Y，求Y的分布列、数学期望和方差．

[解析]　(1)由题可得X的所有可能取值为0,1,2，

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

则X的分布列为

(2)由题易知P(A)＝＝＝，因Y服从二项分布Y～B，

P(Y＝k)＝C×k×5－k(k＝0,1,2,3,4,5)，

则Y的分布列为

∴E(Y)＝5×＝3，D(Y)＝.

14．(2022·云南大理统测)三人参加篮球投篮比赛，规定每人只能投一次．假设甲投进的概率是，乙、丙两人同时投进的概率是，甲、丙两人同时投不进的概率是，且三人各自能否投进相互独立．

(1)求乙、丙两人各自投进的概率；

(2)设X表示三人中最终投进的人数，求X的分布列和数学期望．

[解析]　(1)记甲、乙、丙各自投进的事件分别为A1，A2，A3，

由已知A1，A2，A3相互独立，且满足

解得P(A2)＝，P(A3)＝，

所以乙、丙各自投进的概率分别为，.

(2)X的可能取值为0,1,2,3.

P(X＝0)＝××＝，

P(X＝2)＝××＋××＋××＝，

P(X＝3)＝××＝，

P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)－P(X＝3)＝，

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

15．(2023·河南示范性高中联考)某商超为庆祝开业十周年，准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元，则可参加一次抽奖活动，主办方设计了两种抽奖方案：方案①：一个不透明的盘子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次．方案②：一个不透明的盒子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次．

(1)现有一位顾客消费了420元，获得一次抽奖机会，试求这位顾客获得180元返金券的概率；

(2)如果某顾客获得一次抽奖机会．那么他选择哪种方案更划算．

[解析]　(1)在一次抽奖机会的情况下，要想获得180元返金券，只能选择方案①，且摸到两次红球，一次白球，而每一次摸到红球的概率为P＝＝.

设“这位顾客获得180元返金券”为事件A，则P(A)＝C××2＝.

故这位顾客获得180元返金券的概率为.

(2)若选择抽奖方案①，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.设获得返金劵金额为X元，则X可能的取值为60,120,180,240.

则P(X＝60)＝C×3＝，

P(X＝120)＝C××2＝，

P(X＝180)＝C×2×＝，

P(X＝240)＝C×3＝.

所以选择抽奖方案①，该顾客获得返金劵金额的数学期望为

E(X)＝60×＋120×＋180×＋240×＝105(元)；

若选择抽奖方案②，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的金额为Z元，则Y～B，故E(Y)＝3×＝.

选择方案②，该顾客获得返金劵金额的数学期望为E(Z)＝E(100Y)＝100×＝75(元)，

从而有E(X)>E(Z)，所以应选择方案①更划算．

B组能力提升

1．(2022·黑龙江哈尔滨六中考前押题)甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为( B )

A.  B．

C．  D．

[解析]　记“甲获得冠军”为事件A，“比赛进行了三局”为事件B，

则P(A)＝×＋××＋××＝，

P(AB)＝××＋××＝，

∴P(B|A)＝＝，故选B.

2．(2022·天津南开中学模拟)一射手对靶射击，直到第一次中靶为止．他每次射击中靶的概率是0.9，他有3颗子弹，射击结束后尚余子弹数目ξ的数学期望E(ξ)＝_1.89__.

[解析]　由题意可知ξ＝0,1,2，

当ξ＝1表示第一次没有击中，第二次射击中靶，

P(ξ＝1)＝0.1×0.9＝0.09，

当ξ＝2表示第一次射击中靶，P(ξ＝2)＝0.9，

当ξ＝0表示前两次都没有击中，第三次可中可不中，

P(ξ＝0)＝0.1×0.1＝0.01，

则E(ξ)＝0×0.01＋1×0.09＋2×0.9＝1.89.

3．(2023·江苏盐城中学质检)乒乓球被称为我国的国球，是一种深受人们喜爱的球类体育项目．某次乒乓球比赛中，比赛规则如下：比赛以11分为一局，采取七局四胜制．在一局比赛中，先得11分的选手为胜方；如果比赛一旦出现10平，先连续多得2分的选手为胜方．

(1)假设甲选手在每一分争夺中得分的概率为.在一局比赛中，若现在甲、乙两名选手的得分为8比8平，求这局比赛甲以先得11分获胜的概率；

(2)假设甲选手每局获胜的概率为，在前三局甲获胜的前提下，记X表示到比赛结束时还需要比赛的局数，求X的分布列及数学期望．

[解析]　(1)设这局比赛甲以先得11分获胜为事件A，则事件A中包含事件B和事件C，事件B：甲乙再打3个球，甲先得11分获胜，事件C：甲乙再打4个球，甲先得11分获胜．

事件B：甲乙再打3个球，这三个球均为甲赢，则P(B)＝3＝，

事件C：甲乙再打4个球，则前三个球甲赢两个，最后一个球甲赢，则P(C)＝C2××＝；

则P(A)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.

(2)X的可能取值为1,2,3,4.

P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，

P(X＝3)＝××＝，

P(X＝4)＝××＝，

所以X的分布列为：

其中E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

即数学期望为.

4．(2023·辽宁沈阳模拟)已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立．假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1)第一小组做了四次实验，求该小组恰有两次失败的概率；

(2)第二小组做了四次实验，设实验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；

(3)第三小组进行实验，直到成功四次为止，已知在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率．

[解析]　(1)该小组恰有两次失败的概率

P＝C×2×2＝.

(2)由题可知X的取值集合为{0,2,4}，

则P(X＝0)＝C×2×2＝，

P(X＝2)＝C××3＋C×3×1＝，

P(X＝4)＝C×4＋C×4＝，

故其分布列为

E(X)＝0×＋2×＋4×＝，

即所求数学期望为.

(3)由题可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下共有C＝20个基本事件，而满足恰有两次连续失败的基本事件共有A＝12个基本事件；

从而由古典概型可得所求概率为P＝＝.

5．(2023·广东佛山禅城区调研)2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；

(2)设这3人中参加市赛的人数为ξ，求ξ的分布列；

(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：

方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖1 000元；

方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1 200元．

若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

[解析]　(1)3人都没通过初赛的概率为P0＝3＝，

所以这三人中至少有1人通过初赛的概率P1＝1－P0＝.

(2)依题意ξ的可能取值为0,1,2,3.

设事件A表示“甲参加市赛”，事件B表示“乙参加市赛”，事件C表示“丙参加市赛”，

则P(A)＝×＝，P(B)＝×＝，P(C)＝×＝，

则P(ξ＝0)＝P(　　)＝××＝，

P(ξ＝1)＝P(A　＋B＋　C)

＝××＋××＋××＝，

P(ξ＝2)＝P(AB＋BC＋AC)

＝××＋××＋××＝，

P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝，

所以ξ的分布列为：

(3)方案1：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则Y＝1 000X，且X～B，所以E(Y)＝1 000E(X)＝1 000×3×＝2 000元．

方案2：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，

方法1：则Z的所有可能取值为1 800,2 400，3 000，3 600，

由(2)知，Z的分布列为：

则E(Z)＝1 800×＋2 400×＋3 000×＋3 600×＝2 450，

因为E(Z)>E(Y)，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．

方法2：由(2)知，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，

方案2等价于只要参加了选拔赛即奖励600元，

进入了市赛的选手再奖600元．则E(Z)＝3×600＋600E(ξ)＝1 800＋600×＝2 450，

因为E(Z)>E(Y)，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．