新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案57第十章计数原理概率随机变量及其分布第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理

练案[57]第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布

 第一讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

A组基础巩固

一、单选题

1．(2022·四川广安、眉山、内江、遂宁诊断)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( B )

A．15  B．30

C．35  D．42

[解析]　发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有CC＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有C＝10(种)．所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有20＋10＝30(种)，故选B.

2．(2022·辽宁省大连市模拟)把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( A )

A．18种  B．9种

C．6种  D．3种

[解析]　第一步：放1号球，有C＝3种方法；第二步：将剩余三个球分别放入剩余的三个盒子，有A＝6种方法；故符合题意的放法共有3×6＝18种．故选A.

3．(2023·河南质检)从5名大学毕业生中选派4人到甲、乙、丙三个贫困地区支援，要求甲地区2人，乙、丙地区各一人，则不同的选派方法总数为( B )

A．40  B．60

C．100  D．120

[解析]　不同的选派方法有CCC＝60种．

4．(2022·湖南株洲质检)由0,1,2,5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是( C )

A．24  B．12

C．10  D．6

[解析]　当个位数是0时，有A＝6个，

当个位数是5时，有C·A＝4个，

所以能被5整除的个数是10，故选C.

5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( B )

A．243  B．252

C．261  D．279

[解析]　由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252，故选B.

6．(2023·陕西汉中质检)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，则分别种在不同土质的3块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有多少种( C )

A．24  B．12

C．18  D．20

[解析]　第一步从白菜、油菜、扁豆中选出2件有C种方法，第二步将选出的3种种到不同的3块地中有A种方法，故所求的不同的种法有C·A＝18种方法. 故选C.

7．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( D )

A．48  B．18

C．24  D．36

[解析]　第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．

8．(2023·四川省自贡市诊断)从1,3,5三个数中选两个数字，从0,2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( C )

A．6  B．12

C．18  D．24

[解析]　由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇，因此总共有AA＋A＝18种．故选C.

9．将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字即不同行也不同列，则不同的填写方法有( C )

A.288种  B．144种

C．576种  D．96种

[解析]　依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字即不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种)．

10．(2022·河北省唐山市一中冲刺)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( B )

A．4种  B．10种

C．18种  D．20种

[解析]　分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．

11．(2023·江苏宿迁市联考)有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为( C )

A．10种  B．20种

C．30种  D．40种

[解析]　解法一：根据题意，将5名学生志愿者安排到2个小区，

每个人都有2种安排方法，则5个人有2×2×2×2×2＝32种不同的安排方法，

其中5人都去1个小区的安排方法有2种，

则有32－2＝30种不同的安排方法，

故选C.

解法二：将5名学生分成两组有C＋C＝15种分法，将两组学生安排到两个小区有A＝2种分法，故不同的安排方法有15×2＝30种．

二、多选题

12．(原创)在如图所示的电路中，下列结论正确的是( BCD )

A．电路可形成5种不同的通路

B．电路可形成6种不同的通路

C．使电路接通的开关不同的闭合方式有21种

D．使电路不通的开关不同的闭合方式有11种

[解析]　显然电路可形成2×3＝6种通路，A错误，B正确；要使电路接通1,2至少有一个闭合且3,4,5至少有一个闭合，不同状态有(22－1)×(23－1)＝21种，C正确；又5个开关不同闭合状态有25＝32种，所以使电路不通的开关不同闭合方式有32－21＝11种，D正确．

13．(原创)下列说法正确的是( CD )

A．将4封信投入3个信箱中，共有64种不同的投法

B．4只相同的小球放入3个不同的盒子，共有12种不同放法

C．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有54种

D．用0,1，…，9十个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为328

[解析]　4封信投入3个信箱有34＝81种不同投法，故A不正确；将4个小球放入一个盒子有3种方法，将3个小球放入一个盒子，另1小球放另一只盒子有3×2＝6种放法，将2个小球放入一个盒子，另2小球放另一只盒子有3种放法，将2个小球放入一个盒子中，另2个小球分别放入另两个盒子中，有3种方法，故共有15种放法，故B不正确；五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性，故C正确；个位为0的三位偶数有9×8＝72(个)，个位不为0的三位偶数有4×8×8＝256(个)，∴没有重复数字的三位偶数有256＋72＝328(个)，故D正确．故选CD.

三、填空题

14．(2022·上海青浦区模拟)把1、2、3、4、5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有_14__个．

[解析]　该数列为先增后减，则5一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当5前面只有一个数时，有4种情况，当5前面只有2个数时，有C＝6种情况，当5前面有3个数时，有4种情况，故共有4＋6＋4＝14.

15．4张卡片的正、反面分别写有0与1,2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成_168__个不同的三位数．

[解析]　要组成三位数，根据首位、十位、个位应分三步：

第一步：首位可放8－1＝7个数；

第二步：十位可放6个数；

第三步：个位可放4个数．

故由分步计数原理，得共可组成7×6×4＝168个不同的三位数．

B组能力提升

1．(2022·河北唐山摸底)现有4份不同的礼物，若将其全部分给甲、乙两人，要求每人至少分得一份，则不同的分法共有( B )

A．10种  B．14种

C．20种  D．28种

[解析]　甲得3份乙得1份有4种方法．

甲得2份乙得2份有6种方法．

甲得1份乙得3份有4种方法．

故不同的分法共有14种，选B.

2. (2023·江西省萍乡市模拟)如图，给7条线段的5个端点染色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的染色方法种数有( C )

A．24种  B．48种

C．96种  D．120种

[解析]　由表

知不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋2)＝96(种)，故选C.

3．(2023·江苏南京模拟)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( C )

A．16种  B．18种

C．37种  D．48种

[解析]　解法一：三个班有一个班去甲，方法数有C×32＝27；三个班有两个班去甲，方法数有C×3＝9；三个班都去甲，方法数有1，故总的方法数为27＋9＋1＝37种，故选C.

解法二：三个班到四个工厂实践有43种方案，三个班到乙、丙、丁三个工厂实践有33种方案，故符合题意的方案有43－33＝37种．

4．(2022·江苏泰州期末)党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展”，高度重视农村义务教育，为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为_90__.

[解析]　将5名毕业生按2,2,1分组，则方法有·C＝15，分配到3所乡村小学，共有A＝6，所以分配方案的总数为15×6＝90.

5．(2023·浙江名校协作体联考)用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_20__(用数字作答)．

[解析]　可用树状图求解(用1表示黑，用0表示白)