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适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练56二项分布超几何分布正态分布北师大版
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这是一份适用于新教材2024版高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布课时规范练56二项分布超几何分布正态分布北师大版，共4页。试卷主要包含了15+6×0等内容，欢迎下载使用。
课时规范练56
1.(2022·山东泰安三模)已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),若P(X<2)·P(X>4)=,则P(2
答案:A
解析:因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2),由对称性可知,P(X<2)=P(X>4),又P(X<2)·P(X>4)=,所以P(X<2)=P(X>4)=,故P(2
A.2 B.1 C.3 D.4
答案:C
解析:ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
于是E(ξ)=0×+1×+2×,故E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×+1=3.
3.(2023·东北师大附中高三开学考试)下图是一块高尔顿板示意图.在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为1,2,3,4,5,6,用X表示小球落入格子的号码,假定底部6个格子足够长,投入160粒小球,则落入3号格的小球大约有 粒.
答案:50
解析:设A=“向右下落”,则=“向左下落”,且P(A)=P()=,设Y=X-1,
∵小球下落过程中共碰撞5次,
∴Y~B5,,
∴P(Y=k)=P(X=k+1)=k1-5-k=5,k=0,1,2,3,4,5,
∴P(X=3)=5=,故投入160粒小球,则落入3号格的小球大约有160×=50粒.
4.(2022·广东广州一模)某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目,并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用,为了解“AI作业”对学生学习的促进情况,该公司随机抽取了200名学生,对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查,样本调查结果如下表:
掌握情况
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生,用ξ表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数,求ξ的分布列和数学期望;
(2)用样本频率估计概率,从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生,用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”知识点,用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”知识点,用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”知识点,用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”知识点.比较方差D(X)和D(Y)的大小关系.
解:(1)依题意,ξ=0,1,2,
且P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
故E(ξ)=1×+2×.
(2)由题意,易知X服从二项分布X~B1,,D(X)=,Y服从二项分布Y~B1,,D(Y)=,故D(X)
(1)若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元,其余3张均为40元,试比较员工获得80元奖励与获得120元奖励的概率的大小;
(2)公司对奖励总额的预算是6万元,预定箱子中所装的4张奖券有两种方案:第一种方案是2张面值20元和2张面值100元;第二种方案是2张面值40元和2张面值80元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡,请问选择哪一种方案比较好?并说明理由.
解:(1)用X表示员工所获得的奖励额.
因为P(X=80)=,P(X=120)=,
所以P(X=80)=P(X=120).
故员工获得80元奖励与获得120元奖励的概率相等.
(2)第一种方案中4张奖券的面值为20,20,100,100,
设员工所获得的奖励额为X1,则X1的分布列为
X1
40
120
200
P
所以X1的数学期望为E(X1)=40×+120×+200×=120,X1的方差为D(X1)=(40-120)2×+(120-120)2×+(200-120)2×;
第二种方案中4张奖券的面值为40,40,80,80,设员工所获得的奖励额为X2,则X2的分布列为
X2
80
120
160
P
所以X2的数学期望为E(X2)=80×+120×+160×=120,X2的方差为D(X2)=(80-120)2×+(120-120)2×+(160-120)2×,又因为500E(X1)=500E(X2)=60000(元),所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求,但第二种方案的方差比第一种方案的小,故应选择第二种方案.
6.(2023·山东德州模拟)教育部门最近出台了“双减”政策,即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担,持续规范校外培训(包括线上培训和线下培训).“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险,寻求发展制定科学方案,工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理,其中消费情况数据如表.
消费金额/千元
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
[13,15]
人数
30
50
60
20
30
10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化课主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移,为了深入了解当前学生的兴趣爱好,工作人员利用分层随机抽样的方法在消费金额为[9,11)和[11,13)的学员中抽取了5人,再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查,求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和数学期望;
(2)以频率估计概率,假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布N(μ,σ2),μ,σ2分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差s2(同一区间的数据用区间的中点值替代).
(ⅰ)试估计该机构学员2020年消费金额为[5.2,13.6)的概率(保留一位小数);
(ⅱ)若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人,记消费金额为[5.2,13.6)的人数为η,求η的分布列及方差.
参考数据:≈1.4;若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4.
解:(1)由题意得,抽中的5人中消费金额为[9,11)的人数为×5=2,消费金额为[11,13)的人数为×5=3,设消费金额为[11,13)的人数为X,则X=1,2,3,所以P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X的分布列为
X
1
2
3
P
则E(X)=1×+2×+3×.
(2)(ⅰ)由题意得μ==4×0.15+6×0.25+8×0.3+10×0.1+12×0.15+14×0.05=8,σ2=(4-8)2×0.15+(6-8)2×0.25+(10-8)2×0.1+(12-8)2×0.15+(14-8)2×0.05=8,所以σ==2≈2.8,所以P(5.2≤ξ<13.6)≈P(8-2.8≤ξ<8+2×2.8)≈0.8.
(ⅱ)由题意及(ⅰ)得η~B4,,所以P(η=0)=04=,P(η=1)=3=,P(η=2)=22=,P(η=3)=3=,P(η=4)=40=,η的分布列为
η
0
1
2
3
4
P
D(η)=np(1-p)=4×.
课时规范练56
1.(2022·山东泰安三模)已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),若P(X<2)·P(X>4)=,则P(2
答案:A
解析:因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2),由对称性可知,P(X<2)=P(X>4),又P(X<2)·P(X>4)=,所以P(X<2)=P(X>4)=,故P(2
A.2 B.1 C.3 D.4
答案:C
解析:ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=.
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
于是E(ξ)=0×+1×+2×,故E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×+1=3.
3.(2023·东北师大附中高三开学考试)下图是一块高尔顿板示意图.在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为1,2,3,4,5,6,用X表示小球落入格子的号码,假定底部6个格子足够长,投入160粒小球,则落入3号格的小球大约有 粒.
答案:50
解析:设A=“向右下落”,则=“向左下落”,且P(A)=P()=,设Y=X-1,
∵小球下落过程中共碰撞5次,
∴Y~B5,,
∴P(Y=k)=P(X=k+1)=k1-5-k=5,k=0,1,2,3,4,5,
∴P(X=3)=5=,故投入160粒小球,则落入3号格的小球大约有160×=50粒.
4.(2022·广东广州一模)某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目,并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用,为了解“AI作业”对学生学习的促进情况,该公司随机抽取了200名学生,对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查,样本调查结果如下表:
掌握情况
甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26
假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生,用ξ表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数,求ξ的分布列和数学期望;
(2)用样本频率估计概率,从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生,用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”知识点,用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”知识点,用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”知识点,用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”知识点.比较方差D(X)和D(Y)的大小关系.
解:(1)依题意,ξ=0,1,2,
且P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
故E(ξ)=1×+2×.
(2)由题意,易知X服从二项分布X~B1,,D(X)=,Y服从二项分布Y~B1,,D(Y)=,故D(X)
(1)若箱子中所装的4张奖券中有1张面值为80元,其余3张均为40元,试比较员工获得80元奖励与获得120元奖励的概率的大小;
(2)公司对奖励总额的预算是6万元,预定箱子中所装的4张奖券有两种方案:第一种方案是2张面值20元和2张面值100元;第二种方案是2张面值40元和2张面值80元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡,请问选择哪一种方案比较好?并说明理由.
解:(1)用X表示员工所获得的奖励额.
因为P(X=80)=,P(X=120)=,
所以P(X=80)=P(X=120).
故员工获得80元奖励与获得120元奖励的概率相等.
(2)第一种方案中4张奖券的面值为20,20,100,100,
设员工所获得的奖励额为X1,则X1的分布列为
X1
40
120
200
P
所以X1的数学期望为E(X1)=40×+120×+200×=120,X1的方差为D(X1)=(40-120)2×+(120-120)2×+(200-120)2×;
第二种方案中4张奖券的面值为40,40,80,80,设员工所获得的奖励额为X2,则X2的分布列为
X2
80
120
160
P
所以X2的数学期望为E(X2)=80×+120×+160×=120,X2的方差为D(X2)=(80-120)2×+(120-120)2×+(160-120)2×,又因为500E(X1)=500E(X2)=60000(元),所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求,但第二种方案的方差比第一种方案的小,故应选择第二种方案.
6.(2023·山东德州模拟)教育部门最近出台了“双减”政策,即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担,持续规范校外培训(包括线上培训和线下培训).“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险,寻求发展制定科学方案,工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理,其中消费情况数据如表.
消费金额/千元
[3,5)
[5,7)
[7,9)
[9,11)
[11,13)
[13,15]
人数
30
50
60
20
30
10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化课主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移,为了深入了解当前学生的兴趣爱好,工作人员利用分层随机抽样的方法在消费金额为[9,11)和[11,13)的学员中抽取了5人,再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查,求抽取的3人中消费金额为[11,13)的人数的分布列和数学期望;
(2)以频率估计概率,假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布N(μ,σ2),μ,σ2分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差s2(同一区间的数据用区间的中点值替代).
(ⅰ)试估计该机构学员2020年消费金额为[5.2,13.6)的概率(保留一位小数);
(ⅱ)若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人,记消费金额为[5.2,13.6)的人数为η,求η的分布列及方差.
参考数据:≈1.4;若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4.
解:(1)由题意得,抽中的5人中消费金额为[9,11)的人数为×5=2,消费金额为[11,13)的人数为×5=3,设消费金额为[11,13)的人数为X,则X=1,2,3,所以P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,X的分布列为
X
1
2
3
P
则E(X)=1×+2×+3×.
(2)(ⅰ)由题意得μ==4×0.15+6×0.25+8×0.3+10×0.1+12×0.15+14×0.05=8,σ2=(4-8)2×0.15+(6-8)2×0.25+(10-8)2×0.1+(12-8)2×0.15+(14-8)2×0.05=8,所以σ==2≈2.8,所以P(5.2≤ξ<13.6)≈P(8-2.8≤ξ<8+2×2.8)≈0.8.
(ⅱ)由题意及(ⅰ)得η~B4,,所以P(η=0)=04=,P(η=1)=3=,P(η=2)=22=,P(η=3)=3=,P(η=4)=40=,η的分布列为
η
0
1
2
3
4
P
D(η)=np(1-p)=4×.
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