新教材适用2024版高考数学一轮总复习练案59第十章计数原理概率随机变量及其分布第三讲二项式定理

练案[59] 第三讲　二项式定理

A组基础巩固

一、单选题

1．(2018·课标卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为( C )

A．10  B．20

C．40  D．80

[解析]　Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C2rx10－3r，

当10－3r＝4时，解得r＝2，

则x4的系数为C×22＝40，选C.

2．(2023·湖南名校联考)7的展开式中，x4项的系数为( C )

A．－280  B．280

C．－560  D．560

[解析]　在7的展开式中，通项公式为Tr＋1＝C27－r(－1)rx14－，令14－＝4，求得r＝3，可得x4项的系数为C24(－1)3＝－560.故选C.

3．(2019·全国)(2＋1)6的展开式中x的系数是( B )

A．120  B．60

C．30  D．15

[解析]　由二项式(2＋1)6的展开式的通项为

Tr＋1＝C(2)6－r＝26－rCx，

令＝1，解得r＝4，

则(2＋1)6的展开式中x的系数是22C＝60，故选B.

4．(2022·湖南怀化模拟)二项式12的展开式中的常数项是( C )

A．第7项  B．第8项

C．第9项  D．第10项

[解析]　二项式12的展开式通项为Tr＋1＝C·x12－r·r＝C·2r·x12－r，令12－r＝0，解得r＝8.因此，二项式12的展开式中的常数项是第9项．故选C.

5．(2023·江苏南京中华中学模拟)若(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a4＝( B )

A．270  B．135

C．－135  D．－270

[解析]　(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，以x－1代替x，得(3－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，所以其通项公式为Tr＋1＝C36－r(－x)r＝C36－r(－1)rxr，令r＝4，所以a4＝C36－4(－1)4＝135，故选B.

6．(2023·河北示范性高中调研)关于二项式(1＋ax＋x2)(1－x)8，若展开式中含x2的项的系数为21，则a＝( C )

A．3  B．2

C．1  D．－1

[解析]　(1－x)8的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCxr，x2的系数为1×C×(－1)2＋a×C×(－1)＋1×C＝21，解得a＝1，故选项C正确．

7．(2023·陕西安康中学检测)已知n(n∈N*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是( A )

A．－84  B．84

C．－24  D．24

[解析]　由于n(n∈N*)的展开式中各项的二项式系数之和为128，∴2n＝128，∴n＝7，7的通项为：Tr＋1＝C(2x2)7－rr＝C27－r(－1)rx14－3r，令14－3r＝－1，∴r＝5，故T6＝－C22x－1＝－84x－1.故选A.

8．(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝( B )

A．40  B．41

C．－40  D．－41

[解析]　令x＝1，则a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，故a4＋a2＋a0＝＝41，故选B.

9．(2023·广东广州阶段测试)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是( C )

A．45  B．84

C．120  D．210

[解析]　解法一：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中，含x2项的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＝120，故选C.

解法二：(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝＝.∴x2的系数为C＝120.故选C.

二、多选题

10．(2022·河北沧州质检)已知n的展开式中各项的二项式系数之和为16，则展开式中( BCD )

A．各项的系数之和为－1

B．存在常数项－32

C．各项的系数中最大的是24

D．含x的无理项有三项

[解析]　由n的二项式系数之和为16，得2n＝16，可得n＝4，令x＝1，可得所有项的系数之和为1，选项A错误；展开式的通项是(－2)kCx4－(k＝0,1,2,3,4)，令k＝3，可得常数项为－32，选项B正确；k＝2时对应项是24x，系数最大，故各项的系数中最大的是24，选项C正确；k＝1,2,4时，展开式中对应的项为无理项，故含x的无理项有三项，选项D正确．故选BCD.

11．(2023·浙江A9协作体联考)已知多项式(x－2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3，则下列结论正确的是( ABD )

A．a0＝－8

B．a2＝－6

C．a0＋a1＋a2＋a3＝1

D．|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＝27

[解析]　因为(x－2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3，取x＝0可得，a0＝(－2)3＝－8，A正确；取x＝1可得，a0＋a1＋a2＋a3＝(1－2)3＝－1，C错误；取x＝－1可得，a0－a1＋a2－a3＝(－1－2)3＝－27，又(x－2)3＝Cx3(－2)0＋Cx2(－2)1＋Cx1(－2)2＋Cx0(－2)3，所以a0<0，a1>0，a2<0，a3>0，所以a2＝C×(－2)＝－6，B正确；|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＝－a0＋a1－a2＋a3＝27，D正确．故选ABD.

12．已知n(a>0)展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是( BD )

A．偶数项的二项式系数和为256

B．不存在常数项

C．系数最大项为第5项

D．含x7项的系数为45

[解析]　因为第4项与第8项的二项式系数相等，所以展开式共11项，n＝10；

令x＝1，得(1＋a)10＝1 024，又a>0，所以a＝1；

对于A选项，偶数项的二项式系数和为29＝512，所以A选项错误；通项公式为Tk＋1＝Cx10－k·k＝Cx10－，不存在整数k使得10－＝0成立，所以B选项正确；显然各项系数为各项的二项式系数，当k＝5时，C最大，所以系数最大项为第6项，所以C选项错误；令10－＝7，解得k＝2，所以系数为C＝45，所以D选项正确．故选BD.

三、填空题

13．(2022·天津高考真题)5的展开式中的常数项为_15__.

[解析]　由题意5的展开式的通项为Tr＋1＝C·()5－r·r＝C·3r·x，令＝0即r＝1，则C·3r＝C·3＝15，所以5的展开式中的常数项为15.

14．(2023·安徽江淮十校联考)在n的展开式中只有第5项二项式系数最大，则常数项为_1_120__.

[解析]　由n的展开式中只有第5项二项式系数最大得n＝8，所以展开式通项为Tk＋1＝C(2)8－kk＝C(－1)k28－kx4－k，当k＝4时常数项为1 120.

15．(2022·湖南名校联考)已知5的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为_270__.

[解析]　令x＝1，5的展开式中所有项的系数之和为(3＋a)5＝32，所以3＋a＝2，解得a＝－1，所以展开式的通项Tr＋1＝C(3x2)5－rr＝C35－r(－1)rx10－5r，令10－5r＝0，得r＝2，所以常数项为T3＝C×33×(－1)2＝270.

B组能力提升

1．(2022·山东烟台模拟)在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为( A )

A．－480  B．480

C．－240  D．240

[解析]　解法一：(x2－2x＋y)6＝[x(x－2)＋y]6展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r·(x－2)6－r·yr，显然r＝2.又(x－2)4展开式的通项T′s＋1＝Cx4－s(－2)s，显然s＝3.故x5y2的系数为C×(－2)3·C＝－480.故选A.

解法二：(x2－2x＋y)6看成是6个(x2－2x＋y)相乘，要得到x5y2.分以下情况：6个因式中，2个因式取y,1个因式取x2,3个因式取－2x，此时x5y2的系数CCC·(－2)3＝－480，所以x5y2的系数为－480.故选A.

2．设(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)若a1＋a2＋…＋an＝728，则展开式中二项式系数最大的项是( A )

A．160x3  B．60x2

C．240x4  D．20x3

[解析]　由题可知，(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋an＝3n，(1＋2x)n的展开式中，通项公式为：Tr＋1＝C2rxr，则常数项对应的系数为：a0，即r＝0，得a0＝C·20＝1，所以a1＋a2＋…＋an＝3n－1＝728，解得：n＝6，则(1＋2x)6展开式中二项式系数最大为：C，则二项式系数最大的项为：C·23x3＝160x3.故选A.

3．今天是星期二，92 023天后是( C )

A．星期二  B．星期三

C．星期四  D．星期五

[解析]　92 023＝(7＋2)2 023＝7m＋22 023＝7m＋2×8674＝7m＋2×(7＋1)674＝7n＋2(m，n∈N*)，

∴92 023天后是星期四．选C.

4．(2019·浙江)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是 16　，系数为有理数的项的个数是_5__.

[解析]　(＋x)9展开式的通项Tr＋1＝C()9－rxr＝C·2·xr(r＝0,1,2，…，9)，令r＝0，得常数项T1＝C·2·x0＝2＝16，要使系数为有理数，则只需∈Z，则r必为奇数，满足条件的r有1,3,5,7,9，共五种，故系数为有理数的项的个数是5.

5．(2023·安徽蚌埠质检)若二项式n展开式中第4项的系数最大，则n的所有可能取值的个数为_4__.

[解析]　n展开式的通项Tr＋1＝Cxn－r，由题意知解得8≤n≤11.

∴n＝8、9、10、11，可能取值的个数为4.