2022北京石景山初三（上）期末数学（教师版）

2022北京石景山初三（上）期末

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一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．若，则下列比例式正确的是　　

A． B． C． D．

2．在中，，，，则的值是　　

A． B． C． D．

3．在平面直角坐标系中，抛物线向上平移2个单位长度得到的抛物线为　　

A． B． C． D．

4．在平面直角坐标系中，抛物线的示意图如图所示，下列说法中正确的是　　

A． B． C． D．△

5．在平面直角坐标系中，若函数的函数值随着自变量的增大而增大，则函数的图象所在的象限为　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．如图，四边形内接于．若四边形是菱形，则的度数为　　

A． B． C． D．

7．正方形的面积与它的周长满足的函数关系是　　

A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数

8．在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上，当时，下列说法一定正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．如图，，，交于点，．若，则的长为 　　．

10．在半径为3的圆中，的圆心角所对的劣弧长等于　　．

11．如图，在平面直角坐标系中，为函数图象上一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，．若矩形的面积为3，则的值为 　　．

12．如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 　　．

13．如图，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长为 　　．

14．有一块三角形的草坪，其中一边的长为．在这块草坪的图纸上，这条边的长为．已知图纸上的三角形的周长为，则这块草坪的周长为 　　．

15．北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素．如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段．已知坡的长为，坡角约为，则坡的铅直高度约为 　　．（参考数据：，，

16．如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．

（1）点的纵坐标为 　　；

（2）当最大时，点的坐标为 　　．

三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分；第21-23题，每小题5分；第24-25题，每小题5分；第26题6分；第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．（5分）计算：．

18．（5分）如图，平分，为上一点，．

（1）求证：；

（2）若为中点，，求的长．

19．（5分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．

（1）求它的顶点坐标；

（2）求它与轴的交点坐标．

20．（5分）下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．

已知：如图1，．

求作：直线，使得．

作法：如图2，

①分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点；

②以点为圆心，长为半径作圆；

③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；

④作直线．

所以直线就是所求作的直线．

根据小石设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：连接，

点，，，在上，，

　　．

　　（填推理的依据）．

．

21．（6分）如图，在中，，，，求的长．

22．（6分）在平面直角坐标系中，二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）画出这个二次函数的图象；

（3）若，结合函数图象，直接写出的取值范围．

23．（6分）如图，为的直径，点在上，连接，，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）连接，若，，求的长．

24．（6分）如图，排球运动场的场地长，球网高度，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为，当排球飞行到距离球网时达到最大高度．小石建立了平面直角坐标系个单位长度表示，求得该抛物线的表达式为．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）画出小石建立的平面直角坐标系；

（2）判断排球能否过球网，并说明理由．

25．（5分）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点．

（1）求的值；

（2）过点，作轴的垂线，分别交反比例函数，的图象于点，．

①当时，求的长；

②若，直接写出的取值范围．

26．（5分）在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．

（1）将写成的形式；

（2）若，比较，的大小，并说明理由；

（3）若，直接写出的取值范围．

27．（6分）如图，是的高，点关于直线的对称点为，连接，为线段上一点（不与点重合），．

（1）比较与的大小；

（2）用等式表示线段，的数量关系，并证明；

（3）连接，取的中点，连接．判断与的位置关系，并证明．

28．（8分）在平面直角坐标系中，的半径为2．点，为外两点，给出如下定义：若上存在点，，使得以，，，为顶点的四边形为矩形，则称点，是的“成对关联点”．

（1）如图，点，，，横、纵坐标都是整数．在点，，中，与点组成的“成对关联点”的点是 　　；

（2）点在第一象限，点与点关于轴对称，若点，是的“成对关联点”，直接写出的取值范围；

（3）点在轴上，若直线上存在点，使得点，是的“成对关联点”，直接写出点的纵坐标的取值范围．

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．【分析】根据比例的基本性质，把选项中的比例式化成等积式，即可判断．

【解答】解：．因为：，所以：，故不符合题意；

．因为：，所以：，故不符合题意；

．因为：，所以：，故符合题意；

．因为：，所以：，故不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．

2．【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边求出的值即可．

【解答】解：．

故选：．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

3．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

【解答】解：抛物线向上平移2个单位长度得到的抛物线为：．

故选：．

【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

4．【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置可确定，，的符号，根据抛物线与轴交点个数可得△的符号．

【解答】解：抛物线开口向下，

，

抛物线对称轴在轴右侧，

，即，

抛物线与轴交点在轴下方，

，

抛物线与轴无交点，

△，

故选：．

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．

5．【分析】先根据函数的函数值随着自变量的增大而增大，判断函数所在象限，再根据及函数图象可得答案．

【解答】解：函数的函数值随着自变量的增大而增大，

函数图象在第二、四象限，

，

函数的图象所在的象限在第二象限，

故选：．

【点评】本题考查的是反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解本题的关键．

6．【分析】设的度数，的度数，由题意可得，求出即可解决问题．

【解答】解：设的度数，的度数；

四边形是菱形，

；

，；而，

，

解得：，，，

故选：．

【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．

7．【分析】设正方形的边长为，由正方形的周长和面积公式，消去，可得所求函数的解析式．

【解答】解：设正方形的边长为，

则，，

消去得，，它是二次函数，

故选：．

【点评】此题考查的是函数关系式的求法及二次函数的概念，掌握正方形的面积公式与周长公式是解决此题关键．

8．【分析】根据二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，根据各点横坐标可判断，进而求解．

【解答】解：中，

抛物线开口向上，对称轴为直线，

，

，

当时，，异号，

，，

，选项正确．

当时，，

选项错误，

当时，，，

，选项错误．

当时，，，中有1个值为0即可，

选项错误．

故选：．

【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．【分析】证明，对应边成比例代入值即可．

【解答】解：，

，，

，

．

，

．

故答案为：6．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出的长是解题关键．

10．【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案．

【解答】解：半径为3的圆中，的圆心角所对的劣弧长，

故答案为：．

【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：是解题的关键．

11．【分析】根据反比例函数系数的几何意义可得答案．

【解答】解：由题意得，

，

又，

，

故答案为：3．

【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的前提．

12．【分析】根据两个角相等，两个三角形相似，可证明与相似的三角形有或或．

【解答】解：，，

，

，

又，

；

，，

，

故答案为：或或．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．

13．【分析】根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质解答即可．

【解答】解：，是的切线，

，，

，

，

为等边三角形，

，

故答案为：3．

【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

14．【分析】直接利用相似三角形的性质得出周长比等于相似比，进而得出答案．

【解答】解：设这块草坪的周长为，根据题意可得：

，

解得：，

故答案为：30．

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．

15．【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．

【解答】解：在中，，，

，

，

故答案为：18．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

16．【分析】（1）根据点、点的坐标求出的中点，根据外心的概念得到点的纵坐标；

（2）连接、，过点作轴于点，根据垂径定理求出，进而求出，根据勾股定理计算，得到答案．

【解答】解：（1）点，，

的中点坐标为，

为的外接圆，

点在的垂直平分线上，

点的纵坐标为5，

故答案为：5；

（2）由圆周角定理可知，当与轴相切于点时，最大，

连接、，过点作轴于点，

与轴相切于点，

轴，

四边形为矩形，

，，

，，

，

，

在中，，

，

点的坐标为，

故答案为：．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、切线的性质、圆周角定理，根据圆周角定理得到当与轴相切于点时，最大是解题的关键．

三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分；第21-23题，每小题5分；第24-25题，每小题5分；第26题6分；第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可．

【解答】解：

．

【点评】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的运算，准确熟练地掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．

18．【分析】（1）根据角平分线定义可得，进而可以证明结论；

（2）结合（1），根据相似三角形的性质即可求解．

【解答】（1）证明：平分，

，

．

；

（2）解：为中点，，

，

，

，

，

．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，得出是解题的关键．

19．【分析】（1）把解析式化成顶点式即可；

（2）把代入函数解析式求出即可．

【解答】解：（1），

抛物线的顶点坐标为；

（2）把代入得，，

解得，，

抛物线与轴的交点坐标为，．

【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数与轴的交点，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．

20．【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）根据圆周角定理和平行线的判定证明即可．

【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；

（2）证明：连接，

点，，，在上，，

．

（在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等）．

．

故答案为：．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等．

【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21．【分析】过点作，垂足为．得到和，先在中求出、，再在中求出，最后利用线段的和差关系求出．

【解答】解：过点作，垂足为．

、均为直角三角形．

在中，

，

．

，

．

．

，．

在中，

，

．

．

【点评】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形并掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．

22．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出即可；

（2）利用描点法画二次函数图象；

（3）根据时的值，再结合函数图象得出时的取值范围．

【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为，

设二次函数的解析式为：，

把点代入，得，

故抛物线解析式为，即；

（2）由（1）知，抛物线顶点为，对称轴为直线，过原点，

根据抛物线的对称性，抛物线过

抛物线的图象如图所示：

（3）当时，，

解得：，，

结合函数图象，当时，或．

【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．

23．【分析】（1）连接，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可解决问题；

（2）根据垂径定理可得，由勾股定理可得的长，然后证明，进而可以解决问题．

【解答】（1）证明：如图，连接，

是的切线，

，

，

，

，

，

，

，

；

（2）解：如图，连接，

，

，

，

，

为的直径，

，

，

，

，

，

，

，

．

【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

24．【分析】（1）根据抛物线的解析式可以得出抛物线的对称轴为轴，顶点为建立坐标系即可；

（2）根据坐标系和抛物线解析式，把代入解析式求出相应的函数值与2.24比较即可．

【解答】解：（1）抛物线解析式为，

对称轴为轴，顶点为，

小石建立的坐标系如图所示：

（2）排球能过球网．

理由：当时，，

排球能过球网．

【点评】本题考查了二次函数的应用，关键根据抛物线建立适当的坐标系．

25．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；

（2）①求得、的坐标，即可求得的长；

②根据图象即可求得．

【解答】解：（1）反比例函数的图象过点，

；

（2）①当时，则，

把代入得，，

，

把代入得，，

，

；

②若，的取值范围是或．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标适合解析式．

26．【分析】（1）利用配方法化简即可；

（2）根据二次函数的性质即可判断；

（3）根据题意得到，解不等式即可求得．

【解答】解：（1）；

（2），理由如下：

若，则对称轴是轴，

，，

到轴的距离大于到轴的距离，

，

；

（3）抛物线开口向上，对称轴为直线，

若，则，

解得或．

【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．

27．【分析】（1）连接，由轴对称的性质知，，得，则，从而得出结论；

（2）连接，作于，利用证明，得，再利用等腰三角形的性质可得结论；

（3）连接，取的中点，连接，并延长交于，由等腰三角形的性质知，再利用四边形内角和定理说明，则，由，知四点、、、共圆，从而解决问题．

【解答】解：（1）连接，

点关于直线的对称点为，

，，

，

，

，

；

（2），理由如下：连接，作于，

，，，

，

，

，，

，

；

（3），理由如下：

连接，取的中点，连接，并延长交于，

，点为的中点，

，

，

点关于直线的对称点为，

，

，

，

，

，

，

，

四点、、、共圆，

，

，

，

．

【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，四边形内角和定理等知识，运用四点共圆证明是解题的关键．

28．【分析】（1）根据的“成对关联点”的定义，利用数形结合的方法判断即可；

（2）由题意可得点在直线上，利用点和圆的位置关系和的“成对关联点”的线段的长度不大于圆的直径列出不等式，解不等式即可得出结论；

（3）利用分类讨论的思想分析得到点的大致位置，通过计算点，的最大临界值即可求得结论．

【解答】解：（1）如图所示，

在点，，中，与点组成的“成对关联点”的点是：，，

故答案为：，．

（2）点在第一象限，

点在直线上，

设直线与交于点，可知，

，

解得：，

点在第一象限，

，

．

由的“成对关联点”的定义可知：的“成对关联点”在圆外，

，

．

点与点关于轴对称，

，

由题意：，

．

解得：．

若点，是的“成对关联点”， 的取值范围：．

（3）当时，如图所示：

显然，直线上不存在点，使得点，是的“成对关联点”；

当时，如图所示：

显然，直线上不存在点，使得点，是的“成对关联点”；

当时，显然，直线上存在点，使得点，是的“成对关联点”，

如图所示：点，是的“成对关联点”， 为的直径，

，

此时，取得最大值，取得最大值．

设，，直线与轴交于点，

则，．

则四边形是矩形，

，．

，

，

．

．

，

，

．

．

解得：．

，

．

点的纵坐标的取值范围：．

【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关概念及性质，圆的直径，矩形的性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定与性质，直角坐标系，点的坐标的特征，本题是新定义型题目，理解题干的新定义并熟练应用是解题的关键．