2021北京石景山初三二模数学（教师版）

2021北京石景山初三二模

数    学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．（2分）单项式的系数是　　

A． B．1 C．2 D．3

2．（2分）在下面四个几何体中，左视图是三角形的是　　

A． B． 

C． D．

3．（2分）如图，直线，平分，，则的度数是　　

A． B． C． D．

4．（2分）若，，分别表示的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

5．（2分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择　　

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

6．（2分）如图，点，，在上，，，则的度数为　　

A． B． C． D．

7．（2分）如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是　　

A． B． 

C． D．

8．（2分）如图是利用平面直角坐标系画出的首钢园中部分场馆建筑的分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，表示群明湖的点的坐标为，表示冰壶馆的点的坐标为，则表示下列场馆建筑的点的坐标正确的是　　

A．滑雪大跳台 B．五一剧场 

C．冬奥组委会 D．全民畅读艺术书店

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．（2分）写出一个比0大且比2小的无理数　　．

10．（2分）一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是　　．

11．（2分）若一个正多边形的内角是外角的3倍，则这个正多边形的边数为　　．

12．（2分）已知二元一次方程，若与互为相反数，则的值为　　．

13．（2分）如图，在四边形中，，，是中点，过点作交于点，连接．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）

①　　；

②　　．

14．（2分）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．若，则点在第　　象限．

15．（2分）某店家进一批应季时装共400件，要在六周内卖完，每件时装成本500元．前两周每件按1000元标价出售，每周只卖出20件．为了将时装尽快销售完，店家进行了一次调查并得出每周时装销售数量与时装价格折扣的关系如下：

为盈利最大，店家选择将时装打 　　折销售，后四周最多盈利 　　元．

16．（2分）在平面直角坐标系中，，，有以下4种说法：

①一次函数的图象与线段无公共点；

②当时，一次函数的图象与线段无公共点；

③当时，反比例函数的图象与线段无公共点；

④当时，二次函数的图象与线段无公共点．

上述说法中正确的是　　．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．（5分）计算：．

18．（5分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．（5分）已知，求代数式的值．

20．（5分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的的值，并求此时方程的根．

21．（5分）如图，在中，点是线段的中点．

求作：线段，使得点在线段上，且．

作法：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，两点；

②作直线，交于点；

③连接．

所以线段即为所求的线段．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：，，

是的垂直平分线　　．（填推理的依据）

点是的中点．

点是的中点，

　　．（填推理的依据）

22．（5分）如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接，．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，，，求的长．

23．（6分）在平面直角坐标系中，直线经过一个定点，直线与反比例函数图象相交于点．

（1）直线可以看成是直线沿轴向　　（填“左”或“右” 平移1个单位得到的，请直接写出定点的坐标；

（2）求的值；

（3）直线与轴、轴分别交于点，．若，求的值．

24．（6分）如图，是的直径，是外一点，连接交于点，，分别切于点，，连接，．

（1）求证：；

（2）连接，若，，求长．

25．（6分）第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，石景山区作为北京冬奥组委机关驻地和冬奥会滑雪大跳台赛事场地，将迎来作为“双奥之区”的高光时刻．随着冬奥会的脚步越来越近，石景山教育系统大力普及青少年冰雪运动项目和知识，越来越多的青少年走向冰场、走进雪场、了解冰雪运动知识．某校在距离冬奥会开幕倒计时300天之际开展了一次冬奥知识答题竞赛，七、八年级各有200名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析，过程如下（数据不完整）．

收集数据

七年级  66  70  71  78  71  78  75  78  58    63  90  80  85  80  89  85  86  80  87

八年级  61  65  74  70  71  74  74  76  63    91  85  80  84  87  83  82  80  86

整理、描述数据

（说明：成绩80分及以上为优秀，分为合格，60分以下为不合格）

分析数据

两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）　　，　　，　　；

（2）在此次竞赛中，小冬的成绩在七年级能排在前，在八年级只能排在后，那么估计小冬的成绩可能是　　；

（3）估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数为　　．

26．（6分）在平面直角坐标系中，已知二次函数．

（1）当时，

①若，求该函数最小值；

②若，则此时对应的函数值的最小值是5，求的值；

（2）当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是12，直接写出的值．

27．（7分）已知等边，为边中点，为边上一点（不与，重合），连接．

（1）如图1，点是边的中点，当在线段上（不与，重合）时，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．

①依题意补全图1；

②此时与的数量关系为：　　，　　．

（2）如图2，若，在边上有一点，使得．直接用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

28．（7分）在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点．

（1）当的半径为2时，

①在，，，三个点中，是的二倍点的是 　　；

②已知一次函数与轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，求的取值范围．

（2）已知点，，，的半径为2，若线段上存在点为的二倍点，直接写出的取值范围．

参考答案

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．【分析】根据单项式的系数概念即可求出答案．

【解答】解：单项式的系数是，

故选：．

【点评】本题考查单项式，解题的关键是正确理解单项式的系数，本题属于基础题型．

2．【分析】根据几何体的左视图是从物体的左面看得到的图形，得到四个图形的左视图，结合选项得到答案．

【解答】解：、左视图是矩形，故本选项不合题意；

、左视图是等腰三角形，故本选项符合题意；

、左视图是矩形，故本选项不合题意；

、左视图是矩形，故本选项不合题意；

故选：．

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握三视图的定义是解题的关键，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

3．【分析】根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性质求解即可．

【解答】解：，

，

平分，

，

，

，

故选：．

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．

4．【分析】分别计算出，，的值，比较大小即可．

【解答】解：，，，

，故，，选项错误，不符合题意；

，

选项正确，符合题意，

故选：．

【点评】本题考查了实数，比较出，，的大小是解题的关键．

5．【分析】根据方差的意义求解即可．

【解答】解：由表格知，乙的方差最小，

所以乙运动员发挥最稳定，

故选：．

【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

6．【分析】连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质可得出答案．

【解答】解：连接，

，

，

，

，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，正确利用圆周角定理求得的度数是关键．

7．【分析】用两种方法表示剩下正方形的面积，列出等式，化简即可得到答案．

【解答】解：由图可得剩下正方形面积为：，

根据正方形面积公式，剩下正方形面积也可以表示为：，

，化简得，

故选：．

【点评】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是用两种方法表示剩下正方形的面积．

8．【分析】根据群明湖的点的坐标和冰壶馆的点的坐标，建立平面直角坐标，进而得出馆建筑的点的坐标．

【解答】解：滑雪大跳台，五一剧场，冬奥组委会，全民畅读艺术书店；

故选：．

【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．【分析】只需要写出一个符合题意的无理数即可．

【解答】解：比0大比2小的无理数都可以，如：，，

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】本题考查了无理数的比较大小，掌握无理数的定义是解题的关键．

10．【分析】直接根据概率公式求解．

【解答】解：盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，共有9个球，

从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是；

故答案为：．

【点评】本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

11．【分析】设正多边形的边数为，利用多边形的内角和公式和外角和定理即可解答．

【解答】解：设正多边形的边数为，由题意得：

，

解得：，

故答案为：8．

【点评】本题考查多边形的内角（和与外角（和，熟记多边形的内角和公式及外角和为是解答的关键．

12．【分析】由与互为相反数得，代入即可得答案．

【解答】解：与互为相反数，

，

把代入得：

，即，

，

故答案为：2．

【点评】本题考查解二元一次方程组，解二元一次方程组基本思想是消元，代入消元法是常用方法之一，本题关键即是用代入消元法把“二元”化为“一元”．

13．【分析】①由等边对等角得到，再由两直线平行，同位角相等得到，即得，由等角对等边即得结果；

②由两直线平行，同位角相等即可得结果．

【解答】解：①，

，

，

，

，

．

②，

．

故答案为：；．

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．

14．【分析】把点代入得，，由，得出，即可判定点在第二象限．

【解答】解：点在双曲线上．

，，

，

点在第二象限，

故答案为二．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握坐标系中点的坐标特征是解题的关键．

15．【分析】前两周每周只卖了20件，还剩下360件，后四周每天至少要卖90件，所以折扣应该在8折以下．列出折扣与利润的一次函数表达式，利用一次函数的性质即可得出最多利润．

【解答】解：（件，

要在六周内卖完，后四周每周至少要卖（件，

折扣应该在8折以下．

设后四周的利润为，折扣为，依题意得

，

，

随着的增大而增大，

当时，有最大值，

此时，

当打七折时，后四周的最大盈利为72000元，

故答案为：7；72000．

【点评】本题考查了一次函数的实际应用，准确建立一次函数解析式并确定自变量的取值范围是解决问题的关键．

16．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征以及它们的性质即可判断．

【解答】解：①一次函数的图象经过点，

一次函数的图象与线段有公共点，故①错误；

②，

，

一次函数的图象经过点，

时，一次函数的图象与线段无公共点，故②正确；

③当时，反比例函数，

当时，反比例函数的图象与线段无公共点，故③正确；

④二次函数的图象经过点，

二次函数的图象与线段有公共点，故④错误；

故答案为②③．

【点评】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解题的关键．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【解答】解：原式

．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．

【解答】解：去分母得：，

移项合并得：，

解得：．

将解集表示在数轴上如下：

【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

19．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，整体代入计算即可．

【解答】解：

，

，

原式．

【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．

20．【分析】（1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则△，列出不等式，即可求出的取值范围．

（2）根据方程的两个根都是整数，确定出的值，经检验即可得到满足题意的的值，并求出方程的根（答案不唯一）．

【解答】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

，

解得：．

的取值范围是．

（2）利用求根公式表示出方程的解为，

方程的解为整数，

为完全平方数，

则当的值为0时，方程为：，

解得：，（不唯一）．

【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．

21．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；

（2）先根据线段的垂直平分线的性质定理的逆定理判断是的垂直平分线，则点是的中点，然后根据三角形中位线性质得到．

【解答】（1）解：如图，

（2）证明：，，

是的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）；

点是的中点．

点是的中点，

（三角形中位线性质）．

故答案为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；三角形中位线性质．

【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

22．【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再由，得，，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；

（2）由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再由面积法求出，然后由矩形的性质得，，最后由勾股定理求解即可．

【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，

，，

，

，，

四边形是平行四边形，

又，

，

平行四边形是矩形；

（2）解：四边形是平行四边形，

，

，，

，

是直角三角形，，

的面积，

，

由（1）得：，四边形是矩形，

，，

，

．

【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．

23．【分析】（1）由平移的性质得出向右平移，再令，求出定点的坐标；

（2）将点的坐标代入反比例函数解析式中，即可得出结论；

（3）先求出点，的坐标，进而得出，，利用，建立方程求解，即可得出结论．

【解答】解：（1）可以看成是直线沿轴向右平移1个单位得到的，

针对于，

令，即时，，

定点，

故答案为右；

（2）由（1）知，

点在反比例函数的图象上，

；

（3）针对于直线，

令则，

，

令，则，

，

，，

由（1）知，，

，，

，

，

，

，

，

或．

【注】（3）的第二种方法提示：分大于0和小于0两种情况，利用相似三角形的性质求出点的坐标，再将点的坐标代入直线解析式中，即可得出结论．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，两点间的距离公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．

24．【分析】（1）连接，由切线的性质得出，，得出，则可得出结论；

（2）由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．

【解答】（1）证明：连接，

，分别切于点，，

，，

，

，

，

；

（2）解：由（1）得，

切于点，

，

，

，

在中，，，

，

，

在中，，，，

，

．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

25．【分析】（1）根据平均数可求出的值，再根据频数统计可得出的值，利用中位数的意义可得的值；

（2）利用中位数的意义以及七、八年级学生具体成绩判断即可；

（3）求出七、八年级优秀的人数即可．

【解答】解：（1），

解得，

七年级这20名同学的成绩在的有9人，即，

将八年级20名学生的成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的都是80，因此中位数是80，即，

故答案为：80，0.45，80；

（2）七年级低于80分的有10人，大于或大于80分的有10人，而八年级低于80分的有9人，高于或等于80分的有11人，

因此在七年级能排在前，在八年级只能排在后，他的成绩可能是80分，

故答案为：80；

（3）

（人，

故答案为：210．

【点评】本题考查中位数、众数、平均数，频数分布表，理解中位数、众数、平均数的意义，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确解答的前提．

26．【分析】（1）①利用配方法，把二次函数的解析式写成顶点式即可．

②由题意，判断出时，，利用待定系数法可得结论．

（2）当时，，图象开口向上，对称轴为直线，分三种情形：①当，即时，②当时，即，③当，即，分别利用待定系数法，构建方程求解即可．

【解答】解：（1）①由题意，二次函数的解析式为，

顶点坐标为，

函数的最小值为3．

②，

对称轴是直线，

，则此时对应的函数值的最小值是5，

时，，

，

．

（2）当时，，图象开口向上，对称轴为直线，

①当，即时，

在自变量的值满足的情况下，随的增大而增大，

当时，最小值，

，解得，（舍去），；

②当时，即，

，的值最小，

，方程无解．

③当，即，

在自变量的值满足的情况下，随的增大而减小，

故当时，为最小值，

．解得，（舍去），；

综上所述，满足条件的的值为2或．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．

27．【分析】（1）①根据题意作图即可；②连接，根据，证，即可得出，；

（2）过点作交于，得出为的中位线，再根据证，得出，，然后根据各边关系得出．

【解答】解：（1）①如图1；

②连接，

为的中点，为的中点，

为的中位线，

且，

为等边三角形，

，，

为的中点，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

；

故答案为，；

（2）如图2，过点作交于，

，，

为等边三角形，

又是边上的中点，

，为的中位线，

，

，，

，

，

，，

，，

，

，

，，

，

，

即．

【点评】本题主要考查图形变换的综合题，熟练掌握图形的旋转，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．

28．【分析】（1）①的半径为2时，的二倍点到的距离小于2，且大于1，求出，，，与圆心的距离即可得答案；

②过作于，一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，，且且，用的代数式表示，列出不等式，即可解得的范围；

（2）画出图形，找到“临界点”，列出不等式即可解得范围．

【解答】解：（1）对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点，

的半径为2时，的二倍点到的距离小于2，且大于1，

①，，，，

，，，

的二倍点的是、，

故答案为：、．

②若，则在第二象限的图象是一条射线（不含端点），不可能所有点都是的二倍点，故，

又时，，即直线过定点，过作于，如图：

由，可得，

而可得，

一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，一次函数与轴的交点是，

且

，

解得；

（2）①当从左侧沿正方向移动时，线段上存在点为的二倍点，如图

则满足，且，

，且，

解得，且或，

结合图形可得，此时线段上存在点为的二倍点，，

②当移动到右侧，线段上存在点为的二倍点，如图：

则满足，且，

，且，

解得或，且，

结合图形可得，此时线段上存在点为的二倍点，，

综上所述，线段上存在点为的二倍点，则或．

【点评】本题考查圆的综合知识及新定义问题，解题的关键是理解二倍点的定义，找到“临界点”，题目难度较大．