2022北京石景山初三二模数学（教师版）

这是一份2022北京石景山初三二模数学（教师版），共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2022北京石景山初三二模
数 学
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）第1﹣8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在△ABC中，，，，a的值可能是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
2. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）

A. 长方体 B. 正方体 C. 三棱柱 D. 圆柱
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，△ABC中，，D，E分别为CB，AB上的点，，，若，则DE的长为（ ）

A. B. 2 C. D. 1
6. 方程组的解为（ ）
A B. C. D.
7. 研究与试验发展（R＆D）经费是指报告期为实施研究与试验发展（R＆D）活动而实际发生的全部经费支出．基础研究活动是研究与试验发展（R＆D）活动的重要组成．下面的统计图是自2016年以来全国基础研究经费及占R＆D经费比重情况．

根据统计图提供的信息，下面四个推断中错误的是（ ）
A 2016年至2021年，全国基础研究经费逐年上升
B. 2016年至2021年，全国基础研究经费占R＆D经费比重逐年上升
C. 2016年至2021年，全国基础研究经费平均值超过1000亿元
D. 2021年全国基础研究经费比2016年的2倍还多
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：

…
﹣1
0
1
3
…

…
0
﹣1.5
﹣2
0
…
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1) 2−2的形式
②二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2
④若y>0，则x>3
其中所有正确的结论为（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 分式方程解为_____．
11. 如图，将沿BC方向平移一定的距离得到．请写出一条正确的结论，可以为______．

12. 在平面直角坐标系xOy中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为______．
13.
，，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为______．


14. 如图，AB为⊙O直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．

15. 某班级学生分组做抛掷瓶盖的试验，各组试验结果如下表：
累计抛掷次数
100
200
300
400
500
600
盖面朝上次数
54
105
158
212
264
319
盖面朝上的频率
0.5400
0.5250
0.5267
0.5300
0.5280
0.5317
根据表格中的信息，估计抛掷一枚这样的瓶盖，落地后盖面朝上的概率为______．（精确到0.01）
16. 如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从______原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a:b:c=3:2:1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序______（按运送的先后顺序依次排列即可）．

三、解答题（共68分，第17﹣21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24﹣26题，每题6分，第27﹣28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解不等式组：并写出它的最大整数解．
19. 已知，求代数式的值．
20. 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB
求作：线段AB上的一点M，使得∠MCB=∠A．　
作法：①以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；　
②分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧在AB的右侧相交于点E；　
③作直线CE，交AB于点M．∠MCB即为所求．　
根据小伟设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，ED，EB．　
∵CD=CB，ED=EB，　
∴CE是DB的垂直平分线（______）（填推理的依据）．　
∴CM⊥AB．
∴∠MCB+∠B=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠MCB=∠A（______）（填推理的依据）．
21. 已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）选择一个你喜欢的整数m的值代入原方程，并求出这个方程的解．
22. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．

（1）求证：四边形BFCD是菱形；
（2）若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面积．
23. 在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点．
（1）当时，求n，b的值；
（2）过动点且垂直于x轴的直线与，的交点分别是C，D．当时，点C位于点D上方，直接写出b的取值范围．
24. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE//AB交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BC=6，求AD，BE的长．
25. 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某中学为普及共青团知识，举行了一次知识竞赛（百分制）．为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了20名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．
a．七年级学生竞赛成绩的频数分布表及八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：
分组/分数
频数
频率
50≤x＜60
1
0.05
60≤x＜70
2
0.10
70≤x＜80
5
0.25
80≤x＜90
7
m
90≤x＜100
5
0.25
合计
20
1


b．七年级学生竞赛成绩数据在这一组的是：
80 80 82 85 85 85 89
c．七、八两年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数以及方差如下：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
82.0

85
109.9
八年级
82.4
84
85
72.1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n值：______，______；八年级学生竞赛成绩扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数是______°；
（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是______（填“七”或“八”）年级，理由为______；
（3）竞赛成绩90分及以上记为优秀，该校七、八年级各有200名学生，估计这两个年级成绩优秀的学生共约______人．
26. 在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）抛物线上两点，，且，．
①当时，比较，的大小关系，并说明理由；
②若对于，，都有，直接写出t的取值范围．
27. 如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．

（1）已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；
（2）如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．


参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）第1﹣8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 在△ABC中，，，，a的值可能是（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．
【详解】解：
，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，正确理解三角形三边关系是解本题的关键．
2. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）

A. 长方体 B. 正方体 C. 三棱柱 D. 圆柱
【答案】A
【解析】
【分析】根据长方体的展开图解答．
【详解】解：由图可知，这个几何体是长方体．
故选：A．
【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记长方体的展开图的形状是解题的关键．
3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由数轴及题意可得，，依此逐一判断各项即可．
【详解】解：A.由，可知A选项不符合题意；
B.由，可知，可知B选项不符合题意；
C.由，可知，故，可知C选项符合题意；
D.因为，，故，可知D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴的知识，利用数轴比较实数的大小是解题的关键．
4. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】A、a2与a3不是同类项不能合并，故A错误；
B、，底数不变指数相加，故B正确；
C、(-a2)3=a6，底数不变指数相乘，故C错误；
D、，原选项计算错误.
故选B.
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
5. 如图，△ABC中，，D，E分别为CB，AB上的点，，，若，则DE的长为（ ）

A. B. 2 C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三边长判断各角的度数，然后利用等腰三角形“三线合一”求出，再，最后根据全等三角形的性质求出DE的长．
【详解】解：△ABC中，，，，
，
，
，
，
，，
， ，
，

，
，
又，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据特殊三角函数值求解度，三角形外角的性质，根据三角形三边确定三角形各角的度数是解本题的关键．
6. 方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用代入消元法或者加减消元法可求解，或者将x和y的值直接代入即可．
详解】
：
解得：
将代入①得：
解得：

故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练运用代入消元法或者加减消元法是解决问题的关键．
7. 研究与试验发展（R＆D）经费是指报告期为实施研究与试验发展（R＆D）活动而实际发生的全部经费支出．基础研究活动是研究与试验发展（R＆D）活动的重要组成．下面的统计图是自2016年以来全国基础研究经费及占R＆D经费比重情况．

根据统计图提供的信息，下面四个推断中错误的是（ ）
A. 2016年至2021年，全国基础研究经费逐年上升
B. 2016年至2021年，全国基础研究经费占R＆D经费比重逐年上升
C. 2016年至2021年，全国基础研究经费平均值超过1000亿元
D. 2021年全国基础研究经费比2016年的2倍还多
【答案】B
【解析】
【分析】根据条形统计图和折线统计图中的数据逐个分析即可．
【详解】A. 根据条形统计图可以发现，2016年至2021年，全国基础研究经费逐年上升，选项正确，不符合题意；
B. 2019年至2020年，全国基础研究经费占R＆D经费比重是下降的，选项错误，符合题意；
C. 2016年至2021年，全国基础研究经费平均值超过1000亿元，选项正确，不符合题意；
D. 2021年全国基础研究经费1696比2016年823的2倍还多，选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查从统计图表中提取数据，需要B选项中的反例差距极小，需要仔细观察．
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：

…
﹣1
0
1
3
…

…
0
﹣1.5
﹣2
0
…
根据表格中的信息，得到了如下的结论：
①二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1) 2−2的形式
②二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下
③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2
④若y>0，则x>3
其中所有正确的结论为（ ）
A ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【详解】解：由表格可得，
∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），
∴该函数图象的对称轴是直线x==1，
∴该函数图象的顶点坐标是（1，-2），有最小值，开口向上，
∴二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x−1) 2−2的形式，
故选项①正确，选项②错误；
∵该函数的图象经过（0，-1.5），其关于对称轴直线x=1的对称点为（2，-1.5），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1.5的两个根为0或2，故选项③正确；
∵该函数的图象经过（-1，0），（3，0），
∴若y>0，则x>3或x<-1，故选项④错误；
综上，正确的结论为①③，
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
第二部分 非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】x≥﹣1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x+1≥0，即可求得．
【详解】解：∵代数式有意义
∴x+1≥0，
∴x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
10. 分式方程的解为_____．
【答案】x=1
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得：3x=x+2，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
11. 如图，将沿BC方向平移一定的距离得到．请写出一条正确的结论，可以为______．

【答案】BC=EF（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据图形平移的性质，可以得到与对应的边，对应的角不变，从而写出符合题意的答案．
【详解】∵沿BC方向平移一定的距离得到，
∴BC=EF或BE=CF或AB=DE或AC=DF或AD=BE或AD=CF，
∴，，，
答案不唯一
【点睛】本题主要考查了平移的性质，理解通过平移的两个图形，对应边不变，对应角不变是解题关键．
12. 在平面直角坐标系xOy中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】把，代入反比例函数，求出m、n的值即可．
【详解】∵点，都在反比例函数的图象上
∴，解得
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数解析式，把坐标代入解析式是解题的关键．
13.
，，若，，请借助下图直观分析，通过计算求得的值为______．


【答案】
【解析】
【分析】设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为，根据最大正方形的面积计算即可．
【详解】设图形中小正方形边长为n，最中间的正方形边长为m，则大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为：
∵，
∴
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式与几何图形，利用数形结合思想表示图形的边长是解题的关键．
14. 如图，AB为⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD分别与⊙O相切于点C，D，若∠CPA=40°，则∠CAD的度数为______°．

【答案】50
【解析】
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到OC⊥CP，OD⊥DP，利用四边形内角和定理得到∠COD，根据圆周角定理即可求得到∠CAD．
【详解】解：连接OC、OD，如图，

∵PC，PD与⊙O相切，切点分别为C，D，
∴OC⊥CP，OD⊥DP，
∵OP=OP，OC=OD，
∴△POC≌△POD(HL)，
∴∠CPO=∠DPO，
∵∠CPA=40°，
∴∠CPD=80°，
∴∠COD=360°-80°-90°-90°=100°，
∵∠CAD=∠COD=50°，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
15. 某班级学生分组做抛掷瓶盖的试验，各组试验结果如下表：
累计抛掷次数
100
200
300
400
500
600
盖面朝上次数
54
105
158
212
264
319
盖面朝上的频率
0.5400
0.5250
0.5267
0.5300
0.5280
0.5317
根据表格中的信息，估计抛掷一枚这样的瓶盖，落地后盖面朝上的概率为______．（精确到0.01）
【答案】0.53．
【解析】
【分析】根据频率估计概率解答即可．
【详解】掷一枚瓶盖，观察发现，随着实验的次数增多，盖面朝上的频率逐渐稳定并趋向于0.53，所以概率为0.53．
故答案为：0.53．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题的关键在于用频率估计概率得到的是近似值，随着实验的次数增多，值越来越精确．
16. 如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从______原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a:b:c=3:2:1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序______（按运送的先后顺序依次排列即可）．

【答案】 ①. M ②. N-B-A-C
【解析】
【分析】根据题意列式，利用整式的加减运算，分类求解即可．
【详解】解：∵MA+AC ∴若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运；
∵N(3，1)，A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)，
∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2，
∵a:b:c=3:2:1，
∴a=3c，b=2c，
当按N-A-B-C运输时：2×6c+2×3c+2c=(8+12)c24.97c；
按N-B-A-C运输时：2×6c +2×4c+(2+2)c=24c；
按N-B-C-A运输时：2×6c +2×4c+(2+2) ×3c=32c；
∵24c<24.97c<32c，
∴按N-B-A-C运输时，总的“吨千米数”最小，
故答案为：M；N-B-A-C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，整式加减运算的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（共68分，第17﹣21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24﹣26题，每题6分，第27﹣28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】．
【解析】
【分析】先计算零指数，并化简二次根式和绝对值，把特殊角三角函数值代入，再计算加减法即可．
【详解】解：


=．
【点睛】本题考查实数混合运算，涉及知识有：零指数幂运算，二次根式化简，求无理数绝对值，特殊角的三角函数值，熟练掌握实数的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18. 解不等式组：并写出它的最大整数解．
【答案】﹣3
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【详解】
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
最大的整数解是﹣3．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】2
【解析】
【分析】根据平方差公式、合并同类项，化简代数式即可求解．
【详解】解：



原式
【点睛】本题考查了代数式、整式加减、合并同类项、平方差公式等知识点，熟练的正确运算是解决问题的关键．
20. 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB
求作：线段AB上的一点M，使得∠MCB=∠A．　
作法：①以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；　
②分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径作弧，两弧在AB的右侧相交于点E；　
③作直线CE，交AB于点M．∠MCB即为所求．　
根据小伟设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD，ED，EB．　
∵CD=CB，ED=EB，　
∴CE是DB的垂直平分线（______）（填推理的依据）．　
∴CM⊥AB．
∴∠MCB+∠B=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠MCB=∠A（______）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析 （2）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上; 等角的余角相等
【解析】
【分析】（1）根据作法作图可得点M；
（2）先根据线段垂直平分线的逆定理可得ME是AB的垂直平分线，又根据等角的余角相等可得结论．
【小问1详解】
解：点M如图所示．
【小问2详解】
证明：连接CD，ED，EB．

∵CD=CB，ED=EB，　
∴CE是DB的垂直平分线（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．　
∴CM⊥AB．
∴∠MCB+∠B=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠MCB=∠A（等角的余角相等）．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质及作图，解题的关键是学会基本作图：作一条线段的垂直平分线．
21. 已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）选择一个你喜欢的整数m的值代入原方程，并求出这个方程的解．
【答案】（1）证明过程见详解
（2），．（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）求出方程的判别式即可证明；
（2）m的值越简单越好，令m=0，即可求解．
【小问1详解】
证明：
方程的判别式，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
令m=0，则方程变为，
解得，．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了利用方程的判别式证明方程恒有两个不相等的实数解，解题的关键是正确求出方程的判别式为正数是解答本题的关键．
22. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．

（1）求证：四边形BFCD是菱形；
（2）若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面积．
【答案】（1）见解析 （2）菱形BFCD的面积为120．
【解析】
【分析】（1）先证四边形BFCD是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=AB=BD，即可得出结论；
（2）由题意推出DE是△ABC的中位线，从而得到∠BDE=∠A，再由余弦的定义，及勾股定理可求出菱形的两条对角线的长度，从而得到菱形的面积.
【小问1详解】
证明：∵点E为BC的中点，
∴CE=BE，
又∵EF=DE，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵D是边AB的中点，∠ACB=90°，
∴CD=AB=BD，
∴平行四边形BFCD是菱形；
【小问2详解】
解：∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，
∵cosA=，
∴cos∠BDE==，
∵DE=5，
∴BD=13，
∴BE=12，
∴DF=2DE=10，BC=2BE=24，
∴菱形BFCD面积=×10×24=120．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形BFCD为菱形是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点．
（1）当时，求n，b的值；
（2）过动点且垂直于x轴的直线与，的交点分别是C，D．当时，点C位于点D上方，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）n=4；b=3；
（2）b＞
【解析】
【分析】（1）将点A（2，n）代入y=2x，求出n的值，得到A点坐标，再将点A坐标代入直线l1的表达式求得b的值；
（2）把x=t分别代入直线l1与直线l2的解析式，求出C，D两点的纵坐标，根据点C位于点D上方，列出关于t的不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：当m=2时，，
∵直线过点，
∴n=2×2=4，
∴，
∵直线过点，
∴，
解得：b=3，
【小问2详解】
∵过动点P（t，0）且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，
∴C（t，），D（t，2t），
∵点C位于点D上方，
∴＞2t，
解得b＞，
∵，
∴b＞．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．
24. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE//AB交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AB=10，BC=6，求AD，BE的长．
【答案】（1）见解析 （2）AD=5，BE=．
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD=∠AOB=90°，根据平行线的性质得到∠ODE=90°，于是得到结论；
（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB=10，解直角三角形得到AC=8，求得∠CAD=∠DBE，根据平行线的性质得到∠BDE=∠OBD=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接OD，

∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，
∴∠AOD=∠AOB=90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴直线DE是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：连接CD，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∵=，
∴DB=AD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∵AB=10，
∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10×=5，
∵AB=10，BC=6，
∴AC==8，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠CBD=180°，
∵∠DBE+∠CBD=180°，
∴∠CAD=∠DBE，
由（1）知∠AOD=90°，∠OBD=45°，
∴∠ACD=45°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE=∠OBD=45°，
∴∠ACD=∠BDE，
∴△ACD∽△BDE，
∴，
∴，
解得：BE=．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．
25. 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某中学为普及共青团知识，举行了一次知识竞赛（百分制）．为了解七、八年级学生的答题情况，从中各随机抽取了20名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出部分信息．
a．七年级学生竞赛成绩的频数分布表及八年级学生竞赛成绩的扇形统计图：
分组/分数
频数
频率
50≤x＜60
1
0.05
60≤x＜70
2
0.10
70≤x＜80
5
0.25
80≤x＜90
7
m
90≤x＜100
5
0.25
合计
20
1


b．七年级学生竞赛成绩数据在这一组的是：
80 80 82 85 85 85 89
c．七、八两年级竞赛成绩数据的平均数、中位数、众数以及方差如下：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
82.0

85
109.9
八年级
82.4
84
85
72.1
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值：______，______；八年级学生竞赛成绩扇形统计图中，表示这组数据的扇形圆心角的度数是______°；
（2）在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是______（填“七”或“八”）年级，理由为______；
（3）竞赛成绩90分及以上记为优秀，该校七、八年级各有200名学生，估计这两个年级成绩优秀的学生共约______人．
【答案】（1）0.35；81；90°；
（2）八；从平均数、中位数、众数来看，八年级成绩都高于七年级，从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级学生的成绩比八年级稳定；
（3）110
【解析】
【分析】（1）由得出m的值，再根据中位数的定义求出七年级竞赛成绩数据的中位数，最后再求出表示这组数据的扇形圆心角的度数；
（2）从平均数、中位数、众数、方差四个方面进行比较；
（3）各用200去乘七、八年级90以上学生所占的比例即可．
【小问1详解】
∵七年级所抽取的20名学生竞赛成绩数据在80≤x＜90这一组的频数是7，频率是m，
∴，解得：m=0.35，
∵七年级学生竞赛成绩数据的中位数是第10位及第11位同学的平均数，即在这一组的第2个与第3个数的平均成绩，
∴，
∵从扇形统计图看，七年级所抽取的20名学生竞赛成绩数据在这一组占比为25%，
∴七年级表示这组数据的扇形圆心角的度数是，
故答案为：0.35；81；90°；
【小问2详解】
在此次竞赛中，竞赛成绩更好的是八年级，
理由是：从平均数、中位数、众数来看，八年级成绩都高于七年级，从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级学生的成绩比八年级稳定，故竞赛成绩更好的是八年级；
故答案为：八；从平均数、中位数、众数来看，八年级成绩都高于七年级，从方差来看，八年级的方差小于七年级的方差，说明八年级学生的成绩比八年级稳定；
【小问3详解】
估计这两个年级成绩优秀的学生共约：（人），
故答案为：110．
【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及频数分布表、扇形统计图，理解中位数、众数、平均数的定义是解决问题的前提．
26. 在平面直角坐标xOy中，点在抛物线上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）抛物线上两点，，且，．
①当时，比较，的大小关系，并说明理由；
②若对于，，都有，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）
（2）①，理由见详解；②或
【解析】
【分析】（1）对于抛物线，令，可得，可知点（0，2）在抛物线上，根据点也在抛物线上，由抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为；
（2）根据题意，大致画出抛物线图象．①当时，根据题意可计算、的取值范围，再结合抛物线图象判断，的大小即可；②分情况讨论，当、、三种情况下，区域和区域的位置及移动方向，确定满足条件的t的取值范围．
【小问1详解】
解：对于抛物线，令，可得，
即该抛物线与y轴的交点为点（0，2），
又∵点也在抛物线上，
∴根据抛物线的对称性，可知该抛物线的对称轴为；
【小问2详解】
根据题意，大致画出抛物线图象，如下图，
①当时，根据题意可知，，，，
即有，，
由图象可知，；

②若对于，，都有，可分情况讨论，如下图：


当时，，，由图象对称性可知，成立；
当时，区域向左移动，区域向右移动且都移动t个单位，由图象对称性可知，成立；
当时，区域、区域相向移动，
两区域相遇时，有，解得，在时，成立；
相遇后，再继续运动，两区域分离时，有，解得；
分离后，即时，随着t的增大，由图象对称性可知，成立；
综上所述，满足条件的t的取值范围为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质及二次函数的综合应用，解题关键是根据题意画出图形，用数形结合和分情况讨论的数学思想分析问题．
27. 如图，△ACB中，，，D为边BC上一点（不与点C重合），，点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．

（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目步骤作图即可；
（2）过E作EM⊥BC于M，先由中线倍长证明，得到，再证明，得到；
（3）由（2）中全等可得到，即可推理出．
【小问1详解】
依题意补全图形如下：
【小问2详解】
过E作EM⊥BC于M

在和中

∴(AAS)
∴
∵
∴
∵BE⊥BF
∴
在和中

∴ (ASA)，
∴
【小问3详解】
，证明如下：
由（2）得，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等．
28. 在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．

（1）已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；
（2）如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．
【答案】（1）4 （2）
（3）0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°
【解析】
【分析】（1）根据“关联三角形”的定义求得A1(1，-2)，A2(-1，2)，利用三角形的面积公式求解即可；
（2）找到四边形OADC是⊙T的外接四边形，且D(2，2)，画出图形，利用“关联三角形”的定义、数形结合即可求解；
（3）分两种情况，当PP2与⊙O相切时，PP1与⊙O相切时，利用“关联三角形”的定义、数形结合即可求解．
【小问1详解】
解：∵点A(1，2)关于x轴对称点为A1(1，-2)，点A关于y轴的对称点为A2(-1，2)，
∴S△A A1 A2的面积=×2×4=4；
小问2详解】
解：∵⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．
∴四边形OADC是⊙T的外接四边形，
∴D(2，2)，

∵点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，且点B(m，n)，
∴；
【小问3详解】
解：当PP2与⊙O相切于点E时，如图：

∵OE=r，OP=2r，
∴∠OPE=30°，
∴∠OPP1=∠OP1P=60°，
∴当60°<∠OP1P<90°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点；
当PP1与⊙O相切于点F时，如图：

∵OF=r，OP=2r，
∴∠OPE=∠OP1P=30°，
∴当0°<∠OP1P<30°时，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点；
综上，点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，∠PP1P2的取值范围为：0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，切线的性质，数形结合是解题的关键．