2023北京石景山初三（上）期末数学

2023北京石景山初三（上）期末

数    学

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第一部分   选择题

一、选择题（共16分，每题2分）  

 第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．如果，那么的值是

2．如图，在中，．若，，则的长为

3．如图，点，，在⊙上．若，则的度数为

4．如图，在菱形中，点在上，与对角线交于点．若，，则为

5．将抛物线向上平移个单位长度，平移后的抛物线的表达式为

6．若圆的半径为，则的圆心角所对的弧长为

7．若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是

8．如图，线段，点在线段上（不与点，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别为

第二部分   非选择题

二、填空题（共16分，每题2分）

9．如图，在中，，分别为，的中点．若的面积是，则的面积是         .

10．如图，在中，，点在边上，点在边上且．只需添加一个条件即可证明∽，这个条件可以是         （写出一个即可）．

11．如图，，分别与⊙相切于，两点．若，，则的长为         .

12．抛物线的对称轴为直线         ．

13．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则       （填“>”，“=”或“<”）.

14．如图，线段，分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高为         ．

15．如图，点，，在⊙上，.若点为⊙上一点（不与点，重合），则的度数为         .

16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，对称轴是直线，下面四个结论中，

①

②当时，随的增大而增大

③点的坐标为

④若点，在函数的图象上，则

    所有正确结论的序号是         .

三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算：．

18．如图，是直线上一点，，过点作于点，过点作于点．

（1）求证：∽；

（2）若，，求的长．

19．已知：如图1，为⊙上一点．

    求作：直线，使得与⊙相切．

    作法：如图2，

①     连接；

②     以点为圆心，长为半径作弧，与⊙的一个交点为，作射线；

③     以点为圆心，长为半径作圆，交射线于点（不与点重合）；

④     作直线．

          直线就是所求作的直线．

   （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

   （2）完成下面的证明．

        证明：连接．

由作法可知，

∴点在以为直径的⊙上.

              ∴       （                       ）（填推理的依据）.

              ∴.

              又∵是⊙的半径，

              ∴是⊙的切线（                       ）（填推理的依据）.

20．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”

用现代的语言表述如下，请解答：

如图，是⊙的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．

21．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），顶点为.

   （1）直接写出点，点的坐标；

（2）画出这个二次函数的图象；

  （3）若点，在此二次函数的图象上（点与点不重合），则的值为          .

22．如图，在中，，，，求的长.

23．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与轴交于点.

  （1）求反比例函数的表达式并直接写出点的坐标；

（2）当时，对于的每一个值，都有，直接写出的取值范围.

24．为了在校运动会的推铅球项目中取得更好的成绩，小石积极训练.铅球被推出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，从铅球出手（点处）到落地的过程中，铅球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系.

小石进行了两次训练.

（1）第一次训练时，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：

        根据上述数据，求出满足的函数关系，并直接写出小石此次训练的成绩（铅球落地点的水平距离）；

（2）第二次训练时，小石推出的铅球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系.记小石第一次训练的成绩为，第二次训练的成绩为，则        （填“>”，“=”或“<”）.

25．如图，是⊙的直径，，是⊙上的点且，过点作交的延长线于点.

（1）求证：是⊙的切线；

（2）连接.若，，

求的长.

26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线与轴有两个交点，，其中.

（1）当，时，求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点在抛物线上.若，求的取值范围.

27．如图，四边形是正方形，以点为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，.

（1）求的度数；

（2）过点作于点，连接，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明.

28．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”.

（1）如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则             .在点，，，中，矩形的“关联点”是             ；

（2）如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为.若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围；

（3）已知点，.图形是以为圆心，为半径的⊙.若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，直接写出的取值范围.