2022北京大兴初三（上）期末数学（教师版）

2022北京大兴初三（上）期末

数    学

考生须知：

1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．

2.在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号．

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．

4.在答题卡上，选择题，作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．

一、选择题（共16分，每题2分）

1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A. 圆 B. 平行四边形 C. 直角三角形 D. 等边三角形

2. 抛物线的顶点坐标是（    ）

A. （1，2） B. （1，） C. （，2） D. （，）

3. 以下事件为随机事件的是（    ）

A. 通常加热到100℃时，水沸腾

B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C. 任意画一个三角形，其内角和是360°

D. 半径为2的圆的周长是

4. 如图，中，，，点O是的内心．则等于（    ）

A. 124° B. 118° C. 112° D. 62°

5. 下列所给方程中，没有实数根的是（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 将二次函数用配方法化为的形式，结果为（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 如图，与的两边分别相切，其中OA边与相切于点P．若，，则OC的长为（    ）

A. 8 B.  C.  D.

8. 小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题（共16分，每题2分）

9. 一元二次方程的根是_______．

10. 如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB的度数为_____．

11. 已知抛物线经过点、，则与的大小关系是_______．

12. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是_____．

13. 圆形角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是______．

14. 请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=_____．

15. 若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是，则此扇形的圆心角等于______．

16. 已知点A的坐标为，O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点О顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标为______．

三、解答题（共68分，第17—21题，每题5分，第22题和23题，每题6分，第24题5分，第25题和26题，每题6分，第27题和28题，每题7分）

17. 计算：．

18. 在平面直角坐标系中，二次函数图象经过点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求二次函数图象的对称轴．

19. 同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，下表列举出了所有可能出现的结果．

（1）由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性______（填“相等”或者“不相等”）；

（2）计算下列事件的概率：

①两枚骰子的点数相同；

②至少有一枚骰子的点数为3.

20. 下面是“作一个角平分线”的尺规作图过程．

已知：如图，钝角．

求作：射线OC，使．

作法：如图，

①在射线OA上任取一点D；

②以点О圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；

③分别以点D，E圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧相交于点C；

④作射线OC．

则OC为所求作的射线．

完成下面的证明．

证明：连接CD，CE

由作图步骤②可知______．

由作图步骤③可知______．

∵，

∴．

∴（________）（填推理的依据）．

21. 如图，AB是的直径，CD是的一条弦，且于点E．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

22. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）若a为正整数，求方程根．

23. 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

24. 在平面直角坐标系中 ，抛物线与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，一次函数的图象经过点A，B．

（1）求一次函数的表达式；

（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出n的取值范围．

25. 已知：如图，在中，，D是BC的中点．以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．

（1）求证：AD是的切线；

（2）若PC是的切线，，求PC的长．

26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点（0，），（3，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）将二次函数的图象向上平移个单位后得到的图象记为G，当时，图象G与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

27. 如图，在等腰中，，点D在线段BC的延长线上，连接AD ，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，射线BA与CE相交于点F．

（1）依题意补全图形；

（2）用等式表示线段BD 与CE的数量关系，并证明；

（3）若F为CE中点，，则CE的长为______．

28. 在平面直角坐标系中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于，两点，对于点Р和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点Р为的“图象关联点”．

（1）已知，，，，在点E，F，G，H中，的”图象关联点”是______；

（2）已知的“图象关联点”P在第一象限，若，判断OP与的位置关系，并证明；

（3）已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形ABCD内时，直接写出抛物线中a的取值范围．

参考答案

一、选择题（共16分，每题2分）

1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A. 圆 B. 平行四边形 C. 直角三角形 D. 等边三角形

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】解：A．圆既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；

B．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．直角三角形既不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形，不符合题意；
D．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．

【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

2. 抛物线的顶点坐标是（    ）

A. （1，2） B. （1，） C. （，2） D. （，）

【答案】C

【解析】

【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标即可．

【详解】解：抛物线的顶点坐标是（，2），

故选：C．

【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是明确二次函数顶点式的顶点坐标为．

3. 以下事件为随机事件的是（    ）

A. 通常加热到100℃时，水沸腾

B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中

C. 任意画一个三角形，其内角和是360°

D. 半径为2的圆的周长是

【答案】B

【解析】

【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．

【详解】解：A．通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件；

B．篮球队员罚球线上投篮一次，未投中是随机事件；

C．任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件；

D．半径为2的圆的周长是是必然事件；

故选：B．

【点睛】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

4. 如图，中，，，点O是的内心．则等于（    ）

A. 124° B. 118° C. 112° D. 62°

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC=∠ABC=25°，∠OCB=∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．

【详解】解：∵点O是△ABC内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=×74°=37°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．
故选B．

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

5. 下列所给方程中，没有实数根的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

分析】逐一求出四个选项中方程的根的判别式Δ的值，取其小于零的选项即可得出结论．

【详解】解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根；

 B、∵Δ＝（﹣4）2﹣4×5×(-2)＝56＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根；

C、∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根；

D、∵Δ＝（﹣3）2﹣4×4×2＝-23＜0，

∴一元二次方程没有实数根．

故选：D．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根”是解题的关键．

6. 将二次函数用配方法化为的形式，结果为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用配方法，把一般式转化为顶点式即可

【详解】解：，

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的一般式，顶点式，正确利用配方法是解答本题的关键，配方法方法是，先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式．

7. 如图，与的两边分别相切，其中OA边与相切于点P．若，，则OC的长为（    ）

A. 8 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．

【详解】解：如图所示，连接CP，

∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，

∴∠CPO=90°，∠COP=45°，

∴∠PCO=∠COP=45°，

∴CP=OP=4，

∴，

故选C．

【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．

8. 小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设小明的年龄为x岁，则可用x表示出小亮的年龄和小刚的年龄．再根据小亮与小刚的年龄的乘积是130，即可列出方程．

【详解】设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为岁，小刚的年龄为岁，

根据题意即可列方程：．

故选：B．

【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，正确找出题干中的数量关系列出等式是解答本题的关键．

二、填空题（共16分，每题2分）

9. 一元二次方程的根是_______．

【答案】

【解析】

【详解】四种解一元二次方程的解法即：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．注意识别使用简单的方法进行求解，此题应用因式分解法较为简捷，因此，

．

10. 如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB的度数为_____．

【答案】35°##35度

【解析】

【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．

【详解】解：∵A、B、C是⊙O上的点，∠AOB=70°，

∴∠ACB=∠AOB=35°．

故答案为35°．

【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

11. 已知抛物线经过点、，则与的大小关系是_______．

【答案】y1＜y2##y2>y1

【解析】

【详解】解：∵点A(2，y1)点B（3,y2）经过抛物线y=x2-x-3，

 ∴y1=22-2-3=1， y2=32-3-3=3，

∴y1＜y2．

故答案为：y1＜y2．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，已知两点的坐标，和函数的解析式，将点的坐标代人就可求出y的值，根据大小比较．此题属于基础题．

12. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是_____．

【答案】30°．

【解析】

【分析】根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．

【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，

∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，

∴∠AOB′＝∠A′OA﹣∠A′OB′＝45°﹣15°＝30°，

故答案是：30°．

【点睛】此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．

13. 圆形角是270°的扇形的半径为4cm，则这个扇形的面积是______．

【答案】12π

【解析】

【分析】根据扇形的面积公式计算即可．

【详解】∵

=12π，

故答案为：12π．

【点睛】本题考查了扇形的面积，熟记扇形面积公式是解题的关键．

14. 请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=_____．

【答案】（x﹣1）2．

【解析】

【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足a＞0，c=0即可．

【详解】符合的表达式是y=（x﹣1）2．

故答案为：（x﹣1）2．

【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．

15. 若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是，则此扇形的圆心角等于______．

【答案】60°##60度

【解析】

【分析】根据变形为n=计算即可．

【详解】∵扇形的半径是18cm，且它的弧长是，且

∴n===60°，

故答案为：60°．

【点睛】本题考查了弧长公式，灵活进行弧长公式的变形计算是解题的关键．

16. 已知点A的坐标为，O为坐标原点，连结OA，将线段OA绕点О顺时针旋转90°得到线段，则点的坐标为______．

【答案】（b，－a）

【解析】

【分析】设A在第一象限，画出图分析，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°得OA1，如图所示．根据旋转的性质，A1B1＝AB，OB1＝OB．综合A1所在象限确定其坐标，其它象限解法完全相同．

【详解】解：设A在第一象限，将线段OA绕点O按顺时针方向旋转90°得OA1，如图所示．

∵A（a，b），

∴OB＝a，AB＝b，

∴A1B1＝AB＝b，OB1＝OB＝a，

因为A1在第四象限，所以A1（b，﹣a），

A在其它象限结论也成立．

故答案为：（b，﹣a），

【点睛】本题考查了图形旋转，设点A在某一象限是解题的关键．

三、解答题（共68分，第17—21题，每题5分，第22题和23题，每题6分，第24题5分，第25题和26题，每题6分，第27题和28题，每题7分）

17. 计算：．

【答案】

【解析】

【分析】根据，合并计算即可．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了立方根即一个数的立方等于a，称这个数是a的立方根，零指数幂，绝对值，二次根式的乘法，熟练掌握零指数幂，二次根式的乘法法则是解题的关键．

18. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求二次函数图象的对称轴．

【答案】（1）；（2）直线

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；

（2）利用对称轴公式求解即可．

【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，

 ∴－2＝1－2m＋5m，

 解得；   

∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．

（2）二次函数图象的对称轴为直线；

故二次函数的对称轴为：直线；

【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．

19. 同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，下表列举出了所有可能出现的结果．

（1）由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性______（填“相等”或者“不相等”）；

（2）计算下列事件的概率：

①两枚骰子的点数相同；

②至少有一枚骰子的点数为3.

【答案】（1）相等；（2）①；②

【解析】

【分析】（1）根据两枚骰子质地均匀，可知同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等；

（2）①先根据表格得到两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，然后利用概率公式求解即可；

②先根据表格得到至少有一枚骰子的点数为3(记为事件B)的结果有11种，然后利用概率公式求解即可．

【详解】解：（1）∵两枚骰子质地均匀，

∴同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，并且它们出现的可能性相等；

故答案为：相等；

（2）①由表格可知两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种，即(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，

∴

②由表格可知至少有一枚骰子点数为3(记为事件B)的结果有11种，

∴．

【点睛】本题主要考查了列表法求解概率，熟知列表法求解概率是解题的关键．

20. 下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．

已知：如图，钝角．

求作：射线OC，使．

作法：如图，

①在射线OA上任取一点D；

②以点О为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；

③分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧相交于点C；

④作射线OC．

则OC为所求作的射线．

完成下面的证明．

证明：连接CD，CE

由作图步骤②可知______．

由作图步骤③可知______．

∵，

∴．

∴（________）（填推理的依据）．

【答案】OE； CE；全等三角形的对应角相等

【解析】

【分析】根据圆的半径相等可得OD=OE，CD=CE，再利用SSS可证明，从而根据全等三角形的性质可得结论．

【详解】证明：连接CD，CE

由作图步骤②可知___OE___．

由作图步骤③可知__CE___．

∵，

∴．

∴（__全等三角形对应角相等__）

故答案为：OE； CE；全等三角形的对应角相等

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．

21. 如图，AB是的直径，CD是的一条弦，且于点E．

（1）求证：；

（2）若，，求的半径．

【答案】（1）见解析；（2）3

【解析】

【分析】（1）根据∠D=∠B，∠BCO=∠B，代换证明；

（2）根据垂径定理，得CE=，，利用勾股定理计算即可．

【详解】（1）证明：

∵OC＝OB，

∴∠BCO＝∠B；

∵，

∴∠B＝∠D；

∴∠BCO＝∠D；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，

∴CE＝CD，

∵CD＝，

∴CE＝，

在Rt△OCE中，，

∵OE＝1，

∴，

∴；

∴⊙O的半径为3．

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，结合图形，熟练运用三个定理是解题的关键．

22. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）若a为正整数，求方程的根．

【答案】（1）a＜；（2）

【解析】

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；
（2）由（1）的结论结合a为正整数，即可得出a=1，将其代入原方程，再利用公式法解一元二次方程，即可求出原方程的解．

【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴＞0，

解得a＜，

∴的取值范围为a＜．

（2）∵a＜，且a为正整数，

∴，代入，

此时，方程为．

∴解得方程的根为

【点睛】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．

23. 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）y=﹣2x2+120x﹣1600；（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．

【解析】

【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；

（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．

【详解】（1）y=w（x﹣20）

=（﹣2x+80）（x﹣20）

=﹣2x2+120x﹣1600；

（2）y=﹣2（x﹣30）2+200．

∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=200．

答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为200元．

【点睛】本题考查的是二次函数的应用．（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．

24. 在平面直角坐标系中 ，抛物线与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B，一次函数的图象经过点A，B．

（1）求一次函数的表达式；

（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出n的取值范围．

【答案】（1）；（2）≤n≤

【解析】

【分析】（1）分别求出点A，B的坐标，代入一次函数的解析式，求出k，b的值即可；

（2）分别画出函数图象，根据图象判断n的取值即可．

【详解】解：（1）∵抛物线与y轴交于点A，

令x=0，则y=-1

∴A（0，－1）.

∵抛物线的对称轴为：

∴B（2，0）.

∵+b过A（0，－1），B（2，0），

∴

∴

∴一次函数的表达式为.

（2）如图，

根据题意知，直线与直线的交点坐标为（-3，）

此时，

当时，

∴

从图象可以看出，当时，且≤n≤，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值

【点睛】本题考查了函数图象的平移，一次函数的图象，二次函数的性质，熟练掌握函数的图象与性质是解题的关键．

25. 已知：如图，在中，，D是BC的中点．以BD为直径作，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．

（1）求证：AD是的切线；

（2）若PC是的切线，，求PC的长．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）要证明AD是圆O的切线，只要证明∠BDA=90°即可；

（2）连接OP，根据等腰三角形的性质求得DC的长，再求出OC的长，根据切线的性质求得，最后利用勾股定理求出PC的长．

【详解】（1）证明：∵AB ＝ AC，

D是BC的中点，

∴AD⊥BD．

又∵BD是⊙O直径，

∴AD是⊙O的切线．

（2）解：连接OP.

∵点D是边BC的中点，BC ＝ 8，AB=AC，

∴BD ＝ DC＝4，

OD＝OP ＝ 2．

∴OC ＝ 6.

∵PC是⊙O的切线，O为圆心，

∴．

 在Rt△OPC中，

由勾股定理，得

OC2 ＝ OP2 + PC2

∴PC2 ＝ OC2－OP2

＝ 62－22

∴．

【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆的切线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握这些性质是解决本题的关键．

26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点（0，），（3，0）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）将二次函数的图象向上平移个单位后得到的图象记为G，当时，图象G与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．

【答案】（1）；（2））≤n＜3或n＝4

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）根据二次函数的平移规律可写出平移后的二次函数解析式，再结合图象即可得出结论，注意避免漏答案．

【详解】解：（1）∵该二次函数的图象经过点(0，-3),( 3，0)，

∴ ，

解得：

∴二次函数的表达式为．

（2）将该二次函数向上平移n(n>0)个单位后得到的二次函数解析式为G：，

当抛物线G经过点时，即，

解得：，

∴抛物线G解析式为，如图即为其图象，此时当0≤x≤时，图象G与x轴只有一个公共点；

当抛物线G经过点时，即，

解得：，

∴抛物线G解析式为，如图即为其图象，此时当0≤x≤时，图象G与x轴刚刚有两个公共点．

∴当时，图象G与x轴只有一个公共点．

当抛物线G经过点时，即，

解得：，

∴抛物线G解析式为，如图即为其图象，此时当0≤x≤时，图象G与x轴有一个公共点．

综上可知，当≤n＜3或n ＝ 4时满足条件．

【点睛】本题考查利用待定系数法为求二次函数解析式，二次函数的平移．掌握二次函数的平移规律以及利用数形结合的思想是解答本题的关键．

27. 如图，在等腰中，，点D在线段BC的延长线上，连接AD ，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE，射线BA与CE相交于点F．

（1）依题意补全图形；

（2）用等式表示线段BD 与CE的数量关系，并证明；

（3）若F为CE中点，，则CE的长为______．

【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）4

【解析】

【分析】（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据题意易得，，，即可推出．即可利用“SAS”证明，得出结论．

（3）由结合题意可推出，，即证明△ACF是等腰直角三角形，从而得出，再由勾股定理可求出CF的长，最后根据点F为CE中点，即可求出CE的长．

【详解】解：（1）依题意补全图形如下：

（2）用等式表示线段BD与CE的数量关系是：，

证明: 根据题意可知△ABC是等腰直角三角形，

∴．

∵AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴，，

∵，

∴．   

∴，即，

∴在和中，，

∴，

∴．

（3）∵，△ABC是等腰直角三角形，

∴，，

∴△ACF是等腰直角三角形，

∴，

∴在中，．

∵点F为CE中点，

∴．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

28. 在平面直角坐标系中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于，两点，对于点Р和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点Р为的“图象关联点”．

（1）已知，，，，在点E，F，G，H中，的”图象关联点”是______；

（2）已知的“图象关联点”P在第一象限，若，判断OP与的位置关系，并证明；

（3）已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形ABCD内时，直接写出抛物线中a的取值范围．

【答案】（1）F，H；（2）相切，见解析；（3）－＜a＜－

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可；

（2）连接PM，过点M作MN⊥OP于N，证明即可；

（3）求出点Р纵坐标为1.5或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可．

【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点且顶点为P，

则顶点P的横坐标为，

∵在点E，F，G，H中，，横坐标为，

∴在点E，F，G，H中，的”图象关联点”是F，H；

故答案为：F，H；

（2）OP与⊙M的位置关系是：相切. 

∵AB为⊙M的直径，

∴为的中点.

∵A（1，0），  B（4，0），

.

∴.

连接PM.

∵P为⊙M的“图象关联点”，

∴点P为抛物线的顶点.

∴ 点P在抛物线的对称轴上.

∴PM是AB的垂直平分线.

∴PM⊥AB.

过点M作MN⊥OP于N.

∵OP＝PM

∴

∴OP与⊙M相切

（3）由（1）可知，顶点P的横坐标为，由（2）可知⊙M的半径为1.5，

已知，，当的“图象关联点”Р在外且在四边形ABCD内时，

顶点P的纵坐标范围是大于1.5且小于2，

当抛物线顶点坐标为（2.5，2）时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，；

当抛物线顶点坐标为（2.5，1.5）时，设抛物线解析式为，把代入得，，解得，；

∴a的取值范围－＜a＜－．

【点睛】本题考查了二次函数的综合和切线的证明，解题关键是熟练运用二次函数的性质和切线判定定理进行求解与证明．