2022-2023学年上海市市北中学高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市市北中学高一（下）开学数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设a、b都是实数，则“a>1且b>2”是“a+b>3且ab>2”的条件( )
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要
2.用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab不能被7整除，则a与b都不能被7整除”时，假设的内容应为( )
A. a，b都能被7整除B. a，b不都能被7整除
C. a，b至少有一个能被7整除D. a，b至多有一个能被7整除
3.设关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0与dx2+ex+f≤0的解集分别为(−∞,2]∪[3,+∞)与⌀，则不等式(ax2+bx+c)(dx2+ex+f)≥0的解集为( )
A. (2,3)B. [2,3]C. RD. 0
4.函数f(x)=|x3+1|+|x3−1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是( )
A. (a,−f(a))B. (a,f(−a))C. (−a,−f(a))D. (−a,−f(−a))
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知集合A={−1,0,1}，B={x|x2−2x=0}，则A∪B=______．
6.不等式2023x≤1的解集为______．
7.若角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P(35,45)，则sinα的值为______．
8.已知a、b是方程3x2−4x+1=0的两个根，则1a+1b=______．
9.已知010.已知半径为r的扇形OAB的面积为1，周长为4，则r= ．
11.设α：m+1≤x≤2m+4(m∈R)，β：1≤x≤3.若β是α的充分条件，则实数m的取值范围为______．
12.已知2a=3b=6，则1a+1b=______．
13.若存在实数x满足|x+1|+|x−2|≤−a2+a+5，则实数a的最小值为______．
14.如图所示，在锐角三角形空地中欲建一个面积不小于300m2的矩形花园(阴影部分)，则其边长x的取值范围为______．
15.若函数f(x)是定义在(0,+∞)上的严格增函数，且对一切x，y>0满足f(xy)=f(x)−f(y)，则不等式f(x+3)−f(1x)<2f(2)的解集为______．
16.若函数f(x)=x|x|−2x,x三、解答题：本题共4小题，共42分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)已知tanx=2，求sin2x−3sinxcsx的值；
(2)已知sinα+csα=23，α∈(−π2,π2)，求sinα−csα的值．
18.(本小题10分)
设函数y=f(x)，且f(x)=|x−2|,x≥1|xx−1|,x<1．
(1)作出函数y=f(x)的大致图像，并指出它的单调区间；
(2)当实数a变化时，讨论关于x的方程f(x)=a的解的个数．
19.(本小题10分)
若函数y=f(x)满足f(x)f(−x)=1，则称函数y=f(x)为“倒函数”．
(1)判断函数f(x)=1+x1−x和g(x)=3x+1是否为“倒函数”(不必说明理由)；
(2)若h(x)= x2+m+nx(n>0)为“倒函数”，求实数m，n的值；
(3)若φ(x)=[p(x)]q(x)(p(x)但为正数)，其中p(x)是偶函数，g(x)是奇函数，求证：φ(x)是“倒函数”．
20.(本小题14分)
给出以下定义：设m为给定的实常数，若函数y=f(x)在其定义域内存在实数x0，使得f(x0+m)=f(x0)+f(m)成立，则称函数f(x)为“G(m)函数”．
(1)判断函数f(x)=3x是否为“G(2)函数”；
(2)若函数f(x)=lgax2+1为“G(1)函数”，求实数a的取值范围；
(3)已知f(x)=x+b(b∈R)为“G(0)函数”，设g(x)=x|x−4|.若对任意的x1，x2∈[0,t]，当x1≠x2时，都有g(x1)−g(x2)f(x1)−f(x2)>2成立，求实数t的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据同向不等式的性质，前者能推出后者，
反之，不成立，比如a=0.5，b=10，a+b>3，ab>2，推不出前者，
故前者是后者的充分非必要条件，
故选：A．
根据同向不等式的性质，前者能推出后者，举反例得到，后者推不出前者，得出结论．
本题考查四个条件的判断，并考查不等式的性质，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立．
而命题“a与b都不能被7整除”的否定为“a，b至少有一个能被7整除”，
故选：C．
根据用反证法证明数学命题的方法，命题“a与b都不能被7整除”的否定为“a，b至少有一个能被7整除”，从而得出结论．
本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0与dx2+ex+f≤0的解集分别为(−∞,2]∪[3,+∞)与⌀，
所以x=2，x=3是ax2+bx+c=0的解且a<0，dx2+ex+f≥0恒成立，
由(ax2+bx+c)(dx2+ex+f)≥0得，2≤x≤3．
故选：B．
由题意得x=2，x=3是ax2+bx+c=0的解且a<0，dx2+ex+f≥0恒成立，从而可求．
本题主要考查了二次不等式的解集的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：∵f(−x)=|−x3+1|+|−x3−1|=|x3−1|+|x3+1|=f(x)为偶函数
∴(a,f(a))一定在图象上，而f(a)=f(−a)，
∴(a,f(−a))一定在图象上．
故选：B．
利用奇偶函数的定义可判断f(−x)=f(x)，从而可以判断选项中的点是否在函数f(x)图象上．
本题考查函数的图象，关键在于判断函数的奇偶性，考查学生的分析与转化能力，属于中档题．
5.【答案】{−1,0,1,2}
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
求出集合B，利用并集定义能求出A∪B．
【解答】
解：∵集合A={−1,0,1}，B={x|x2−2x=0}={0,2}，
∴A∪B={−1,0,1,2}．
故答案为：{−1,0,1,2}．
6.【答案】(−∞,0]
【解析】解：由不等式2023x≤1可得，2023x≤20230，
∴x≤0，
即不等式2023x≤1的解集为(−∞,0]．
故答案为：(−∞,0]．
利用指数函数的单调性求解．
本题主要考查了指数不等式的解法，属于基础题．
7.【答案】45
【解析】解：因为角α的终边与以原点为圆心的单位圆交于点P(35,45)，
由三角函数定义可知：sinα=45．
故答案为：45．
由题意利用任意角的三角函数的定义即可得出结论．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
8.【答案】4
【解析】解：a、b是方程3x2−4x+1=0的两个根，
a+b=43，ab=13，
所以1a+1b=a+bab=4313=4，
故答案为：4．
通过韦达定理，转化求解表达式的值即可．
本题考查函数零点与方程根的关系，韦达定理的应用，是基础题．
9.【答案】4
【解析】解：因为00，
所以x(4−x)≤(x+4−x2)2=4，
当且仅当x=4−x，即x=2时取等号，
此时取得最大值为4，
故答案为：4．
利用基本不等式即可求解．
本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
10.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积和周长的计算问题，是基础题．
设扇形的圆心角为α，半径为r，由扇形的面积和周长列两个方程求出r和α的值．
【解答】
解：设扇形的圆心角为α，半径为r，
所以该扇形的面积为S=12αr2=1，…①
周长为2r+αr=4；…②
由①②解得r=1，α=2．
故答案为：1．
11.【答案】[−12,0]
【解析】解：∵α：m+1≤x≤2m+4(m∈R)，β：1≤x≤3，
若β是α的充分条件，
令A={x|1≤x≤3}，B={x|m+1≤x≤2m+4,m∈R,}
∴集合A⊆B，
得m+1≤12m+4≥3，即−12≤m≤0，
∴实数m的取值范围为[−12,0]
故答案为：[−12,0]．
根据充分条件的定义可得关于m的不等式组，解出即可．
本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于简单题目，难度不大．
12.【答案】1
【解析】解：∵2a=3b=6，∴a=lg26，b=lg36，
∴1a+1b=1lg26+1lg36=lg62+lg63=lg66=1，
故答案为：1．
先把指数式化为对数式求出a，b的值，再利用对数的运算性质进行求解．
本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．
13.【答案】−1
【解析】解：|x+1|+|x−2|≥|x+1−(x−2)|=3，当且仅当(x+1)(x−2)≤0时，等号成立，
存在实数x满足|x+1|+|x−2|≤−a2+a+5，
则−a2+a+5≥3，解得−1≤a≤2，
故实数a的最小值为−1．
故答案为：−1．
结合绝对值三角不等式公式，即可求解．
本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
14.【答案】[10,30]
【解析】解：如图所示，△ADE∽△ABC，
设矩形的另一边长为y，
则S△ADES△ABC=(40− y40)2=(x40)2，
所以y=40−x，
由题意可知xy≥300，则x(40−x)≥300，
即x2−40x+300≤0，解得10≤x≤30，
所以实数x的取值范围为[10,30]，
故答案为：[10,30]．
设矩形的另一边长为y，然后利用三角形相似得出x与y的关系，再由xy≥300解出不等式的解集即可求解．
本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，涉及到一元二次不等式的解法，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】(0,1)
【解析】解：∵对一切x>0，y>0满足f(xy)=f(x)−f(y)，
∴对一切x>0，y>0满足f(x)+f(y)=f(x⋅y)，且f(1)=0，
∴f(x+3)−f(1x)<2f(2)变形为：f(x+3)+f(x)即f[x(x+3)]∴x(x+3)<4，即(x−1)(x+4)<0，
解得：−40，
则所求不等式的解集为(0,1)．
故答案为：(0,1)．
采用赋值法求出f(1)的值；且根据f(xy)=f(x)−f(y)，得到f(x)+f(y)=f(x⋅y)，将所求不等式变形，再根据函数的单调性将原不等式转化为一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．
本题主要考查了其他不等式的解法，利用了赋值法，赋值法是解决抽象函数常用的方法，属于基础题．
16.【答案】(−2,0]∪(1，2]
【解析】解：作出y=x|x|−2x，y=1−x的图象如图所示；
当a≤−2时，函数f(x)=x|x|−2x,x当−2当0当1当a>2时，函数f(x)=x|x|−2x,x综上所述：实数a的取值范围是(−2,0]∪(1，2]．
故答案为：(−2,0]∪(1，2]．
画出函数f(x)=x|x|−2x,x2讨论观察图象可得答案．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为tanx=2，
所以sin2x−3sinxcsx=sin2x−3sinxcsxsin2x+cs2x=tan2x−3tanxtan2x+1=22−3×222+1=−25；
(2)因为sinα+csα=23，两边平方，可得1+2sinαcsα=49，解得2sinαcsα=−59<0，
又因为α∈(−π2,π2)，
所以sinα<0，csα>0，
所以sinα−csα=− (sinα−csα)2=− 1−2sinαcsα=− 1−(−59)=− 143．
【解析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
(2)将已知等式两边平方，可得2sinαcsα=−59<0，结合范围α∈(−π2,π2)，利用平方差公式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和方程思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当x≥1时，f(x)=|x−2|，此时y=f(x)的图象是射线y=x−2(x≥1)在x轴上方的部分保留，下方的部分沿x轴翻折到上方，
当x<1时，f(x)=|xx−1|(x<1)，此时y=f(x)的图象是先把反比例函数y=1x在y轴左侧部分向右平移1个单位，
再向上平移1个单位得f(x)=xx−1(x<1)，此的图象，然后将所得图象在x轴上方的部分保留，
下方的部分沿x轴翻折到上方，如图所示，

观察图象得函数y=f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，(1,2)；单调递增区间为(0,1)，(2,+∞)，
(2)依题意，关于x的方程f(x)=a的解转化为直线y=a与y=f(x)图象的交点的横坐标，如图，
当a<0时，直线y=a与y=f(x)图象无公共点，方程f(x)=a的解的个数为0．
当a=0或a>1时，直线y=a与y=f(x)图象有2个公共点，方程f(x)=a的解的个数为2．
当0当a=1时，直线y=a与y=f(x)图象有3个公共点，方程f(x)=a的解的个数为3．
综上所述：当a<0时，方程f(x)=a的解的个数为2.当a=0或a>1时，方程f(x)=a的解的个数为2．
当0【解析】(1)根据给定条件结合函数y=x−2(x≥1)和y=xx−1(x<1)，借助图象变换作出的大致图象，再利用图象写出函数的单调区间．
(2)把方程f(x)=a的解转化为直线y=a与y=f(x)图象的交点即可求解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)依题意，函数y=f(x)为“倒函数”，函数y=f(x)的定义域关于原点对称，
函数f(x)=1+x1−x的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，显然−1在定义域内，而1不在定义域内，即f(x)不是“倒函数”，函数g(x)=3x+1定义域为R，而g(x)⋅g(−x)=3x+1⋅3−x+1=9≠1，即g(x)不是“倒函数”，
所以函数f(x)和g(x)都不是“倒函数”．
(2)显然，函数h(x)的定义域关于原点对称，又h(x)是倒函数，
于是得h(x)⋅h(−x)=( x2+m+nx)⋅( x2+m−nx)=(1−n2)x2+m=1，则1−n2=0m=1，又n>0，解得m=1，n=1，所以实数m、n的值分别为m=1，n=1．
(3)证明：因为函数p(x)是偶函数，q(x)是奇函数，则它们的定义域必关于原点对称，依题意，φ(x)的定义域是函数p(x)与q(x)定义域的交集，也必关于数0对称，因此，φ(x)⋅φ(−x)=[p(x)]q(x)⋅[p(−x)]q(−x)=[p(x)]q(x)⋅[p(x)]−q(x)=[p(x)]0=1，所以φ(x)是倒函数．
【解析】(1)求出函数f(x)定义域即可判断；利用给定定义计算判断g(x)即可作答．
(2)利用给定定义直接计算可得m、n的值．
(3)探讨φ(x)的定义域，再利用给定的定义计算即可作答．
本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题．
20.【答案】解：(1)若f(x)=3x是为“G(2)函数，则满足f(x0+2)=f(x0)+f(2)成立，
即3x0+2=3x0+32，即9×3x0=3x0+9，
得8×3x0=9，得3x0=98，得x0=lg398，即f(x)=3x是为“G(2)函数．
(2)函数f(x)=lgax2+1为“G(1)函数”可知，存在实数x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，且a>0，
∴lga(x0+1)2+1=lgax02+1+lga2，即a(x0+1)2+1=ax02+1×a2，
整理得(a−2)x02+2ax0+2a−2=0．
①当a=2时，x0=−12，符合题意；
②当a≠2时，由Δ=4a2−4(a−2)(2a−2)≥0，即a2−6a+4≤0，
解得3− 5≤a≤3+ 5且a≠2，
综上3− 5≤a≤3+ 5，即实数a的取值范围是[3− 5,3+ 5].
(3)∵f(x)=x+b(b∈R)为“G(0)函数”，
∴f(x0+0)=f(x0)+f(0)，即f(0)=0，
∴f(0)=b=0，即b的值为0．
则f(x)=x，不妨设x1>x2，则由g(x1)−g(x2)f(x1)−f(x2)>2成立，得g(x1)−g(x2)x1−x2>2，
即g(x1)−g(x2)>2x1−2x2，
得g(x1)−2x1>g(x2)−2x2，
令F(x)=g(x)−2x，则F(x)在[0,t]上单调递增
不妨设x1得g(x1)−2x1>g(x2)−2x2，
令F(x)=g(x)−2x，则F(x)在[0,t]上单调递增，
又F(x)=x|x−4|−2x=x2−6x,x≥42x−x2,x<4，
作出函数图象如图：

由图可知，0【解析】(1)根据G(2)函数的定义，建立方程f(x0+2)=f(x0)+f(2)判断能否求出实数x0，即可．
(2)根据定义得到f(x0+1)=f(x0)+f(1)，转化为方程有解进行求解即可．
(3)先求出b的值，将不等式进行转化，然后构造函数F(x)=g(x)−2x，得到F(x)=g(x)−2x是增函数，利用函数的单调性进行转化求解即可．
本题主要考查函数新定义问题，根据G(m)函数的定义，建立方程，转化为方程有解问题是解决本题的关键，是中档题．