2022-2023学年上海市继光高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市继光高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若α是第四象限角，则点P(sinα,csα)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.函数y=sinxcsx是( )
A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数
C. 最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数
3.已知角α终边上一点P(1,3)，将OP绕坐标原点O逆时针旋转π4至OQ，点Q是角β终边上的一点，则tan(α+β)的值为( )
A. −2B. 17C. 57D. 3
4.下列四个命题正确的是( )
A. 第一象限的角都是锐角
B. 在△ABC中，如果asinB=bcsB，则△ABC一定是等腰直角三角形
C. 对于函数y=sinx，当x=2kπ+π3，k∈Z时，等式sin(x+π3)=sinx恒成立，故π3就是函数y=sinx的一个周期
D. 若存在角α，使得sinα+csα=m−2成立，则实数m的取值范围是[2− 2,2+ 2]
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.将角度化为弧度：135°= ______．
6.已知扇形圆心角的弧度数为2，半径为1，则扇形的面积为______．
7.已知点P(−1,−2)在角θ的终边上，则sinθ= ______．
8.若sin(α+π3)+sin(α−π3)=13，则sinα= ______．
9.已知sinα=35，则cs2α= ．
10.已知函数y=3+csx2，则当y取最小值时x的集合是______．
11.在△ABC中，若a2+b2−c2= 3ab，则∠C= ______．
12.已知tanα=−2，则sin(π−α)−sin(α−π2)cs(32π+α)+cs(π+α)的值为______．
13.赵爽是我国古代数学家、天文学家，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形，如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin2α的值为______．
14.已知函数f(x)=3sin(2x−π3)，下列命题中正确命题的序号是______(填上你认为正确的命题的全部序号)①函数的定义域是R；
②函数f(x)在区间(−π12,5π12)内是严格增函数：
③函数y=3cs2x的图象与函数f(x)=3sin(2x−π3)的图象形状相同；
④函数在区间(0,π)内有且仅有1个零点．
15.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)图象的一部分，若f(x0)=2，且x0∈(π3,7π3)，则x0= ______．
16.若函数y=2sin(x+π3)的定义域是[a,b]，值域是[−2,1]，则b−a的最大值是______．
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知sinα=35，α∈(0,π2)，sinβ=−1213，β∈(−π2,0)．
(1)求cs(α−β)的值；
(2)求α−β的值(用arccs表示)．
18.(本小题8分)
已知关于x的方程4x2−2(m+1)x+m=0的两个根是锐角α的正弦值和余弦值，求实数m的值．
19.(本小题10分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3cs2x，x∈R．
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，当f(A)=0，b=1，且三角形ABC的面积为 3时，求a．
20.(本小题10分)
已知函数f(x)=csx+sinx，若函数g(x)满足关系g(x)=f(x)⋅f(x+α)，α=π2．
(1)求g(x)的解析式；
(2)判断并证明g(x)的奇偶性；
(3)求g(x)在区间[−π3,π3]上的值域．
21.(本小题12分)
在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直(满足∠BAD=90°)，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且∠ABC=120°，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD=60°，路宽AD=24m.设灯柱高AB=h(m)，∠ACB=θ(30°≤θ≤45°)．
(1)当θ=30°时，求四边形ABCD的面积；
(2)求灯柱的高h(用θ表示)；
(3)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：若α是第四象限角，则sinα<0，csα>0，
所以点P(sinα,csα)在第二象限．
故选：B．
由已知结合三角函数的定义即可求解．
本题主要考查了三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：y=sinxcsx=12sin2x，
周期为T=2π2=π，且其图象关于原点对称，故为奇函数，
故选A．
y=sinxcsx=12sin2x，由周期公式及图象对称性可得结论．
本题考查二倍角的正弦公式、三角函数的周期性，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可得，tanα=3，β=α+π4，
所以tanβ=tan(α+π4)=1+tanα1−tanα=1+31−3=−2，
则tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=3−21−3×(−2)=17．
故选：B．
由已知可得，tanα=3，β=α+π4，结合两角和的正切公式可求tanβ，进而可求tan(α+β)．
本题主要考查了和差角的正切公式的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：A中，第一象限的角有可能为负角，所以A不正确；
B中，因为asinB=bcsB，由正弦定理可得：sinAsinB=sinBcsB，
因为sinB>0，所以sinA=csB=sin(π2−B)，可得A=π2−B，即A+B=π2，所以C=π2，可得△ABC为直角三角形；
或者A+π2−B=π，可得A−B=π2，此时不确定三角形的性质，
再由sinA=csB=sin(π2+B)，所以A−B=π2或者A+π2+B=π，即A+B=π2，所以C=π2，可得△ABC为直角三角形；所以B不正确；
C中，对于函数y=sinx，当x=2kπ+π3，k∈Z时，等式sin(x+π3)=sinx恒成立，不是对于任意的x成立，故π3不是函数y=sinx的一个周期，所以C不正确；
D中，存在角α，使得sinα+csα=m−2成立，所以 2sin(α+π4)=m−2，
即sin(α+π4)= 22(m−2)，所以−1≤ 22(m−2)≤1，解得− 2+2≤m≤ 2+2，即m∈[− 2+2, 2+2]，所以D正确．
故选：D．
A中，由第一象限的角有可能为负角，判断出A的真假；B中，由正弦定理可得sinA=csB，由诱导公式及三角形中角的关系，可判断出B的真假；C中，由最小正周期的定义判断出C的真假；D中，由三角恒等变换及角的范围，可得m的范围，判断出D的真假．
本题考查正弦定理及三角函数的性质的应用，属于中档题．
5.【答案】34π
【解析】解：135°=34π．
故答案为：34π．
根据已知条件，结合角度、弧度转化公式，即可求解．
本题主要考查弧度制，属于基础题．
6.【答案】1
【解析】解：由题意，扇形的面积为12×2×12=1．
故答案为：1．
根据扇形的面积公式求解．
本题考查扇形的面积公式，属于基础题．
7.【答案】−2 55
【解析】解：若点P(−1,−2)在角θ的终边上，
则sinθ=−2 (−1)2+(−2)2=−2 55．
故答案为：−2 55．
由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义的应用，属于基础题．
8.【答案】13
【解析】解：因为sin(α+π3)+sin(α−π3)=13，
所以12sinα+ 32csα+12sinα− 32csα=13，
则sinα=13．
故答案为：13．
由已知结合两角和与差的正弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了两角和与差的正弦公式的应用，属于基础题．
9.【答案】725
【解析】【分析】
本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用cs2α=1−2sin2α，即可得出结论．
【解答】
解：∵sinα=35，
∴cs2α=1−2sin2α=1−2×925=725
故答案为：725．
10.【答案】{x|x=4kπ+2π,k∈Z}
【解析】解：函数y=3+csx2，
当csx2=−1⇒x2=2kπ+π，k∈Z，
即x=4kπ+2π，k∈Z时，函数取得最小值为3−1=2，
综上所述，函数y=3+csx2取最小值时x的集合是{x|x=4kπ+2π,k∈Z}．
故答案为：{x|x=4kπ+2π,k∈Z}．
根据余弦函数的性质知，由csx2的最小值为−1，可求出此时y=3+csx2取最小值，从而可求出x的集合．
本题主要考查余弦函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】30°
【解析】解：∵a2+b2−c2= 3ab，
∴csC=a2+b2−c22ab= 32，
∵∠C为三角形的内角，
∴∠C=30°．
故答案为：30°
利用余弦定理表示出csC，将已知等式代入计算求出csC的值，根据C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
12.【答案】13
【解析】解：由题意，原式=sinα+csαsinα−csα=tanα+1tanα−1=−2+1−2−1=13．
故答案为：13．
根据诱导公式化简求值即可．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
13.【答案】2425
【解析】解：设直角三角形较短的边长为x，则较长的直角边为x+1，斜边为5，
由勾股定理可得，x2+(x+1)2=25，
整理得，x2+x−12=0，
因为x>0，
解得x=3，(舍负)，
故sinα=35，csα=45，
所以sin2α=2sinαcsα=2×35×45=2425．
故答案为：2425．
由已知结合勾股定理可先求出直角三角形的直角边及斜边长，然后求出sinα，csα，结合二倍角公式即可求．
本题主要考查了锐角三角函数及二倍角公式的应用，属于基础题．
14.【答案】①②③
【解析】解：函数f(x)=3sin(2x−π3)的定义域为R，故①正确；
当x∈(−π12,5π12)时，2x−π3∈(−π2,π2)，
因为正弦函数y=sinx在(−π2,π2)上严格单调递增，
所以函数f(x)在区间(−π12,5π12)内是严格增函数，故②正确；
函数y=3cs2x=3sin(2x+π2)=3sin[2(x+5π12)−π3]，
所以函数f(x)=3sin(2x−π3)的图象向左平移5π12个单位长度得到函数y=3cs2x的图象，
故函数y=3cs2x的图象与函数f(x)=3sin(2x−π3)的图象形状相同，故③正确；
当x∈(0,π)时，2x−π3∈(−π3,5π3)，
当2x−π3=0或2x−π3=π时，f(x)=0，所以函数在区间(0,π)内有2个零点，故④错误．
故答案为：①②③．
求出函数的定义域可判断①，由正弦函数的单调性即可判断②，由函数图象的平移变换即可判断③，由正弦函数的性质可得函数在区间(0,π)内的零点个数，即可判断④，从而可得结论．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】π
【解析】解：设f(x)的周期为T，则T2=7π3−π3=2π，
∴T=2πω=4π，解得ω=12，又A=4，π3ω+φ=π3×12+φ=π2，
∴φ=π3，
∴f(x)=4sin(12x+π3).
∵x0∈(π3,7π3)，
∴12x0+π3∈(π2,3π2)，
∵f(x0)=4sin(12x0+π3)=2，
∴sin(12x0+π3)=12，
∴12x0+π3=5π6，
∴x0=π．
故答案为：π．
依题意，可求得f(x)=4sin(12x+π3)，再利用正弦函数的性质可求得答案．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】4π3
【解析】解：∵y=2sin(x+π3)的定义域是[a,b]，值域是[−2,1]，
令t=x+π3，
即函数y=sint的定义域为[a+π3,b+π3]，值域是[−12,1]，
结合正弦函数y=sinx的图象与性质，
不妨取a+π3=−π6，b+π3=7π6，
此时b−a取得最大值为7π6−(−π6)=4π3．
故答案为：4π3．
根据题意，利用正弦函数的图象与性质，即可得出结论．
本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
17.【答案】解：(1)因为sinα=35，α∈(0,π2)，sinβ=−1213，β∈(−π2,0)，
所以csα=45，csβ=513，
所以cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=45×513−35×1213=−1665；
(2)因为0<α<π2，−π2<β<0，
所以0<α−β<π，
又cs(α−β)=−1665<0，
所以α−β=π−arccs1665．
【解析】(1)由已知结合同角基本关系及两角差的余弦公式即可求解；
(2)结合反三角定义即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由题意得，sinα+csα=m+12sinα⋅csα=m4，
又Δ=4(m+1)2−16m>0，m+12>0，m4>0，
所以m>0且m≠1，
所以sin2α+cs2α=(sinα+csα)2−2sinαcsα=m2+2m+14−2×m4=1，
解得：m= 3或m=− 3(舍)，
故m= 3．
【解析】由已知结合方程的根与系数关系及同角平方关系即可求解．
本题主要考查了方程的根与系数关系及同角平方关系的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)=2(12sin2x+ 32cs2x)=2sin(2x+π3)，
要求f(x)的单调增区间，只需−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−512π+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
故函数f(x)的单调增区间为[−512π+kπ,π12+kπ]，k∈Z．
(2)由已知得f(A)=2sin(2A+π3)=0，结合A为锐角，
2A+π3=π，解得A=π3，
又b=1，且三角形ABC的面积为 3，故12bcsinA=12×1×c×sinπ3= 3，
解得c=4，所以a2=b2+c2−2bccsA=1+42−2×1×4×csπ3=13，
故a= 13．
【解析】(1)先将原函数化为f(x)=2sin(2x+π3)的形式，再利用正弦函数的单调性、复合函数单调性的性质求解；
(2)据题意，求出A=π3，再结合面积公式求出c的值，最后利用余弦定理求出a．
本题考查三角恒等变换以及正余弦定理、面积公式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为f(x)=csx+sinx，α=π2，
所以g(x)=(csx+sinx)(csx−sinx)=cs2x−sin2x=cs2x；
(2)g(x)为偶函数，证明如下：
因为g(−x)=cs(−2x)=cs2x=g(x)，x∈R，
则g(x)为偶函数；
(3)由−π3≤x≤π3可得，−2π3≤2x≤2π3，
所以−12≤cs2x≤1，
故g(x)的值域为[−12,1]．
【解析】(1)由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解g(x)；
(2)检验g(−x)与g(x)的关系即可判断；
(3)结合余弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，还考查了函数奇偶性的判断及余弦函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
21.【答案】解：(1)∵θ=30°，∠ABC=120°，
∴∠BAC=∠BCA=30°，又∠BAD=90°，
∴∠CAD=60°，又∠ACD=60°，
所以△ACD为正三角形，则AC=24，
在△ABC中，因为ABsin∠ACB=ACsinB，所以AB=ACsin30°sin120∘=8 3，
故四边形ABCD的面积S=S△ABC+S△ACD=12(8 3)2×sin120°+12×242×sin60°=192 3．
(2)因为ABC=120°，∠ACB=θ，所以∠BAC=60°−θ，
又因为灯柱AB与地面垂直，即∠BAD=90°，所以∠CAD=30°+θ，
因为∠ACD=60°，所以∠ADC=90°−θ，
在△ACD中，因为ADsin∠ACD=ACsin∠ADC，所以AC=24csθsin60∘=16 3csθ，
在△ABC中，因为ABsin∠ACB=ACsinB，所以h=AB=ACsinθsin120∘=16sin2θ(30°≤θ≤45°)．
(3)在△ABC中，因为BCsin∠BAC=ACsinB，
所以BC=ACsin(60°−θ)sin120∘=32csθsin(60°−θ)=8 3+8 3cs2θ−8sin2θ，
则S=AB+BC=8 3+8 3cs2θ+8sin2θ=8 3+16sin(2θ+60°)，
因为30°≤θ≤45°，所以120°≤2θ+60°≤150°，
所以当θ=45°时，Smin=8 3+8．
【解析】(1)由题意可求出∠CAD=60°，所以△ACD为正三角形，则AC=24，在△ABC中由正弦定理可求出AB，从而求出四边形ABCD的面积．
(2)根据条件可得∠BAC=60°−θ，∠CAD=30°+θ，∠ADC=90°−θ，在△ACD中由正弦定理可得AC=16 3csθ，再在△ABC中由正弦定理即可表达出h．
(3)在△ABC中由正弦定理求出BC，从而求出s关于θ的函数表达式，再根据θ的取值范围求出S的最小值．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了解三角形，同时考查了学生的计算能力，是中档题．