2022-2023学年广东省惠州市龙门县高级中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省惠州市龙门县高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．设函数在R上可导，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据某点处的导数定义，以及导数的运算性质，即可求解.

【详解】

故选：C

2．某班班干部有4名男生和5名女生组成，从9人中选1人参加某项活动，则不同的选法共有（   ）

A．4种 B．5种 C．9种 D．20种

【答案】C

【分析】分两类：从男生中选和从女生中选，根据分类加法计数原理可得总的选法数量﹒

【详解】分两类：一类从男生中选，有4种方法；一类从女生中选，有5种方法；用加法原理共有4＋5＝9种方法．

故选：C．

3．设曲线在点处的切线方程为，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.

【详解】切线的斜率为，

由，

故选：C

4．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有（    ）

A．6种 B．12种 C．36种 D．60种

【答案】A

【分析】根据组合数的计算即可求解.

【详解】从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，因此只需要从剩下4人选出两个即可，即.

故选：A

5．函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由导数与单调性的关系求解

【详解】函数的定义域为，，令，解得，

故选：B

6．的展开式中含项的系数为（    ）

A．60 B．240 C．60 D．240

【答案】C

【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的次数为，求出的值，从而可求出含项的系数

【详解】二项式的展开式，

当r=4，此时，可得展开式中项的系数为60，

故选：C.

7．某班级在一次数学知识竞赛答题活动中，一名选手从2道数学文化题和3道作图题中不放回的依次抽取2道题，在第一次抽到作图题的前提下第二次抽到作图题的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.

【详解】记“第一次抽到作图题”为事件，记“第二次抽到作图题”为事件，

，

所以.

故选：B.

8．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由和的关系，利用公式求出数列的通项公式，可得到数列的通项公式，利用裂项相消法求前项的和.

【详解】，当时，，

当时，，当时，也满足，

∴ 数列的通项公式为，

，

故选：C

二、多选题

9．下列求导过程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】AC选项结合导数的乘法运算法则即可判断；B选项根据基本初等函数的求导公式即可判断；D选项结合复合函数的求导法则即可判断.

【详解】A选项：因为，所以，故A正确；

B选项：因为，故B正确；

C选项：因为，所以，故C正确；

D选项：因为，故D错误；

故选：ABC.

10．已知随机事件，的概率分别为，，且，则下列说法中不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案．

【详解】由条件概率知：，因为,，所以，故A不正确；

，，与不一定相等，所以不一定成立，故B不正确；

，，所以，故C正确；

，故D不正确．

故选：ABD．

11．对任意实数，有 ，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】，利用二项展开式的通项即可求得，即可判断A；

令，可得，即可判断B；

令，可得，即可判断C，

令，可得，即可判断D.

【详解】解：对任意实数，有 ，所以，故A正确；

令，可得，故B错误；

令，可得，故C正确；

令，可得，故D错误.

故选：AC.

12．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A．

B．数列是公比为8的等比数列

C．若，则数列的前2020项和为4040

D．若，则数列的前2020项和为

【答案】CD

【分析】根据，列方程组可求出，从而可求出，然后逐个分析判断.

【详解】设等差数列的公差为，则由，，得

，解得，

所以，，

对于A，，，所以A错误，

对于B，因为，所以，所以，

所以数列是公比为的等比数列，所以B错误，

对于C，因为，所以数列的前2020项和为

，所以C正确，

对于D，因为，

所以数列的前2020项和为

，所以D正确，

故选：CD

三、填空题

13．函数的极小值为      .

【答案】1

【分析】对函数求导，研究单调性，根据极小值的概念即可得到结果.

【详解】，当时，；

当时，.

故的极小值为.

故答案为1.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，要求学生掌握求极值的方法，属基础题.

14．的展开式中的系数是      ．（用数字作答）

【答案】

【分析】由二项式定理可得的展开式的通项公式，由通项公式结合条件可得答案.

【详解】的展开式的通项公式为，

令可得

所以的展开式中的系数是

故答案为：

15．函数在处的切线与直线平行，则a＝      ．

【答案】1

【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.

【详解】因为，所以，

所以函数在处的切线斜率为，

因为该切线与直线平行，故，解得

故答案为：1

四、双空题

16．甲、乙、丙三位教师指导五名学生a、b、c、d、e参加全国高中数学联赛，每位教师至少指导一名学生．若每位教师至多指导两名学生，则共有        种分配方案；若教师甲只指导一名学生，则共有       种分配方案．

【答案】     90     70

【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①将5名学生分成3组，人数分别为，2，，②将分好的三组，由分步计数原理计算可得答案；

（2）根据题意，分2步进行分析：①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，由分步计数原理计算可得答案．

【详解】解：（1）根据题意，分2步进行分析：

①将5名学生分成3组，人数分别为，2，，有种分组方法，

②将分好的三组全排列，安排给三位教师，有种情况，

则有种分配方案；

（2）根据题意，分2步进行分析：

①从5名学生任选1名学生分配给甲教师指导，有5种情况，

②剩下4名学生分成2组，安排其余两位教师辅导，有种情况，

则有种分配方案．

故答案为：；

五、解答题

17．（1）计算：．

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）126.

【分析】（1）根据排列数的计算公式即可得解；

（2）根据组合数的计算公式即可得解.

【详解】（1）

．

（2）由可得

即，

可得，整理可得：，

解得或，因为，可得，

所以．

18．已知数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据累加迭代即可求解通项；

（2）根据等差数列的求和公式即可求解.

【详解】（1）当时，

，

当时，满足上式，

；

（2），则，

所以是以0为首项，为公差的等差数列，

故，

.

19．已知函数在处取得极值7．

（1）求的值；

（2）求函数在区间上的最大值

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；

（2）先由（1）得到，导数的方法研究其单调性，进而可求出最值.

【详解】（1）因为，所以，

又函数在处取得极值7，

，解得；，

所以，

由得或；由得；满足题意；

（2）又，

由（1）得在上单调递增，在上单调递减，

因此．

【点睛】方法点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题方法如下：

（1）先对函数求导，根据题意，结合函数在某个点处取得极值，导数为0，函数值为极值，列出方程组，求得结果；

（2）将所求参数代入，得到解析式，利用导数研究其单调性，得到其最大值.

20．已知二项式的展开式， ，给出下列条件：

①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②所有偶数项的二项式系数之和为256；③展开式中第4项为常数项．

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题：

(1)求展开式中x-3的系数；

(2)求展开式中二项式系数最大的项

【答案】(1)18.

(2)答案见解析.

【分析】（1）先求出二项展开式的通项公式. 选条件①：列方程解出n；选条件②：列方程解出n；选条件③：根据第4项为常数项，解出n；利用通项公式即可求出展开式中x-3的系数；（2）先利用二项式系数的性质判断出二项式系数最大的项为第5项和第6项，再利用通项公式直接求解.

【详解】（1）二项式的展开式的通项公式为：.

选条件①：第二项与第三项的二项式系数之比是1：4，所以，即，解得：；

选条件②：所有偶数项的二项式系数之和为256，所以，解得：.

选条件③：展开式中第4项为常数项，即为常数项，

所以.

所以二项式的展开式的通项公式为：.

要求展开式中x-3的系数，只需令，解得：r=1.

所以系数为.

（2）当时，展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项.

所以，.

21．甲、乙两名同学在电脑上进行答题测试，每套测试题可从题库中随机抽取．在一轮答题中，如果甲单独答题，能够通过测试的概率是，如果乙单独答题，能够通过测试的概率是．

(1)甲单独答题三轮，求甲恰有两轮通过测试的概率；

(2)在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可；

（2）利用条件概率以及相互独立事件的概率乘法公式求解即可．

【详解】（1）解：设“甲恰有两轮通过测试”为事件，则；

（2）解：设“选中甲”为事件，“选中乙”为事件，“通过测试”为事件，

根据题意得，，，，

则，

所以在甲，乙两人中任选一人进行测试，求通过测试的概率．

22．已知函数．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)曲线在点处的切线方程为；

(2)实数m的取值范围为.

【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程；(2)化简不等式可得，由已知可得，由此可求实数m的取值范围．

【详解】（1）由已知，函数的定义域为，

又，

所以，所以曲线在点处的切线的斜率为，

又，

所以曲线在点处的切线方程为，即,

（2）不等式

可化为，

，

因为恒成立，

所以，

设，

则，令可得，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取最大值，最大值为，

所以，

故实数m的取值范围为.