2021北京通州初三（上）期末数学（教师版）

2021北京通州初三（上）期末

数    学

一、选择题（本题共8分，每小题3分，共24分）下列各题四个选项中，只有一个符合题意

1．（3分）抛物线的顶点坐标是　　

A． B． C． D．

2．（3分）如图，为切线，连接，．若，则的度数为　　

A． B． C． D．

3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上的一点，则的面积为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（3分）已知一个扇形的弧长为，半径是3，则这个扇形的面积为　　

A． B． C． D．

5．（3分）水平放置的圆柱形排水管道截面半径为．若管道中积水最深处为，则水面宽度为　　

A． B． C． D．

6．（3分）古希腊人认为，最美人体是肚脐至足底的长度之比与人体身高之比是，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”雕像便是如此．若某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为，则此人身高大约为　　

A． B． C． D．

7．（3分）已知二次函数的图象对称轴为，且图象经过点，．则下列说法中正确的是　　

A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则

8．（3分）公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到的近似值为　　

A． B． C． D．

二、填空题（本题共8分，每小题3分，共24分）

9．（3分）　　．

10．（3分）请写出一个开口向下，且图象经过坐标原点的二次函数的表达式　　．

11．（3分）如图，，，为上的点．若，则　　．

12．（3分）如图，输电塔高．在远离高压输电塔的处，小宇用测角仪测得塔顶的仰角为．已知测角仪高，则　　．

13．（3分）如图，在中，，分别，边上，且，若，则与的面积之比等于　　．

14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为　　．

15．（3分）在平面直角坐标系中，点为双曲线图象上一点．将点向左平移3个单位后，该点恰好出现在反比例函数图象上，则的值为 　　．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点，的半径为3，点为上任意一点．则的最大值为　　．

三、解答题（共9小题，17-22题每小题5分，23，24题每小题5分，25题8分，共52分）

17．（5分）如图，与交于点，，，，，求的长．

18．（5分）二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：

求出二次函数的表达式．

19．（5分）下面是小付设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图1，及上一点．

求作：过点的的切线．

作法：如图2，

①作射线；

②以点为圆心，为半径作，与射线交于另一点；

③分别以点，点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交射线上方于点；

④作直线；

则直线即为所求．

根据小付设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：，，

　　（填推理的依据）．

又是的半径，

是的切线　　（填推理的依据）．

20．（5分）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．

（1）求出反比例函数表达式及的值；

（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集．

21．（5分）如图，在中，．以为直径作，交于点，连接．作平分线，交于点，交于点．

（1）求证：．

（2）若，，求的长．

22．（5分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．

嘉瑶根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．

下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：

（1）函数的图象与轴　　交点；（填写“有”或“无”

（2）下表是与的几组对应值：

则的值为　　；

（3）如图，在平面直角坐标系中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；

（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的根约为　　．（结果精确到

23．（7分）如图，将正方形绕点顺时针旋转角，得到正方形．连接，分别与、交于点，，连接，．

（1）求的值（用表示）；

（2）求证：．

24．（7分）在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点，，与轴交于点．

（1）求此二次函数图象的对称轴；

（2）求点纵坐标（用含有的代数式表示）；

（3）已知点．将点向下移动一个单位，得到点．若二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围．

25．（8分）在平面直角坐标系中，点坐标为，点为图形上一点．我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点视角下图形的“宽度”．

（1）如图，半径为2，与轴，分别交于点，．

①在点视角下，的“宽度”为　　，线段的“宽度”为　　；

②点为轴上一点．若在点视角下，线段的“宽度”为2，求的取值范围；

（2）的圆心在轴上，且半径为，一次函数与轴，轴分别交于点，．若线段上存在点，使得在点视角下，的“宽度”可以为2，求圆心的横坐标的取值范围．

参考答案

一、选择题（本题共8分，每小题3分，共24分）下列各题四个选项中，只有一个符合题意

1．【分析】直接根据顶点式的特点求顶点坐标．

【解答】解：因为是抛物线的顶点式，

根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为．

故选：．

【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．

2．【分析】根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算则可得到答案．

【解答】解：是的切线，

，

，

，

故选：．

【点评】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键

3．【分析】根据反比例函数系数的几何意义得出答案．

【解答】解：，

故选：．

【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数系数的几何意义是得出正确答案的前提．

4．【分析】根据扇形的面积，计算即可．

【解答】解：由题意，，

故选：．

【点评】本题考查扇形的面积，弧长公式等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．

5．【分析】过作于，交于，先由垂径定理得出，，，，再求出，然后由勾股定理求出，即可得出．

【解答】解：过作于，交于，连接，如图所示：

则，，，，

，

，

，

即水面宽度为，

故选：．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出是解决问题的关键．

6．【分析】设此人身高为，由黄金分割的定义得，即可解决问题．

【解答】解：设此人身高为，

某人身材大致满足黄金分割比例，且其肚脐至足底的长度为，

，

解得：，

即此人身高大约为，

故选：．

【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值约为0.618是解题的关键．

7．【分析】利用待定系数法求得的值即可判断．

【解答】解：二次函数的图象对称轴为，

，

、若，则，

二次函数为，

图象经过点，．

，解得，

故错误；

、若，则，

二次函数为，

图象经过点，．

，解得，

故错误；

、若，则，

二次函数为，

图象经过点，．

，解得，

故错误；

、若，则，

二次函数为，

图象经过点，．

，解得，

故正确；

故选：．

【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，根据题意求得的值是解题的关键．

8．【分析】设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为，则进而即可解决问题；

【解答】解：如图，圆的内接正多边形被半径分成个如图所示的等腰三角形，

其顶角为，即，

作于点，则，

设半径为的圆内接正边形的周长为，圆的直径为，

则，

在中，，即，

，

，

，

又，

．

故选：．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．

二、填空题（本题共8分，每小题3分，共24分）

9．【分析】根据特殊角的三角函数值计算．

【解答】解：原式．

【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．

【相关链接】特殊角三角函数值：

，，，；

，，，；

，，，．

10．【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由顶点在原点可设其为顶点式，可求得答案．

【解答】解：顶点在坐标原点，

可设抛物线解析式为，

图象开口向下，

，

可取，

抛物线解析式为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．

11．【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，由此即可解决问题．

【解答】解：，，

，

故答案为：；

【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

12．【分析】过作于，根据三角函数的定义即可得到结论．

【解答】解：过作于，

则，，

，，

，

；

故答案为：．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

13．【分析】根据，即可证得，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．

【解答】解：，

，

，

，

与的面积是：．

故答案是：．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：熟练掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．

14．【分析】题目中给出了轴上的点的坐标，且有以为斜边的直角三角形，可以考虑作斜边上的高构造相似三角形来解题．

【解答】解：如图，过点作轴于点，则，

，

，

，，

．

，

点的坐标为．

【点评】此题是一道图形与平面直角坐标系的小综合题，解题的关键是构作辅助线构造相似三角形．

15．【分析】根据平移的规律求得平移后的点的坐标，然后根据图象上点坐标特征得到，解得的值，即可根据求得的值．

【解答】解：点为双曲线图象上一点，

，

点向左平移3个单位后得到点，该点在反比例函数图象上，

，

，

，

，

，

故答案为3．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平移的规律，根据是根据图象上点的坐标特征得到关于的方程．

16．【分析】如图所示，当直线与圆相切时，连接，过作轴于点，此时取得最大值，利用切线的性质得到垂直于，在直角三角形中，根据直角三角形的性质得出，为的值，则可得出答案．

【解答】解：如图所示，当直线与圆相切时，连接，过点作轴于点，此时取得最大值，

为的切线，

，

，圆半径．

在中，，

，

，

则的最大值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．

三、解答题（共9小题，17-22题每小题5分，23，24题每小题5分，25题8分，共52分）

17．【分析】由，可得出，利用相似三角形的性质可得出，代入，，即可求出的长．

【解答】解：，，

，

，即，

．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形对应边的比相等是解题的关键．

18．【分析】利用表中数据可设交点式，然后把代入求出即可．

【解答】解：据题意，设，

该函数过点，

，

二次函数的表达式．

【点评】本题考查了二次函数的图象以及待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是：利用待定系数法求出函数解析式．

19．【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可．

（2）利用等腰三角形的三线合一的性质解决问题即可．

【解答】解：（1）如图，直线即为所求作．

（2）证明：，，

（垂直平分线的判定），

又是的半径，

是的切线（经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线）

故答案为：垂直平分线的判定，经过半径的外端并且垂直与这条半径的直线是圆的切线．

【点评】本题考查作图复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

20．【分析】（1）把点，代入即可求得、的值；

（2）由函数的图象即可求得．

【解答】解：（1）点在函数上，

，

反比例函数表达式为，

又点在函数上，

；

（2）由图象可知，不等式的解集为或．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．

21．【分析】（1）欲证明，只要证明即可．

（2）因为，只要求出，即可解决问题．

【解答】（1）证明：为直径，

，

，

，

为的角平分线，

，

，

，

，

．

（2）解：在中，

，，

，

在中，，

，

在中，，，

，

，

．

【点评】本题考查圆周角定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

22．【分析】（1）函数的自变量的取值范围为；

（2）把代入求出的值即可；

（3）利用列表、描点、连线画出函数的图象；

（4）方程的根，实际上就是函数的图象与轴的交点的横坐标，通过图象直观得出相应的的值．

【解答】解：（1）函数自变量的取值范围为，

函数的图象与轴无交点；

故答案为：无；

（2）把代入得，，

故答案为：；

（3）根据列表、描点、连线得出函数的图象，所画的图象如图所示：

（4）通过图象直观得出函数的图象与轴交点的横坐标．

故答案为：或或2.1．

【点评】本题考查函数的图象及其画法，列表、描点、连线是画函数图象的常用方法．

23．【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解；

（2）延长，交于点，由等腰三角形的性质和外角的性质可得，可证，由等腰三角形的判定可得，由相似三角形的性质可得，可证，可得结论

【解答】解：（1）将正方形绕点顺时针旋转角，得到正方形，

，，

；

（2），，

，

，

，

，

如图，延长，交于点，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

．

【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

24．【分析】（1）根据抛物线的对称性求得即可；

（2）抛物线的表达式为：，即可求解；

（3）分四种情况：当时，当时，分别画图结合相关计算可得答案．

【解答】解：（1）抛物线的图象与轴交于点，，

抛物线的对称轴为直线；

（2）抛物线与轴交于，，

设，

，

；

（3）当时，

，

抛物线的顶点为，

当时，，

①当时，抛物线与线段有一个交点，即抛物线的顶点，如图1所示；

②当时，抛物线与线段没有交点，如图2，

；

③当时，抛物线与线段有两个交点，如图3，

；

当时，

将点代入抛物线得：

解得，，

①当时，抛物线与线段只有一个交点，如图4，

②当时，抛物线与线段没有交点，如图5，

；

综上所述，当或时，抛物线与线段只有一个交点．

【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特点，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．

25．【分析】（1）①根据点视角下图形的“宽度”，求解即可．

②分两种情形：当在点右侧时，当在点左侧时，分别求解即可．

（2）因为的“宽度”为2，所以．分或，两种情形分别求解即可．

【解答】（1）①如图，作直线交于，．

，

在点视角下，的“宽度”为4．

连接，．

，，

，

线段的“宽度”为2，

故答案为：4；2．

②当在点右侧时，当时，，此时线段的“宽度”大于2，不符合题意，

当时，

．

当在点左侧时，，，

．

综上所述，或．

（2）的“宽度”为2，

．

当时，

点出现在内部，其轨迹为以点为圆心，半径为1的圆．

又点在线段上．

该轨迹圆需要与线段有交点．如图．

当在点左侧时，与相切时，，如图中，

当在点右侧时，经过点时，．

综上所述，时，满足条件的为：．

当时，在圆外任何一点的视角下，的“宽度”均为2．

所以为任意实数．

【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点视角下图形的“宽度”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．