2021北京通州初三一模数学（教师版）

2021北京通州初三一模

数    学

一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）下列各题四个选项中，只有一个符合题意。

1．冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一次，第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

2．据北京晚报报道，截止至2021年3月14日时，北京市累计有3340000人完成了新冠疫苗第二针的接种．将3340000用科学记数法表示正确的是　　

A． B． C． D．

3．比大，比小的整数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4

4．不透明的袋子中有5张卡片，上面分别写着数字1，2，3，4，5，除数字外五张卡片无其它差别，从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是　　

A． B． C． D．

5．如果，那么代数式的值是　　

A．2 B． C． D．

6．若实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足，则绝对值最小的数是　　

A． B． C． D．

7．2021年3月12日，为了配合创建文明，宜居的北京城市副中心，通州区某学校甲、乙两班学生参加城市公园的植树造林活动．已知甲班每小时比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用时间与乙班植70棵树所用时间相同．如果设甲班每小时植树棵，那么根据题意列出方程正确的是　　

A． B． C． D．

8．为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力．污水排放未达标的企业要限期整改，甲，乙两个企业的污水排放量与时间的关系如图所示．我们用，表示时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，乙企业的污水排放最高；

③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；

④在，，这三段时间中，甲企业在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是　　

A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③

二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）

9．在函数中，自变量的取值范围是 　　．

10．写出二元一次方程的一组解：　　．

11．某立体图形的三视图中，主视图是矩形，请写出一个符合题意的立体图形名称：　　．

12．某数学小组做抛掷一枚质地不均匀纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如表．

则抛掷该纪念币正面朝上的概率约为　　．（精确到

13．如图中的平面图形由多条直线组成，计算　　．

14．在平面直角坐标系中，已知正比例函数的图象与反比例函数图象的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标为　　．

15．如图所示，在正方形网格中，点，，，为网格线的交点，线段与交于点，则的面积与面积的大小关系为：　　（填“”，“ ”或“” ．

16．某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为，，，其中，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是　　．

三.解答题（共12小题，17-25题，每小题5分，26题7分，27，28每小题5分，共68分）

17．（5分）计算：．

18．（5分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．

19．（5分）下面是小于同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线及直线外一点．

求作：直线，使得．

小于同学的作法：如下，

（1）在直线的下方取一点；

（2）以点为圆心，长为半径画圆，交直线于点，（点在左侧），连接；

（3）以点为圆心，长为半径画圆，交于点，（点与点位于直线同侧）；

（4）作直线；

所以直线即为所求．

请你依据小于同学设计的尺规作图过程，完成下列问题．

（1）使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：连接

　　（填推理的依据）．

　　（填推理的依据）．

　　（填推理的依据）．

20．（5分）已知关于的方程有两个不相等的实数根．

（1）求实数的取值范围；

（2）请你给出一个的值，并求出此时方程的根．

21．（5分）已知：如图，在和中，点、、、四点在一条直线上，且，，．

求证：．

22．（5分）在平面直角坐标系中点为双曲线上一点．

（1）求的值；

（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围．

23．（5分）如图，在四边形中，，对角线，相交于点．点是对角线中点，连接，．如果，，且．

（1）求证：四边形是平行四边形．

（2）求的值．

24．（5分）截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小凯同学通过登陆国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元），并对数据进行整理，描述和分析．下面是小凯给出的部分信息．

．反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如图1（数据分成8组：，，，，，，，；

年中央财政脱贫专项资金在这一组分配的额度是（亿元）

25  28  28  30  37  37  38  39  39

（1）2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为　　（亿元）；

（2）2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第　　名；

（3）小凯在收集数据时得到了年中央财政脱贫专项资金对自治区和自治区的分配额度变化图（如图

①比较2016年年中央财政脱贫专项资金对自治区，的分配额度，方差　　（填写“”或者“” ；

②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区，脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法．

25．（5分）已知，如图，点，，在上，且满足．连接，，过点作直线，交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；

（2）如果，求边的长．

26．（7分）已知二次函数．

（1）求此二次函数图象的对称轴；

（2）设此二次函数的图象与轴交于不重合两点，，，（其中，且满足，求的取值范围．

27．（8分）已知点为线段上一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；再将线段绕点逆时针旋转，得到线段；连接，取中点，连接，．

（1）如图1，当点在线段上时，求证：；

（2）如图2，当点不在线段上，写出线段与的数量关系与位置关系，并证明．

28．（8分）在平面直角坐标系中，任意两点，，，，定义线段的“直角长度”为．

（1）已知点．

①　　；

②已知点，若，求的值；

（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点．

①点，，如果为“和距三角形”，求的取值范围；

②在平面直角坐标系中，点为直线上一点，点是坐标系中的一点，且满足，当点在直线上运动时，点均满足使为“和距三角形”，请你直接写出点的横坐标的取值范围．

参考答案

一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）下列各题四个选项中，只有一个符合题意。

1．【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．

【解答】解：、不是轴对称图形；

、不是轴对称图形；

、不是轴对称图形；

、是轴对称图形；

故选：．

【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

2．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．

【解答】解：将3340000用科学记数法表示为．

故选：．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3．【分析】分别估算出和的取值范围即可．

【解答】解：，，

比大，比小的整数是2．

故选：．

【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出和的取值范围是解答此题的关键．

4．【分析】根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解．

【解答】解：数字1，2，3，4，5中，偶数有2个，

从袋子中随机摸出一张卡片，其数字为偶数的概率是．

故选：．

【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．

5．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：原式

，

当时，原式．

故选：．

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．【分析】根据数轴可有．结合即可判断．

【解答】解：根据数轴可有．

．

原点在、之间，且靠近．

绝对值最小的数为：．

故选：．

【点评】本题考查实数大小比较、实数与数轴的一一对应关系、相反数的意义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

7．【分析】设甲班每小时植树棵，则乙班每小时植树棵，根据工作时间工作总量工作效率，结合甲班植60棵树所用时间与乙班植70棵树所用时间相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．

【解答】解：设甲班每小时植树棵，则乙班每小时植树棵，

依题意得：．

故选：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

8．【分析】由两个企业污水排放量与时间的关系图象结合平均变化率与瞬时变化率逐一分析四个命题得答案．

【解答】解：设甲企业的污水排放量与时间的关系为，乙企业的污水排放量与时间的关系为，

对于①，在这段时间内，甲企业的污水治理能力为，

乙企业的污水治理能力为：．

由图象可知，，

，

即甲企业的污水治理能力比乙企业强，故①正确；

对于②，由图可知，小于在的排放量不是最高，

在时刻，乙企业的排放量不是最高，故②不正确；

对于③，在时刻，甲，乙两企业的污水排放都小于污水达标排放量，

在时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标，故③正确；

对于④，由图可知，甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强，

故④错误．

正确结论的序号是①③．

故选：．

【点评】本题考查利用数学解决实际生活问题，考查学生的读图视图能力，是中档题．

二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）

9．【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0即可求解．

【解答】解：在函数中，有，解得，

故其自变量的取值范围是．

故答案为．

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

10．【分析】将看作已知数求出，即可确定出方程的一组解．

【解答】解：方程，

解得：，

当时，，

则方程一组解为．

故答案为：（答案不唯一）．

【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．

11．【分析】根据主视图是矩形，写出一个立方体即可．

【解答】解：圆柱的主视图是矩形，

主视图是矩形的可以是圆柱，

故答案为：圆柱（答案不唯一）．

【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，了解主视图是矩形的几何体是解答本题的关键，难度不大．

12．【分析】观察表格发现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，用这个常数表示概率即可．

【解答】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，正面向上的频率逐渐稳定到0.35附近，

故纪念币出现“正面朝上”的概率为0.35，

故答案为：0.35；

【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．

13．【分析】由图形可看出，，，，，可看作一个五边形的外角，由多边形外角和定理可知，．

【解答】解：由图可知，．

故答案为：．

【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，任意多边形的外角和为．

14．【分析】联立正比例函数和反比例函数解析式，可得两个交点关于原点对称，可得另一个交点坐标为．

【解答】解：联立，可得，

，

其中一个交点坐标为，

另一个交点坐标为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点坐标，经过计算会发现，两个交点关于原点对称．

15．【分析】由图形可知，可得的面积的面积，进而可得．

【解答】解：如图，

由图形可知，，，

，

，

，

，

，

同理可得，

，

，

，

，

．

故答案为：．

【点评】本题主要考查相似三角形的判定，同底等高的三角形面积相等，观察图形得出是解题关键．

16．【分析】由相对等待时间的定义可知，上一笔订单完成的时间越短，则此订单的“相对等待时间”越小．

【解答】解：由题意知：

上一笔订单完成的时间越短，

则此订单的“相对等待时间”越小，

因此，“相对等待时间”之和最小的生产顺序是，，，

故答案为：丙、乙、甲．

【点评】此题考查新定义，对定义的理解是解本题的关键．

三.解答题（共12小题，17-25题，每小题5分，26题7分，27，28每小题5分，共68分）

17．【分析】直接利用二次根式以及负整数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

【解答】解：原式

．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．

【解答】解：，

由①得：，

由②得，，

不等式组的解集为，

解集在数轴上表示为：

．

【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．

19．【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）根据内错角相等两直线平行证明即可．

【解答】解：（1）图形如图所示．

（2）证明：连接

（相等的弦所对的劣弧相等）．

（同弧所对的圆周角相等）．

（内错角相等两直线平行）．

故答案为：（相等的弦所对的劣弧相等），（同弧所对的圆周角相等），（内错角相等两直线平行）．

【点评】本题考查作图复杂作图，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

20．【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解不等式即可．

（2）根据（1）中的取值范围，任取一的值，然后解方程即可．

【解答】解：（1）关于的方程有两个不相等的实数根．

△，

解得．

（2）由（1）知，实数的取值范围为，故取，则

，即，

解得，，．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．

21．【分析】根据等式的性质得出，进而由全等三角形的判定可求解．

【解答】证明：，

，

即，

在与中，

，

．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．

22．【分析】（1）把点代入即可；

（2）找到临界点，求出当函数过时，的值，再结合图象可得出的取值范围．

【解答】解：（1）将点代入，

可得．

（2）已知函数，过点，

当时，，

当过时，可得，

解得，

当时，函数的值大于的值，

当时，函数的图象在的上方，如图所示，

的取值范围为：．

【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式；一次函数与反比例函数交点问题；还用到数形结合的数学思想．

23．【分析】（1）要证明四边形是平行四边形，已知，只需要证明即可；由条件可知，推理可得，由内错角相等两直线平行可知，可得结论；

（2）延长交于点，由等腰三角形三线合一可得点是的中点，是的中位线，则，进而，设，分别表达，及，在中，表达的值．

【解答】解：（1）证明：如图，

点是的中点，，

是斜边的中线，

，

又，，

，

，

，

，

，

又，

，

，

，

，

又，

四边形为平行四边形．

（2）如图，延长交于点，

，，，

，且点为的中点，

点是的中点，点是的中点，

是的中位线，

，

又，

，

，

设，则，，

，

又，

．

【点评】本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数值等内容．

24．【分析】（1）根据中位数的意义求解即可；

（2）根据各组的频数可得答案；

（3）①根据两个自治区年中央财政脱贫专项资金的变化情况的折线统计图可直观得到，自治区的比自治区的变化、波动要大，可得答案；

②根据两个自治区的资金增减变化情况得出结论．

【解答】解：（1）将这28个省、直辖市、自治区分配扶贫资金额度从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为（亿元），因此中位数是37.5亿元，

故答案为：37.5；

（2）由条形统计图可知，的有2个省，的有2个省，的有1个省，而95亿元在且只有1个省，因此它位于第六名；

故答案为：六；

（3）①由两个自治区年中央财政脱贫专项资金变化情况的折线统计图可直观得到，自治区的比自治区的变化、波动要大，所以，

故答案为：①；

②由折线统计图可知：对自治区年中央财政脱贫专项资金逐年增加，且增加的幅度较大，说明中央对自治区扶贫情况加大力度和资金支持，

自治区由于扶贫资金的投入，脱贫效果比较明显．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关键．

25．【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，进而可以证明结论；

（2）过点作于点，根据．可得三角形和三角形是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出和的长，进而可得的长．

【解答】（1）证明：如图，连接，

，

，

，

，

，是半径，

是的切线；

（2）如图，过点作于点，

，，

，

，，

，

，

．

答：边的长为．

【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，点与圆的位置关系，解决本题的关键是综合运用以上知识．

26．【分析】（1）由二次函数的对称轴，求出对称轴；

（2）由二次函数与轴有两个交点，△，求根公式求出，，且，求出的取值范围．

【解答】解：（1），

，，，

函数的对称轴为：；

（2）由求根公式得：

，

，

，

，

，

即，

，即，

二次函数的图象与轴交于不重合两点，，，，

△，

解得或，

①当时，，解之得或（舍去），

，

②当时，，即恒成立，

．

③小于0的时候，需要小于4，所以时应该保证，即，

所以．

的取值范围：或．

解法二：（2），

对称轴为，顶点坐标为，

，

又，

解得：，

①当时，二次函数开口向上，如图：

二次函数的图象与轴交于不重合两点，，，，

顶点在轴的下方，时，，

则，

解得：；

②当时，二次函数开口向下，如图：

顶点在轴的上方，时，，

则，

解得：．

的取值范围：或．

【点评】本题考查了，二次函数对称轴，二次函数与一元二次方程的关系，判别式△，解不等式等知识．关键是二次函数的应用．

27．【分析】（1）由旋转可得，是等边三角形，，则，所以．

（2）延长至点，使得，连接，，，，可证是等边三角形且点是的中点，则有，．

【解答】解：（1）有题意可得，，且，

是等边三角形，

，

，

又，

，

．

（2）猜想，，，理由如下：

如图2，延长至点，使得，连接，，，，，

，，

四边形是平行四边形，

，，

，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，，

，

是等边三角形，

，

，．

【点评】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定等；构造合适辅助线是解题关键．

28．【分析】（1）根据题干中线段的”直角长度“计算公式代入求值即可，②中去绝对值注意讨论正负即可．

（2）结合图象和坐标系综合考虑即可找出答案．

【解答】解：（1）①，，

，

②，，

，

，

或，

（2）如图所示：

，，

，，，

当时，不存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，发现不存在“和距三角形”，

当时，恒成立，发现存在“和距三角形”，但时，三点共线，不能构成三角形，

锐角三角形不可能成为“和距三角形“，

故：且，

（3）依题意，点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆，且锐角三角形不可能成为“和距三角形“，如图所示：

因此：或．

【点评】本题考查一次函数和坐标变化，属于一次函数综合题，综合性较强，是中考压轴题型．