2023年广东省珠海市梅华中学三模数学试题（含答案）

珠海市梅华中学2022—2023学年第二学期九年级6月模拟检测

数学试卷

说明： 1．全卷共4页，考试时间为90分钟，满分120分。

 2．客观题一律在答题卡上用2B铅笔将所选答案涂黑.

3．书写个人信息和答主观题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；不准使用涂改液和涂改带。

         4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡上交，试卷自己妥善保存。

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1．2023的倒数是（　　）  A．﹣2023   B．2023    C．     D．

2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．    B． C．   D．

3．我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至2023年2月3日，天然林面积增加3.23亿亩、蓄积增加53亿立方米．数据“53亿”用科学记数法表示为（　　）

A．5.3×107   B．53×108  C．5.3×108  D．5.3×109

4．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（　　）

A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 

B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 

C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 

D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度

5．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠ABC＝30°，则∠D的大小为（　　）

A．100° B．110° C．115° D．120°

6．下列计算正确的是（　　）

A．  B．（﹣2x2）3＝﹣6x6  C．x2+x2＝2x4   D．（x2）4＝x8

7．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如右表：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（　　）

A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3

8．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（  ）

A．﹣2022     B．2021    C．2022    D．2023

9．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　）

A．28         B．24      C．21        D．14

10．如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点D运动，规定当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为x（s），PQ的长度为y（cm），y与x的对应关系如图②所示，最低点为（2，3）．对于下列说法：①AB＝4cm，②CD＝6cm，③BC＝3cm，④当x＝时，PQ∥BC．正确的说法有（　　）

A．1个 B．2个 

C．3个 D．4个

二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.

11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　      　．

12．若扇形的面积为4π，半径为2，则扇形的弧长是　     　．

13．某商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为　      　　     　元．

14．如图是梅华中学校门口的双翼闸机，当它的双翼完全打开时，双翼边缘点A与B之间的距离为12cm，AC＝BD＝56cm，∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 　     　cm．

15．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是 　      　．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）

16．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．

17．先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中．

18．如图，AB为⊙O的一条弦．

（1）用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若（1）中的CD的长为2，AB的长为8，求⊙O的半径．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

19．“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答

（1）本次参加抽样调查的居民有　人；

（2）将两幅不完整的图补充完整；

（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D饺的人数；

（4）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他吃到C饺的概率．

20．某校计划购买A，B两种型号的教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的1.5倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台．

（1）求A，B型仪器单价分别是多少元；

（2）该校需购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的，那么A型仪器最少需要购买多少台？

21．如图，，，为内一点，将绕点顺时针旋转后得到，连接，．

（1）求证：；

（2）若，，三点共线，，，求的长．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）

22．如图，已知点B坐标为（1，0），点C与点B关于原点对称，过点B作AB⊥x轴，交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点A，若ABC的面积为1．

（1）求k的值；

（2）如图2，点D在第二象限，△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，tan∠ADC＝，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，点M为x轴上一点，点N为坐标平面内一点，若四边形AMDN为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

．

23．如图，抛物线y＝x2+mx（m＜0）交x轴于O，A两点，顶点为点B．

（1）求△AOB的面积（用含m的代数式表示）；

（2）直线y＝kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点C作CE∥AB交x轴于点E．

①若∠OBA＝90°，2＜＜3，求k的取值范围；

②求证：DE∥y轴.

2023年广东省珠海市香洲区梅华中学中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.

1．故选：C．

【点评】本题考查了倒数，解题的关键是掌握倒数的定义．

2．故选：C．

【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握它们的概念是关键．

3．故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．故选：C．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．

5．故选：D．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．

6．故选：D．

【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，二次根式的化简，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

7．故选：A．

【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

8．故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

9．故选：D．

【点评】此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出OE是线段BD的中垂线．

10．故选：A．

【点评】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了勾股定理，关键是对图象上三个点的坐标的理解．

二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.

11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 　x≠7　．

【考点】分式有意义的条件．版权所有

【专题】分式；符号意识．

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．

【解答】解：若代数式有意义，

则x﹣7≠0，

解得：x≠7．

故答案为：x≠7．

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．

12．若扇形的面积为4π，半径为2，则扇形的弧长是　4π　．

【分析】根据S扇形＝lR，可得出此扇形的弧长．

【解答】解：由题意得：R＝2，S扇形＝4π，

故可得：4π＝l×2，

解得：l＝4π．

故答案为：4π．

【点评】本题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，难度一般．

13．某商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为　240　元．

【分析】设这种商品每件的进价为x元，根据题意列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．

【解答】解：设这种商品每件的进价为x元，

根据题意得：330×80%﹣x＝10%x，

解得：x＝240，

则这种商品每件的进价为240元．

故答案为：240

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．

14．如图是梅华中学校门口的双翼闸机，当它的双翼完全打开时，双翼边缘点A与B之间的距离为12cm，AC＝BD＝56cm，∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 　68　cm．

【分析】如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．求出CE，EF，DF即可解决问题．

【解答】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．

∵AB∥EF，AE∥BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∵∠AEF＝90°，

∴四边形AEFB是矩形，

∴EF＝AB＝12（cm），

∵AE∥PC，

∴∠PCA＝∠CAE＝30°，

∴CE＝AC•sin30°＝28（cm），

同法可得DF＝28（cm），

∴CD＝CE+EF+DF＝28+12+28＝68（cm），

故答案为：68．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．

15．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，若CD∥BE，∠1＝20°，则∠2的度数是 　40°　．

【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性即可得到∠1＝∠3＝∠4＝20°，进而得出∠2＝40°．

【解答】解：如图

分别延长EB、DB到F，G，

由于纸带对边平行，

∴∠1＝∠4＝20°，

∵纸带翻折，

∴∠3＝∠4＝20°，

∴∠DBF＝∠3+∠4＝40°，

∵CD∥BE，

∴∠2＝∠DBF＝40°．

故答案为：40°．

【点评】本题考查平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，内错角相等．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题8分，共24分）

16．计算：|﹣|﹣（4﹣π）0+2sin60°+（）﹣1．

【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质分别化简得出答案

【解答】解：原式＝﹣1+2×+4＝﹣1++4＝3+．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

17．先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中．

【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．

【解答】解：原式＝x2﹣9﹣x2+2x

＝2x﹣9，

当x＝﹣1时，原式＝2（﹣1）﹣9＝2﹣11．

【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．

18．如图，AB为⊙O的一条弦．

（1）用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若（1）中的CD的长为2，AB的长为8，求⊙O的半径．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）利用勾股定理求出BC，设OB＝OD＝r，则有r2＝（r﹣2）2+42，推出r＝5．

【解答】解：（1）图形如图所示．

（2）∵OD⊥AB，

BC=AC=4，设OB＝OD＝r，则有r2＝（r﹣2）2+42，

∴r＝5，

∴⊙O的半径为5．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

19．“春节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“饺子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅饺、牛肉馅饺、虾肉馅饺、素馅饺（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味饺子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．

请根据以上信息回答

（1）本次参加抽样调查的居民有　600　人；

（2）将两幅不完整的图补充完整；

（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D饺的人数；

（4）若有外型完全相同的A、B、C、D饺子各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他吃到C饺的概率．

【分析】（1）根据B类有60人，所占的百分比是10%即可求解；

（2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得C类型的人数，然后根据百分比的意义求出A组和C组所占的百分比，将两幅不完整的图补充完整即可；

（3）由居民区总人数乘以爱吃D饺的人所占的百分比即可；

（4）画树状图，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）本次参加抽样调查的居民人数是60÷10%＝600（人）；

故答案为：600；

（2）A组所对应的百分比是×100%＝30%，

C组的人数是600﹣180﹣60﹣240＝120（人），所占的百分比是×100%＝20%，

将两幅不完整的图补充完整如下：

（3）若居民区有8000人，则估计爱吃D饺的人数为8000×40%＝3200（人）；

（4）画树状图如图：

共有12个等可能的结果，小王吃到C饺的结果有6个，

∴小王吃到C饺的概率为＝．

【点评】此题考查了列表法与树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

20．某校计划购买A，B两种型号的教学仪器，已知A型仪器价格是B型仪器价格的1.5倍，用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台．

（1）求A，B型仪器单价分别是多少元；

（2）该校需购买两种仪器共100台，且A型仪器数量不少于B型仪器数量的，那么A型仪器最少需要购买多少台？

【分析】（1）设B型仪器的单价是x元，则A型仪器的单价是1.5x元，利用数量＝总价÷单价，结合用450元购买A型仪器的数量比用240元购买B型仪器的数量多2台，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B型仪器的单价，再将其代入1.5x中，即可求出A型仪器的单价；

（2）设购买m台A型仪器，则购买（100﹣m）台B型仪器，根据购买A型仪器数量不少于B型仪器数量的，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而得到m的最小值．

【解答】解：（1）设B型仪器的单价是x元，则A型仪器的单价是1.5x元，

根据题意得：﹣＝2，

解得：x＝30，

经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，

∴1.5x＝1.5×30＝45．

答：A型仪器的单价是45元，B型仪器的单价是30元；

（2）设购买m台A型仪器，则购买（100﹣m）台B型仪器，

根据题意得：m≥（100﹣m），

解得：m≥20，

∴m的最小值为20，

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

21．如图，，，为内一点，将绕点顺时针旋转后得到，连接，．

（1）求证：；

（2）若，，三点共线，，，求的长．

【答案】（1）证明见解答过程；

（2）．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的全等；几何直观；推理能力

【分析】（1）由，将绕点顺时针旋转后得到，可得，，而，即知，故；

（2）由，，得，而，可得，即得，，根据，，，得，根据，，，得，设，则，有，即可解得．

【解答】（1）证明：，将绕点顺时针旋转后得到，

，，

，

，

；

（2）解：，，

，

，，三点共线，

，

由（1）知，

，

，

，

，，，

，

，，，

，

设，则，

，

解得或（舍去），

．

【点评】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）

22．如图，已知点B坐标为（1，0），点C与点B关于原点对称，过点B作AB⊥x轴，交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点A，若ABC的面积为1．

（1）求k的值；

（2）如图2，点D在第二象限，△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，tan∠ADC＝，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，点M为x轴上一点，点N为坐标平面内一点，若四边形AMDN为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

【分析】（1）由待定系数法即可求解；

（2）证明△DHC∽△CBA，得到DH＝6，CH＝3，即可求解；

（3）①当AD是对角线时，由中点坐标公式和AD＝MN列方程组即可求解；②当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AD＝MN或AN＝DM，同理可解．

【解答】解：（1）∵点B坐标为（1，0），点C与点B关于原点对称，则点C（﹣1，0），则BC＝2，

则ABC的面积＝BC•AB＝2×AB＝1，

解得：AB＝1，

即点A（1，1），

将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×1＝1；

（2）过点D作DH⊥x轴于点H，

∵∠DCH+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAB＝90°，

∴∠DCH＝∠CAB，

∵∠DHC＝∠CBA＝90°，

∴△DHC∽△CBA，

∴，

即，

解得：DH＝6，CH＝3，

∴点D（﹣4，6）；

（3）设点M（x，0），点N（s，t），由中点坐标公式和AD＝MN得：

，解得：，

即点N的坐标为：（﹣2，7）或（﹣1，7）；

综上，点N的坐标为：（﹣2，7）或（﹣1，7）

【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到矩形的性质、三角形相似、面积的计算，有一定的综合性，难度适中．

23．如图，抛物线y＝x2+mx（m＜0）交x轴于O，A两点，顶点为点B．

（Ⅰ）求△AOB的面积（用含m的代数式表示）；

（Ⅱ）直线y＝kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点C作CE∥AB交x轴于点E．

（ⅰ）若∠OBA＝90°，2＜＜3，求k的取值范围；

（ⅱ）求证：DE∥y轴．

【分析】（I）先根据顶点式可得点B的坐标，令y＝0，解方程可得点A的坐标，从而得OA＝﹣m，根据三角形面积公式可得△AOB的面积；

（II）（i）如图2，作BF⊥AO，可证明△EOC∽△AFB，列比例式，根据△OAB为等腰直角三角形和点B的坐标，列关于m的方程，可得结论；

（ii）先求BC的解析式确定点C的坐标，根据方程组的解析可得点D的横坐标，根据CE∥AB确定CE的解析式，根据y＝0可得E的坐标，由D和E的横坐标相等可得结论．

【解答】解：（Ⅰ）如图1，y＝x2+mx＝，

∴点B的坐标为，

由x2+mx＝0，得x1＝0，x2＝﹣m，

∴A（﹣m，0），

∴OA＝﹣m，

∴S△OAB＝＝＝﹣；

（Ⅱ） （ⅰ）如图2，作BF⊥x轴于点F，

则∠AFB＝∠EOC＝90°．

∵CE∥AB，

∴∠OEC＝∠FAB¸

∴△EOC∽△AFB．

∴．

∵，

∴，

∵抛物线的顶点坐标为B（，），∠OBA＝90°，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴，

∵m≠0，

∴m＝﹣2，

∴B（1，﹣1），

∴BF＝1，

∴2＜OC＜3，

∵点C为直线y＝kx+b与y轴交点，

∴2＜﹣b＜3，

∵直线y＝kx+b（k＞0）过点B，

∴k+b＝﹣1，

∴﹣b＝k+1，

∴2＜k+1＜3，

∴1＜k＜2；

（ⅱ）如图3，∵直线y＝kx+b（k＞0）过点B（，），

∴，

∴，

∴y＝kx+，

∴C（0，），

由x2+mx＝kx+，得：

x2+（m﹣k）x﹣＝0，

△＝（m﹣k）2+4×＝k2，

解得x1＝，x2＝，

∵点D不与点B重合，

∴点D的横坐标为，

设直线AB的表达式为y＝px+q，则：．

解得．，

∴直线AB的表达式为y＝﹣，

∵直线CE∥AB，且过点C，

∴直线CE的表达式为y＝+，

当y＝0时，x＝，

∴E（，0），

∴点D，E的横坐标相同，

∴DE∥y轴．

【点评】本题考查了二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，本题的难点是方程或方程组中含有字母系数，所以在解方程或方程组，计算量比较大．

声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/27 16:42:56；用户：管永梅；邮箱：15916228435；学号：38089723

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