2023年广东省珠海市香洲区梅华中学中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年广东省珠海市香洲区梅华中学中考数学一模试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省珠海市香洲区梅华中学中考数学一模试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1．（3分）下列实数中，是有理数的是（　　）
A． B．π
C． D．0.131131113…
2．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）一个不透明的布袋里装有8个只有颜色不同的球，其中3个白球，1个红球，4个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠B，∠C＝∠D
C．AB＝AD，CB＝CD D．AB∥CD，AB＝CD
5．（3分）下列整式的计算正确的是（　　）
A．2a+3b＝5ab B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．a7÷a＝a6 D．（a+b）2＝a2+b2
6．（3分）如图，点A，B，C，D是⊙O上的点，若∠BCA＝50°，则∠BDA等于（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（　　）

A． B．1 C． D．
9．（3分）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠CED＝15°，则∠F的度数是（　　）

A．15° B．25° C．45° D．60°
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图象经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论，其中正确的有（　　）
①abc＜0；
②b2﹣4ac＜0；
③8a+c＜0；
④9a+3b+2c＜0；
⑤点C（x1，y1）、D（x2，y2）是抛物线上的两点，若x1＜x2，则y1＜y2；
⑥若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．（3分）正六边形的每个内角的度数是 　 　度．
12．（3分）已知|x+2y|+（x﹣4）2＝0，则x+y＝　 　．
13．（3分）用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为　 　cm．
14．（3分）已知反比例函数的图象位于一、三象限，则m的取值范围为 　 　．
15．（3分）如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则阴影部分的面积是 　 　（结果保留π）．

三、解答题（-）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．

17．（8分）（1）计算：（﹣1）﹣2﹣（π﹣3）0+|﹣2|+tan60°；
（2），选一个适合的数代入求值．
18．（8分）如图，△OBC的顶点坐标分别为O（0，0），B（3，3），C（1，3）．将△OBC绕原点O逆时针旋转90°的图形得到△OB1C1．
（1）画出△OB1C1的图形．
（2）将点P（m，2）绕原点O逆时针旋转90°，求点P旋转后对应点P1的坐标．（用含m的式子表示）

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）为落实中小学课后服务工作的要求，某校开设了四门校本课程供学生选择：A（合唱社团）、B（陶艺社团）、C（数独社团）、D（硬笔书法），七年级共有120名学生选择了C课程．为了解选择C课程学生的学习情况，张老师从这120名学生中随机抽取了30名学生进行测试，将他们的成绩（百分制，单位：分）分成六组，绘制成频数分布直方图．
（1）80～90分这组的数据为：81、89、84、84、84、86、85、88、83，则这组数据的中位数是 　 　分、众数是 　 　分；
（2）根据题中信息，可以估算七年级选择C课程的学生成绩在70～90分的人数是 　 　人；
（3）七年级每名学生必须选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，第一门都选了课程C．他俩决定随机选择第二门课程，请用列表法或树状图的方法求他俩同时选到课程A或课程B的概率．

20．（9分）我国古代数学著作《九章算术》中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问甲、乙二人各带了多少钱？
（1）求甲、乙两人各带的钱数；
（2）若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数（单位：元）恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为2.5元/本．由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费50元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？
21．（9分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2．请仅就图2的情形解答下列问题．

（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；
（2）若⊙O的半径为3，AP＝4，求BP的长．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．

（1）推理证明：
在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的正确性．九年级学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1，在Rt△ABC中，若CD是斜边AB上的中线，则，请你用矩形的性质证明这个结论的正确性．
（2）迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
①如图2，在线段BD异侧以BD为斜边分别构造两个直角三角形△ABD与△CBD，E、F分别是BD、AC的中点，判断EF与AC的位置关系并说明理由；
②如图3，▱ABCD对角线AC、BD相交于点O，分别以AC、BD为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形△ACE与△BDE，求证：▱ABCD是矩形．

23．（12分）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；
（3）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值．

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1．【分析】根据无限不循环小数是无理数，分数和整数是有理数进行分析即可．
【解答】解：A、是无理数，故此选项错误；
B、π是无理数，故此选项错误；
C、是有理数，故此选项正确；
D、0.131131113…是无理数，故此选项错误；
故选：C．
2．【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可．
【解答】解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形，
∴C选项中的图形为中心对称图形，
故选：C．
3．【分析】用黄球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：从布袋里任意摸出1个球，是黄球的概率为＝，
故选：A．
4．【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，逐一验证即可得出结论．
【解答】解：如图示，根据平行四边形的判定方法，只有D正确．
故选：D．

5．【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝﹣8a6b3，不符合题意；
C、原式＝a6，符合题意；
D、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意，
故选：C．
6．【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：∵∠BCA和∠BDA是所对的圆周角，且∠BCA＝50°，
∴∠BDA＝∠BCA＝50°，
故选：C．
7．【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故选：B．
8．【分析】根据矩形的性质得出DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，求出DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，求出FH＝BH，根据勾股定理求出BF，求出FH＝BH＝，根据三角形的中位线求出EH，根据相似三角形的判定得出△EHG∽△DFG，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，
∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
∴DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，
∵EH∥CD，
∴FH＝BH，
∵BE＝CE，
∴EH＝CF＝，
由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∴BH＝FH＝BF＝，
∵EH∥CD，
∴△EHG∽△DFG，
∴，
∴＝，
解得：GH＝，
故选：A．
9．【分析】利用平行线的性质及三角形的内角和求解．
【解答】解：
∵∠B＝90°，∠A＝30，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CED+∠EDB，
∴∠EDB＝45°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠FDH＝45°，
∵EF∥CD，
∴∠F＝∠FDH＝45°．
故选：C．
10．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，﹣＞0，
∴abc＜0，
故①符合题意．

②根据抛物线的轴对称性质知，该抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0．
故②不符合题意；

③∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
∵当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0．
∴a﹣b+c＝3a+c＝0，
∵a＜0，
∴8a+c＜5a+3a+c＜0，
故③符合题意；

④由于图象过点（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，
则图象也过点（3，0），
∴当x＝3时，y＝0，
即9a+3b+c＝0．
∵c＞0，
∴9a+3b+2c＞0．
故④不符合题意；

⑤点C（x1，y1）、D（x2，y2）是抛物线上的两点，若1＜x1＜x2时，则y1＞y2．
故⑤不符合题意；

⑥由于图象过点（﹣3，n），
由对称性可知：图象也过点（5，n），
令y＝n，
∴ax2+bx+c＝n有两个解，分别是﹣3，5，
故⑥符合题意．
故选：B．

二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11．【分析】利用多边形的内角和为（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，再结合其边数即可求解．
【解答】解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．
12．【分析】利用绝对值的定义以及偶次方的性质得出x，y的值进而代入求出即可．
【解答】解：∵|x+2y|+（x﹣4）2＝0，
∴x﹣4＝0，x+2y＝0，
解得：x＝4，y＝﹣2，
则x+y＝4﹣2＝2．
故答案为：2．
13．【分析】圆锥的底面圆半径为rcm，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得
2πr＝，
解得r＝cm．
故选：．
14．【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于一、三象限，
∴m﹣1＞0，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
15．【分析】已知BC为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】解：连接CD，
在Rt△ACB中，AB＝＝4，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB＝90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD＝2，
∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×42﹣×（2）2＝4π﹣4．
故答案为：4π﹣4．

三、解答题（-）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
16．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣3，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
在数轴上表示如下：
．
17．【分析】（1）依据负整数指数幂、0次幂、绝对值即特殊角的三角函数值进行化简计算即可；
（2）先对分式进行化简，根据分式有意义得到x﹣2≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，即x≠±2且x≠1，当x＝0时代入计算即可．
【解答】解：（1）
＝
＝2；
（2）
＝
＝•
＝，
∵x﹣2≠0且x﹣1≠0且x+2≠0，
∴x≠±2且x≠1，
当x＝0时，
原式＝．
18．【分析】（1）分别作出点B（3，3），C（1，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点B1（﹣3，3），C1（﹣3，1），顺次连接O、B1、C1即可；
（2）按照（1）中点的旋转规律，即可写出点P旋转后对应点P1的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△OB1C1即为所求；

（2）由（1）可得点B（3，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点B1（﹣3，3），C（1，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点C1（﹣3，1），
∴将点P（m，2）绕原点O逆时针旋转90°后对应点P1的坐标为（﹣2，m）．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19．【分析】（1）根据中位数和众数的定义分别进行求解即可；
（2）用总人数乘以70～90分的人数所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出他俩同时选到课程A或课程B的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）把这些数从小到大排列为：81、83、84、84、84、85、86、88、89，
则这组数据的中位数是84分，
∵84出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是84分；
故答案为：84，84；

（2）根据题意得：
120×＝64（人），
答：估算七年级选择C课程的学生成绩在70～90分的人数是64人；
故答案为：64；

（3）根据题意列树状图如下：

共有9种等可能的结果数，其中他俩同时选到课程A或课程B的概率有2种，
则他俩同时选到课程A或课程B的概率是．
20．【分析】（1）设甲有钱x，乙有钱y，根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，列二元一次方程组，求解即可；
（2）分别求出单独购买和合起来购买的数量，进一步求解即可．
【解答】解：（1）设甲有钱x，乙有钱y，
根据题意，得，
解得，
答：甲有钱37.5，乙有钱25；
（2）37.5÷2.5+25÷2.5＝25（本），
（37.5+25）÷（2.5×0.8）＝31.25，取正整数31本，
31﹣25＝6（本），
答：他们合起来购买可以比单独购买多6本作业本．
21．【分析】（1）利用切线得性质，得到直角三角形锐角互余，利用圆周角与圆心角得关系即可证明；
（2）结合（1）证明△PDO～△OPA，利用相似三角形求得关系，求出PD，OD，最后在Rt△PBD中运用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OP，
∵AP与⊙O相切，
∴OP⊥AP，
∴∠APO＝90°，
∴∠PAO+∠POA＝90°，OM⊥ON，
∴∠POQ+∠POA＝90°，
∴∠POQ＝∠PAO，
∵B恰好落在⊙O上，
∴，
∴∠PAO＝2∠PBO．

（2）解：连接CP，过P作PD⊥BC于点D，∠PDO＝90°，
由（1）可知：∠POQ＝∠PAO，∠APO＝90°，
∴△PDO～△OPA，
∴，
∵AO2＝AP2+OP2，⊙O的半径为3，AP＝4，
∴AO＝5，
∴，
∴，
∴，
∴Rt△PBD中，PB2＝PD2+BD2，
∴，
∴，

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）
22．【分析】（1）延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE，BE，利用矩形的性质得▱ACBE是矩形，则AB＝CE，即可证明结论；
（2）①连接AE，CE，利用（1）中结论可得AE＝BD，CE＝BD，则AE＝CE，再根据等腰三角形的性质可得结论；
②连接EO，利用（1）中结论可得EO＝AC，EO＝BD，则AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．
【解答】（1）证明：如图，延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE，BE，

∵CD为斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∵CD＝DE，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴▱ACBE是矩形，
∴AB＝CE，
∴CD＝AB；
（2）①解：EF垂直平分AC，理由如下：
连接AE，CE，

在Rt△ABD中，点E为斜边BD的中点，
∴AE＝BD，
在Rt△BCD中，点E为斜边BD的中点，
∴CE＝BD，
∴AE＝CE，
∵点F为AC的中点，
∴EF垂直平分AC；
②证明：连接EO，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O为AC、BD的中点，
∵∠AEC＝90°，点O为AC的中点，
∴EO＝AC，
∵∠BED＝90°，点O为BD的中点，
∴EO＝BD，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD为矩形．



23．【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点D在x轴上方时，则可知当CD∥AB时，满足条件，由对称性可求得D点坐标；当点D在x轴下方时，可证得BD∥AC，利用AC的解析式可求得直线BD的解析式，再联立直线BD和抛物线的解析式可求得D点坐标；
（3）可设出P点坐标，表示出△PAB、△AFO、△COB，利用S1﹣S2＝S△PAB﹣S△AFO﹣S△BOC可表示成关于P点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，

∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO＝∠DBA，即点D满足条件，
∴D（3，2）；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA＝∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C（0，2），
∴可设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k＝2，
∴直线AC解析式为y＝2x+2，
∴可设直线BD解析式为y＝2x+m，把B（4，0）代入可求得m＝﹣8，
∴直线BD解析式为y＝2x﹣8，
联立直线BD和抛物线解析式可得，
解得 或，
∴D（﹣5，﹣18）；
综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；
（3）△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PF+PF•sin∠PFE+PF•cos∠PFE＝PF（1+sin∠PFE+cos∠PFE），
∵∠PFE是定值，
∴当PF最大时，△PEF的周长最大，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（4，0），C（0，2）代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t2+t+2），F（t，﹣t+2）
∴PF＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）
＝﹣t2+2t
＝﹣（t﹣2）2+2，
∴当t＝2时，PF最大值为2，

∵B（4，0），C（0，2），
∴OB＝4，OC＝2，BC＝＝2，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE＝∠OCB，
∴sin∠PFE＝，cos∠PFE＝，
∴△PEF的周长最大值为 PF（1+sin∠PFE+cos∠PFE）＝2×（1++）＝2+．