2023年广东省珠海市斗门区城东中学中考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省珠海市斗门区城东中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列实数、、、中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  北京故宫的占地面积约为，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一块含有的直角三角板和直尺如图放置，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 平行四边形

6.  以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，若≌，则下列结论中一定成立的是(    )

 

A.  B.
C.  D.

8.  如图，内接于，，连接，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知，是方程的两根，则代数式的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  若，则 ______ ．

13.  若，则的值是           ．

14.  已知点、都在反比例函数的图象上，则          填“”或“”

15.  如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  解方程：．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共个，已知每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元．
若购买这两类球的总金额为元，求篮球，足球各买了多少个？
若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？

19.  本小题分
为加强未成年人思想道德建设．某校在学生中开展了“日行一孝”活动．活动设置了四个爱心项目：项我为父母过生日，项我为父母洗洗脚，项我当一天小管家，项我与父母谈谈心，要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：
这次抽样调查的样本容量是______，补全图中的条形统计图．
在图的扇形统计图中，项所占的百分比为，则的值为______，项所在扇形的圆心角的度数为______度．
该校参加活动的学生共人，请估计该校参加项的学生有多少人？

 

20.  本小题分
如图，，是四边形的对角线上两点，，，求证：
≌；
四边形是平行四边形．

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点．
求一次函数的表达式；
求的面积．
 

22.  本小题分
如图，在中，点是边上一点，以为直径的与相切于点，，点为与的交点，连接．
求证：是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线图象经过，，三点。
求，两点的坐标；
求抛物线的解析式；
若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值。

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数、、、中，无理数只有，
故选：．
由于无理数就是无限不循环小数，利用无理数的定义即可判定选择项．
本题主要考查学生对无理数和有理数定义的理解及区分．初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查科学记数法绝对值较大的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此解答即可．
【解答】
解：将用科学记数法表示为．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
运用同底数幂乘除法法则、幂的乘方进行计算．
本题考查了整式的运算，正确利用幂的运算法则进行计算是解题的关键．
【解答】
解：，故A正确，本选项符合题意；
B.，故B错误，选项不符合题意；
C.不能合并，故C错误，选项不符合题意；
D.，故D错误，选项不符合题意．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：如图，延长，交于点，

，，
，
在中，，
，
，
故选：．
根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理即对顶角相等是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转度后它的两部分能够重合；
即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键根据几何体的正面看得到的图形，可得答案．
【解答】
解：、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、主视图是正方形，俯视图是正方形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：≌，
，，，，
，
即故A，，选项错误，选项正确，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理可得的度数，再进一步根据等腰三角形和三角形的内角和定理可求解．
此题综合运用了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理以及圆周角定理．一条弧所对的圆周角等于
它所对的圆心角的一半．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，，，，
，，都错误，D正确，
故选D．
先根据数轴上各点的位置判断出，的符号及与的大小，再进行计算即可判定选择项．
此题主要考查了实数的大小的比较，数轴等．
 

10.【答案】 

【解析】解：是方程的根，
，
，
，
，是方程的两根，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，还考查了一元二次方程的解及代数式求值．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
先提取公因式，然后再应用平方差公式即可．
本题主要考查提公因式与公式法因式分解，掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
【解答】
解：．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：，，，
，，
，，
．
故答案为：．
由得，，代入求解．
本题考查二次根式及绝对值的非负性，解题关键是熟练掌握二次根式及绝对值的非负性．
 

13.【答案】 

【解析】解：，



．
故答案为：．
把化简成，将整体代入即可求解．
此题考查了代数式的求值，整体代入是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大．反比例函数的图象在第二象限内，随的增大而增大，根据值的大小，得出值的大小．
【解答】
解：反比例函数的图象在二、四象限，而、都在第二象限，
在第二象限内，随的增大而增大，

．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：如图，取的中点，连接，，

矩形，，，
，，
点是的中点，
，
，
，点是的中点，
，
在中，，
当点在上时，，
的最大值为，
故答案为：．
取的中点，连接，，由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求的长，由三角形的三边关系可求解．
本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键．
 

16.【答案】解：方程的两边同乘，得
，
解得，
经检验，时，，
所以是原分式方程的解． 

【解析】根据解分式方程的步骤解答即可．
本题主要考查了解分式方程，熟练掌握把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：设购买篮球个，购买足球个，
依题意得：．
解得．
答：购买篮球个，购买足球个；
设购买了个篮球，
依题意得：
解得．
答：最多可购买个篮球． 

【解析】此题考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
设购买篮球个，购买足球个，根据题意，列出方程组，求解即可；
设购买了个篮球，则购买个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，列不等式求出的最大整数解即可．
 

19.【答案】解：；
项的人数，
补全条形统计图如图所示：

；；
人参加项的学生的人数为人． 

【解析】

【分析】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
根据题意可以求得调查的总人数，从而可以求得的人数，进而可以将条形统计图补充完整；
根据统计图可以得到调查的总人数，也可以得到部分所占的圆心角；
根据统计图可以求得人参加项的学生的人数．
【解答】
解：这次抽样调查的样本容量是人，
故答案为；
补全条形统计图见答案；
项所占的百分比为，则的值为，因此；
项所在扇形的圆心角的度数为；
故答案为；．
见答案．  

20.【答案】证明：，
．
在和中，
，
≌；

由知≌，
，，
．
四边形是平行四边形． 

【解析】利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等，这一判定定理容易证明≌．
由≌，容易证明且，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：把，代入，得，，
，，
把，代入，
得，解得
一次函数的表达式为；
如图，设一次函数的图象交轴于点，

一次函数的表达式为，令，则，
点，
，
． 

【解析】首先利用反比例函数表达式确定点，的坐标，然后利用待定系数法求一次函数表达式即可；
先求出的长，再利用求解即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数表达式，三角形的面积等知识，利用待定系数法求出一次函数表达式是解题关键．
 

22.【答案】证明：连接，与相交于点，
与相切于点，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
是的切线．
由可知，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
在和中，

≌，
，
，
的半径，
 

【解析】欲证明是的切线，只要证明，可以证明≌解决问题．
首先证明，然后利用扇形面积公式计算即可．
本题考查切线的性质和判定、扇形的面积公式，记住切线的判定方法和性质是解决问题的关键，学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：如图，的坐标为


故点、的坐标分别为、
抛物线的表达式为：
把代入得：
，解得：
故抛物线的表达式为：
直线过点，设其函数表达式为：
将点坐标代入上式并解得：
故直线的表达式为：
过点作轴的平行线交于点



轴

设点，则点


有最大值
当时，其最大值为
此时点 

【解析】求出，由，即可求解；
设抛物线的表达式为：，将点坐标代入即可求解；
求出直线的表达式，过点作轴的平行线交于点，则，即可求解。