江苏省苏州市常熟八校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

江苏省苏州市常熟八校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、函数的单调递减区间为(   )

A. B. C. D.

2、已知函数的图象在处的切线方程为，则(   )

A.-2    B.-1 C.0 D.1

3、苏州有很多闻名的旅游景点.现有两位游客幕名来到苏州，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件为“两人至少有一人选择丙景点”，事件为“两人选择的景点不同”，则条件概率(   )

A. B. C. D.

4、若函数在区间内单调递增，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

5、用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中为偶数的共有(   )

A.24个 B.30个 C.36个 D.42个

6、函数 的图象大致为(   )

A.  B.

C.   D.

7、有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有(   )

A.1512种 B.1346种 C.912种 D.756种

8、若对任意的，且，有，则m的取值范围是(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、下列命题正确的有(   )

A.若，则 B.若，则

C.  D.

10、已知，则(   )

A.展开式中所有项的二项式系数和为

B.

C.

D.

11、已知函数，则下列说法中正确的是(   )

A.的零点个数为4 B.的极值点个数为3

C.x轴为曲线的切线 D.若，则

12、已知函数，则以下结论正确的是(   )

A.函数的单调减区间是

B.函数有且只有1个零点

C. 存在正实数k，使得成立

D.对任意两个正实数，，且，若，则

三、填空题

13、已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为______.

14、二项式展开式的常数项为______.

15、已知函数，若函数至少有两个零点，则的取值范围是______.

16、已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若 ，则实数a的取值范围是______.

四、解答题

17、已知函数在处取得极值.

（1）求的单调区间；

（2）若在上恒成立，求实数c的取值范围.

18、7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名.

（1）若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？

（2）若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？

（3）现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？

19、下图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）.过O作，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知，（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：）.

（1）设，将S表示成x的函数；

（2）通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

20、一个猜谜语活动，有A和B两道谜语，小明猜对A谜语的概率为0.8，猜对获得奖金10元，猜对B谜语的概率为0.5，猜对获得奖金20元猜不出不给奖金.

（1）设事件A：“两道谜语中小明恰好答对一道”，求事件A发生的概率P（A）；

（2）如果按照如下规则猜谜：只有在猜对一道谜语的情况下，才有资格猜下一道.

①若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢？

②若小明已经获得30元奖金，此时主办方临时增加了一道终极谜语C，猜对奖金为60元，参赛者可以自行选择是否继续猜谜。假设小明猜对C谜语的概率为a，若小明不继续，可以直接拿走奖金，若继续且答错C谜语，则没收全部奖金.若继续且答对C谜语，即可获得A谜语、B谜语和C谜语的所有奖金.问：概率a至少为何值，值得小明同学继续猜谜？

21、已知二项式.

（1）若它的二项式系数之和为128.

①求展开式中二项式系数最大的项；

②求展开式中系数最大的项；

（2）若，求二项式的值被7除的余数.

22、已知函数.

（1）若，求的极值；

（2）讨论的单调性；

（3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值.

参考答案

1、答案：C

解析：函数 的定义域为:

因为,令并且, 得：,

所以函数 的单调递减区间 为.

故本题正确答案为C.

2、答案：B

解析：

3、答案：D

解析：由题设，甲乙选景点C的概率为，选其它景点的概率为，

则，，

所以.

故选：D

4、答案：D

解析：由函数 可得, 若在区间 内掸调递增, 则 在 内恒成立, 即 在 内恒成立. 令, 由, 得, 故, 即实数 a的取值范围是 故选 D.

5、答案：B

解析：在所给的数字中, 0 是一个比较特殊的数 字, 0 在末位和0不在末位结果不同,

末位是 0 时, 十位和百位从 4 个元素中选两个进 行排列有 种结果,

当末位不是 0 时, 只能从2 和 4 中选一个, 百位 从3个元素中选一个, 十位从三个中选一个共有 种结果,

根据分类计数原理知共有 种结果,

故选: B.

6、答案：C

解析：函数 的定义域为,

当 时, ，, 则,

又当 时,

, 可知 在 上单调递减.

由上可知, 函数 图象大致 为C.

故选: C.

7、答案：D

解析：先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色的涂料，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，根据分步乘法原理，共有种方法.先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色的涂料，则有种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，根据分步乘法原理，共有种方法.故不同的涂色方法共有756种.

8、答案：A

解析：因为对任意的，, 且  , 有,

所以,

即,

令，,

则,

易得 在  上单调递增, 在上单调递减,

又由题意得 在 单调递减, 故.

故选: A.

9、答案：BCD

解析：

10、答案：ABD

解析：

11、答案：BC

解析：，令，得到.

分别画出和的图像，如图所示：

由图知：有三个解，即有三个解，分别为，，.

所以，，为增函数，

，，为减函数，

，，为增函数，

，，为减函数.

所以当时，取得极大值为0，当时，取得极小值为，

当时，取得极大值为0，

所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确.

因为函数的极大值为0，所以x轴为曲线的切线，故C正确.

因为在为增函数，为减函数，

所以存在，满足，且，

显然，故D错误.

故选：BC

12、答案：ABD

解析：对于选项A ，定义域为 ,,令则∴函数的单调减区间是,即选项A正确；

对于选项B，恒成立，即函数y在上单调递减，，∴存在唯一的，使得，即选项B正确；

对于选项C，若,则．

令，则，令,则,

当时，单调递减，无最小值，

∴不存在正实数k，使得成立，即选项C错误；

对于选项D ，令，则

设，

在上单调递减，即.

令若成立，满足题意；

若，显然有成立.综上可知，选项D正确.

13、答案：3 

解析：设切点为,

函数 的导数为, 可 得切线的斜率为,

即,

解得, 即有.

故答案为: 3 .

14、答案：-672

解析：

15、答案：

解析：

16、答案：

解析：

17、答案：(1)的单调递减区间是，单调递增区间是

(2)

解析：（1），，又在处取得极值，

， ，

检验：当时，，，，

令，得，

当x变化时，，的变化情况如表所示.

在处取得极小值成立；

所以的单调递减区间是，单调递增区间是.

（2）由（1）知在单调递减，单调递增，

又，，

则，.

若在上恒成立，则.

即，解得或，

所以实数c的取值范围是.

18、答案：(1)960种

(2)3720种

(3)126种

解析：（1）先把除两位女生和老师这3人外的4人排好，有种排法，由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有种排法，最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法.

故排法共有（种）.

（2）法一  甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，

共有 （种）.

法二  7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，

共有（种）.

（3）法一  16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法种.

法二  先分发给每位学生2个口罩，再将剩下4只相同的口罩分给6位同学，有五类分法：

1.四只口罩分给1人，有种分法；

2.四只口罩分成2，1，1三份分给3人，有 种分法；

3.四只口罩分成2，2两份分给2人，有种分法；

4.四只口罩分成3，1两份分给2人，有种分法；

5.四只口罩分成1，1，1，1四份分给4人，有种分法；

则共有种分法.

19、答案：(1)，

(2)时，通风窗的面积最大

解析：（1）由题意知，，，故.

因为，，所以.

在中，.

在矩形EFGH中，，，

故.

即所求函数关系是，.

（2）因为，令，

则，则.

因为当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，取到最大值，此时S有最大值.

即时，通风窗的面积最大.

20、答案：(1)0.5

(2)小明应该先猜A

(3) 当a至少为时，值得小明同学继续猜谜

解析：（1）；

（2） （1）有两种顺序；先猜A；先猜B.

设选择先猜A谜语得到的奖金为X元，选择先猜B谜语得到的奖金为Y元.

X的可能取值为：0，10，30，

，，，

X的分布列为：

则.

Y的可能取值为：0，20，30，

，，，

Y的分布列为：

则，

，小明应该先猜A；

（2）设小明谜续谜语得到的奖金为Z元，Z的可能取值为：0，90，

则Z的分布列为：

则，

若，则 ，

即当a至少为时，值得小明同学继续猜谜.

21、答案：(1) ，

(2)二项式的值被7除的余数为1

解析：（1），，通项为.

①二项式系数最大的项为第4，5项，

，.

②设展开式中系数最大的项为第项，则

，，

，解得，

因为，2，3，4，5，6，所以或.

所以展开式中系数最大的项为第6，7项，

，.

（2）当，时，，

因为，

所以二项式的值被7除的余数就是被7除的余数.

因为，

所以被7除的余数为1，

所以二项式的值被7除的余数为1.

22、答案：(1) 当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减.

所以在时取得极大值为，无极小值

(2) 当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减

(3) m的最小值为1

解析：（1）当时，，

.

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减.

所以在时取得极大值为，无极小值.

（2）因为

当时，在上恒成立，此时在上单调递增；

当时，

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（3）因为对任意，恒成立，

所以在上恒成立，

即在上恒成立.

设，则.

设，，则在上单调递减，

因为，，

所以，使得，即.

当时，；

当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

因为，所以，

故整数m的最小值为1.