江苏省常熟市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

这是一份江苏省常熟市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
2023.11
注意事项
答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共4页，包含选择题（第1题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卷交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的规定位置．
3．请在答题卷上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其它位置作答一律无效．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．请保持答题卷卷面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．36B．45C．54D．63
2．圆的圆心到直线的距离为（ ）
A．0B．1C．D．
3．数列中，，，则（ ）
A．77B．78C．79D．80
4．直线，，若两条直线平行，则实数（ ）
A．B．1C．3D．或3
5．若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂更多优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，（，），为其前项和，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知正方形的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为
C．直线与直线之间的距离是
D．直线，，，则
10．下列命题中，正确的有（ ）
A．数列中，“（，）”是“是公比为2的等比数列”的必要不充分条件
B．数列的通项为，若为单调递增数列，则
C．等比数列中，，是方程的两根，则
D．等差数列，的前项和分别为，，若，则
11．已知圆与直线，点在直线上运动，直线，分别与圆切于点，，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点
12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点，，圆心在直线上的圆的标准方程为__________．
14．点关于直线的对称点的坐标为__________．
15．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为__________．
16．设数列的前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，点的坐标为，边上的中线所在直线的方程为，直线的倾斜角为．
（1）求点的坐标；
（2）过点的直线与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于，两点，求（为坐标原点）面积的最小值．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
19．（本小题满分12分）
已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．
（1）求外接圆的方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
20．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
21．（本小题满分12分）
已知数列的前项和记为，且，数列是公比为的等比数列，它的前项和记为．若，且存在不小于3的正整数，，使得．
（1）若，，求的值；
（2）求证：数列是等差数列；
（3）若，是否存在正整数，，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是．
（1）求曲线的方程；
（2）已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且，
①证明：直线过定点，并求出点的坐标；
②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．
2023~2024学年第一学期期中试卷
高二数学参考答案
2023.11
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．14．15．16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解：（1）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又的坐标为，所以直线的方程为，即．
由与联立，解得，，
因为边上的中线经过点，所以点的坐标为．
（2）依题意可设直线的方程为（，），则．
因为，，所以，则，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为．
18．（本小题满分12分）
解：（1）依题意，设数列的公差为，
因为，所以，则，
因为，即，所以，
所以，，所以，即．
（2）因为，所以，
所以．
19．（本小题满分12分）
解：（1）因为，，，所以，，所以，
又，所以是等腰直角三角形，
所以的圆心是的中点，所以，半径为2，
所以的方程为．
（2）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为．
①当直线与轴垂直时，方程为，与圆心的距离为1，满足条件；
②当直线的斜率存在时，设，即，
因为圆心到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为．
综上可知，直线的方程为或．
20．（本小题满分12分）
解：（1）依题意得解得，
，即．
（2）①，，，
，
．
．
②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立，
即转化为对一切恒成立，
令，则，由，
所以，且，则．
所以实数的最大值为．
21．（本小题满分12分）
解：（1）当时，，
因为，，所以．
（2）由，得，
两式相减，得，即，
所以．
两式相减，得，所以数列为等差数列．
（3）依题意：，由得：，
即，所以．
因为，且，所以，
又因为，且为奇数，所以时，是整数，此时，
所以，．
22．（本小题满分12分）
解：（1）设，，由中点坐标公式得．
因为点的轨迹方程是，所以，
整理得曲线的方程为．
（2）①设直线的方程为，，，，
由，得，
所以，，
所以，
所以，且即，即，
所以直线的方程为，即直线过定点．
②因为为定值，且为直角三角形，为斜边，
所以当点是的中点时，为定值．
因为，，所以由中点坐标公式得．
所以存在定点使得为定值．1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
D
C
A
A
B
D
9
10
11
12
ACD
AD
ACD
BCD