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    2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一上学期期中数学试题(解析版)
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    2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一上学期期中数学试题(解析版)

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    这是一份2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一上学期期中数学试题(解析版),共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一上学期期中数学试题

     

    一、单选题

    1.设全集,则    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】先求补集再求并集即可.

    【详解】因为

    所以,所以.

    故选:C.

    2.设abc为实数,且,则下列不等式一定成立的是(    

    A B

    C D

    【答案】C

    【分析】对于ABD,举例判断即可,对于C,利用不等式的性质判断

    【详解】对于A,若,则,所以A错误,

    对于B,若,则,所以B错误,

    对于C,因为,所以,所以C正确,

    对于D,若,则,所以D错误,

    故选:C

    3.关于的不等式的解集为,则关于的不等式的解集为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】根据题意可得1是方程的两根,从而得到的关系,然后再解不等式从而得到答案.

    【详解】由题意可得,且1是方程的两根,

    为方程的根,

    则不等式可化为,即

    不等式的解集为

    故选: A

    4.若函数的定义域是,则函数的定义域是(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】根据已知条件得到满足的不等式组为,所求解集即为定义域.

    【详解】由条件可知:,所以,所以定义域为

    故选:C.

    5.命题p为假命题的一个充分不必要条件是(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】先化简命题是假命题对应的范围,再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果.

    【详解】命题为假命题,即命题为真命题,首先,时,恒成立,符合题意;其次时,,即,综上可知,.

    故选项A中,的充分必要条件;

    选项B推不出,且推不出,即的既不充分也不必要条件;

    选项C可推出,且推不出,即的一个充分不必要条件;

    选项D推不出,且可推出,即的一个必要不充分条件.

    故选:C.

    6.已知定义域为的函数单调递减,且,则使得不等式成立的实数的取值范围是(    

    A B

    C D

    【答案】D

    【分析】由已知可得函数的对称性,然后结合函数单调递减,所以可判断在定义域上的单调性,进而利用单调性可解.

    【详解】解:,则关于对称,

    因为单调递减,

    上单调递减,

    故选:D.

    【点睛】结论点睛:若满足,则关于中心对称.

    7.设,且,则当取最小值时,    

    A8 B12 C16 D

    【答案】B

    【分析】首先利用基本不等式的性质得到时,取最小值,再计算即可.

    【详解】

    取最小值时,取最小值,

    ,当且仅当时取等号,

    .

    故选:

    8.已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根,则的取值范围是(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】首先讨论,在时,利用分离参数的思想,画出的图像,利用数形结合判断出答案.

    【详解】时,,故不是方程的根,

    时,由得,

    方程恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数的图像有两个不同的交点,

    作出函数的大致图像如图所示,

    由图可知,.

    故选:C.

    【点睛】本题解题时利用了数形结合的思想,根据图像判断出结果.

     

    二、多选题

    9.下列命题中为真命题的是(    

    A的充要条件是

    B的既不充分也不必要条件

    C的充分不必要条件

    D.命题的否定是

    【答案】BC

    【分析】A,由,但推不出即可判断;对B,取,满足,但;同理取,满足,但即可判断;对C,因为,但推不出即可判断;对D,根据存在量词的命题的否定即可判断.

    【详解】A:由,但当时,推不出

    所以的充分不必要条件,故选项A错误;

    B:取,满足,但,所以推不出

    同理取,满足,但,所以推不出

    所以的既不充分也不必要条件,故选项B正确;

    C:因为,当时满足但推不出

    所以的充分不必要条件,故选项C正确;

    D:命题的否定是,故选项D错误;

    故选:BC.

    10.对于非空数集,定义表示该集合中所有元素的和.给定集合,定义集合,则下列说法正确的是(    

    A B

    C.集合中有个元素 D.集合中有个元素

    【答案】AC

    【分析】列举出集合,求出对应的的值,可得出集合,即可得出合适的选项.

    【详解】.

    为单元素集合时,集合可取可取

    中的元素个数为时,集合可取

    可取

    中的元素个数为时,集合可取可取

    时,.

    综上所述,AC选项正确,BD选项错误.

    故选:AC.

    11.方程的两根为,则(    

    A B

    C D

    【答案】AB

    【分析】构造二次函数,结合二次函数的性质即可判断

    【详解】由题意,构造二次函数

    即为二次函数轴的两个交点的横坐标

    对称轴为,故CD错误;

    由于

    ,故AB正确

    故选:AB

    12.已知函数的定义域为,对任意的,都有,则下列结论中正确的有(    

    A为增函数 B为增函数

    C的解集为 D的解集为

    【答案】ABD

    【分析】利用函数的单调性定义判断AB;利用抽象函数的单调性解不等式判断CD.

    【详解】对于A,对任意的,则,都有,即

    可知为增函数,故A正确;

    对于B,对任意的,都有,即

    ,可知为增函数,故B正确;

    对于C,则等价于,又为增函数,

    所以,解得,所以的解集为,故C错误;

    对于D等价于,即为增函数,

    所以,解得,所以的解集为,故D正确;

    故选:ABD

     

    三、填空题

    13.设全集,则集合________

    【答案】

    【分析】依题意,即可得到,从而求出参数的值,即可求出集合,即可得解;

    【详解】解:因为,所以,所以,解得,所以,解得,所以,所以

    故答案为:

    14.已知幂函数)的图象关于轴对称,且在上是减函数,则的值为______.

    【答案】

    【解析】根据函数是幂函数得,求得1,再检验是否符合题意即可.

    【详解】因为是幂函数,,解得1

    时,是偶函数,关于轴对称,在单调递增,不符合题意,

    时,是偶函数,关于轴对称,在单调递减,符合题意,

    .

    故答案为:.

    15.若实数满足,且不等式恒成立,则c的取值范围是________.

    【答案】

    【分析】结合题意,根据不等式,代入求解.

    【详解】

    ,当且仅当成立,

    不等式恒成立,

    的取值范围是

    故答案为:

     

    四、双空题

    16.已知函数,若a>0,则fx)的定义域是___________;若fx)在区间上是减函数,则实数a的取值范围是___________.

    【答案】         

    【分析】1)由当a>0a≠1,再由负数不能开偶次方根,有3-ax≥0求解.

    2)先看分母,当a-1>0,即a>1时,要使fx)在上是减函数,则分子是减函数,且成立:当a-1<0,即a<1时,要使fx)在上是减函数则分子是增函数,且-a>0成立,两种情况的结果最后取并集.

    【详解】解:(1)当a>0a≠1时,由3-ax≥0

    即此时函数fx)的定义域是

    2)当a-1>0,即a>1时,要使fx)在上是减函数,则需3-a×1≥0,此时

    a-1<0,即a<1时,要使fx)在上是减函数,则需-a>0,此时a<0

    综上所述,所求实数a的取值范围是.

    故答案为:(1;(2

     

    五、解答题

    17.(1)已知,求的最大值;

    2)已知,求的最大值.

    【答案】1 ;(2

    【分析】1)利用基本不等式求解积的最大值;

    2)对变形后利用基本不等式求解.

    【详解】1)因为,所以

    所以

    当且仅当时取“=”.所以函数的最大值为

    2)因为,所以

    所以

    当且仅当时取“=”.所以函数的最大值为

    18.已知集合

    (1),求实数m的取值范围;

    (2),求实数m的值.

    【答案】(1).

    (2)m=1.

     

    【分析】1)利用集合间的包含关系建立不等式组,分类讨论进行求解.

    2)根据已知,利用集合的交集运算,分类讨论进行求解.

    【详解】1)由,知

    时,,解得

    时,有,解得

    所以实数m的取值范围为

    2)因为,且,则

    时,有,解得

    ,此时,满足题意;

    时,有,解得

    ,此时,不满足题意,舍去;

    时,有,解得

    此时,满足题意.

    综上,实数m的值为1

    19.已知二次函数

    (1)时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

    (2)解关于的不等式(其中).

    【答案】(1)

    (2)答案见解析.

     

    【分析】(1)时将原不等式变形为,根据基本不等式计算即可;

    (2)不等式化为,讨论的取值,从而求出对应不等式的解集.

    【详解】1)不等式即为:

    时,不等式可变形为:

    因为

    当且仅当时取等号,所以

    所以实数a的取值范围是.

    2)不等式

    等价于,即

    时,不等式整理为,解得

    时,方程的两根为

    时,可得,解不等式

    时,因为,解不等式

    时,因为,不等式的解集为

    时,因为,解不等式

    综上所述,不等式的解集为:

    时,不等式解集为

    时,不等式解集为

    时,不等式解集为

    时,不等式解集为

    时,不等式解集为

    20.已知函数是定义在上的奇函数,且.

    (1)的值;

    (2)判断上的单调性,并用定义证明;

    (3),若对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)上单调递增,证明见解析

    (3)

     

    【分析】1)利用奇函数的性质,结合1,求解方程组,得到的值,检验即可;

    2)利用函数单调性的定义判断并证明即可;

    3)将问题转化为,利用的单调性求出,分三种情况,利用的单调性求出,即可得到答案.

    【详解】1)因为函数是定义在上的奇函数,且1

    ,解得

    所以函数

    经检验,函数为奇函数,

    所以

    2上单调递增.

    证明如下:设

    其中

    所以,即

    故函数上单调递增;

    3)因为对任意的,总存在,使得成立,

    所以

    因为上单调递增,

    所以

    时,;所以恒成立,符合题意;

    时,上单调递增,则1

    所以,解得

    时,函数上单调递减,则

    所以,解得.

    综上所述,实数的取值范围为.

    21.为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2021年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用万元满足k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分).

    1)将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数;

    2)该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大?

    【答案】1;(2)该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大.

    【分析】1)根据题意,当时,x=1,进而代入已知等式解出k,然后求出每件产品的销售价格,最后得到函数的解析式;

    2)根据(1)中的式子,结合基本不等式即可得到答案.

    【详解】1)由题意,当时,x=1,则,于是,所以.

    2)由(1),

    当且仅当“=”成立.

    所以,该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时,厂家利润最大.

    22.对于函数,若,则称实数x不动点,若,则称实数x稳定点,函数不动点稳定点组成的集合分别记为AB,即.

    (1)对于函数,分别求出集合AB

    (2)对于所有的函数,集合AB是什么关系?并证明你的结论;

    (3),若,求集合B.

    【答案】(1)

    (2)证明见解析;

    (3)

     

    【分析】(1)f(x)x,解出的值即集合A的元素,由,解出的值即集合B的元素; (2)分别讨论的情况,,,,即,进而得证;(3)可得,,进而求解即可.

    【详解】1)由f(x)x,得,解得

    ,得,解得

    集合A{1}B{1}

    2)若,则显然成立;若,设中任意一个元素,由,可得.

    3)解:

    ,即

    .

     

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