江苏省常熟市2022-2023学年高二数学下学期期中考试试题（Word版附答案）

2022~2023学年第二学期期中试卷

高二数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数的图象在处的切线方程为，则（    ）

A．-2  B．-1 C．0 D．1

3．苏州有很多闻名的旅游景点.现有两位游客幕名来到苏州，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件为“两人至少有一人选择丙景点”，事件为“两人选择的景点不同”，则条件概率（    ）

A． B． C． D．

4．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5． 用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中为偶数的共有（    ）

A．24个 B．30个 C．36个 D．42个

6．函数 的图象大致为（    ）

A．  B．

C．   D．

7．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（    ）

A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种

8．若对任意的，且，有，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分．

9．下列命题正确的有（    ）

A．若，则  B．若，则

C．  D．

10．已知，则（    ）

A．展开式中所有项的二项式系数和为

B．

C．

D．

11．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的零点个数为4  B．的极值点个数为3

C．轴为曲线的切线 D．若，则

12．已知函数，则以下结论正确的是（    ）

A．函数的单调减区间是

B．函数有且只有1个零点

C． 存在正实数，使得成立

D．对任意两个正实数，，且，若，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．

13．已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为______．

14．二项式展开式的常数项为______．

15．已知函数，若函数至少有两个零点，则的取值范围是______．

16．已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若 ，则实数的取值范围是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知函数在处取得极值．

（1）求的单调区间；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）

7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名．

（1）若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？

（2）若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？

（3）现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？

19．（本小题满分12分）

下图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知，（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：）．

（1）设，将S表示成x的函数；

（2）通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

20．（本小题满分12分）

一个猜谜语活动，有A和B两道谜语，小明猜对A谜语的概率为0.8，猜对获得奖金10元，猜对B谜语的概率为0.5，猜对获得奖金20元猜不出不给奖金．

（1）设事件A：“两道谜语中小明恰好答对一道”，求事件A发生的概率P（A）；

（2）如果按照如下规则猜谜：只有在猜对一道谜语的情况下，才有资格猜下一道．

①若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢？

②若小明已经获得30元奖金，此时主办方临时增加了一道终极谜语C，猜对奖金为60元，参赛者可以自行选择是否继续猜谜。假设小明猜对C谜语的概率为a，若小明不继续，可以直接拿走奖金，若继续且答错C谜语，则没收全部奖金．若继续且答对C谜语，即可获得A谜语、B谜语和C谜语的所有奖金．问：概率a至少为何值，值得小明同学继续猜谜？

21．（本小题满分12分）

已知二项式．

（1）若它的二项式系数之和为128.

①求展开式中二项式系数最大的项；

②求展开式中系数最大的项；

（2）若，求二项式的值被7除的余数.

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若，求的极值；

（2）讨论的单调性；

（3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值.

2022~2023学年第二学期期中试卷

高二数学参考答案

一、单项选择题

1．C   2．B   3．D   4．D   5．B   6．C   7．D   8．A

二、多项选择题

9．BCD 10．ABD 11．BC 12．ABD

三、填空题

13．3 14．-672 15． 16．

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17．解：（1）∵，，又在处取得极值，

∴，∴，

检验：当时，，，，

令，得，

当x变化时，，的变化情况如表所示.

在处取得极小值成立；

所以的单调递减区间是，单调递增区间是.

（2）由（1）知在单调递减，单调递增，

又，，

则，.

若在上恒成立，则.

即，解得或，

所以实数c的取值范围是.

18．解：（1）先把除两位女生和老师这3人外的4人排好，有种排法，由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有种排法，最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法.

故排法共有（种）.

（2）法一  甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，

共有 （种）.

法二  7名学生全排列，只有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，

共有（种）.

（3）法一  16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法种.

法二  先分发给每位学生2个口罩，再将剩下4只相同的口罩分给6位同学，有五类分法：

1．四只口罩分给1人，有种分法；

2．四只口罩分成2，1，1三份分给3人，有 种分法；

3．四只口罩分成2，2两份分给2人，有种分法；

4．四只口罩分成3，1两份分给2人，有种分法；

5．四只口罩分成1，1，1，1四份分给4人，有种分法；

则共有种分法.

19．解：（1）由题意知，，，故.

因为，，所以.

在中，.

在矩形EFGH中，，，

故.

即所求函数关系是，.

（2）因为，令，

则，则.

因为当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，取到最大值，此时S有最大值.

即时，通风窗的面积最大.

20．解：（1）；

（2） （1）有两种顺序；先猜A；先猜B.

设选择先猜A谜语得到的奖金为X元，选择先猜B谜语得到的奖金为Y元.

X的可能取值为：0，10，30，

，，，

∴X的分布列为：

则.

Y的可能取值为：0，20，30，

，，，

∴Y的分布列为：

则，

∵，∴小明应该先猜A；

（2）设小明谜续谜语得到的奖金为Z元，Z的可能取值为：0，90，

则Z的分布列为：

则，

若，则 ，

即当a至少为时，值得小明同学继续猜谜.

21．解：（1）∵∴，通项为.

①二项式系数最大的项为第4，5项，

，.

②设展开式中系数最大的项为第项，则

，，

，解得，

因为，2，3，4，5，6，所以或.

所以展开式中系数最大的项为第6，7项，

，.

（2）当，时，，

因为，

所以二项式的值被7除的余数就是被7除的余数.

因为，

所以被7除的余数为1，

所以二项式的值被7除的余数为1.

22．解：（1）当 时，，

.

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减.

所以在时取得极大值为，无极小值.

（2）因为

当时，在上恒成立，此时在上单调递增；

当时，

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（3）因为对任意，恒成立，

所以在上恒成立，

即在上恒成立.

设，则.

设，，则在上单调递减，

因为，，

所以，使得，即．

当时，；

当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

因为，所以，

故整数的最小值为1.