2023届江苏省镇江市扬中市第二高级中学高三下学期考前模拟数学试题含解析

2023届江苏省镇江市扬中市第二高级中学高三下学期考前模拟数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解指数不等式和对数不等式得集合，然后由交集定义计算．

【详解】由题意，，

所以．

故选：C．

2．复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法以及复数的乘方化简复数，利用复数的模长公式可求得.

【详解】，则，

所以，，因此，.

故选：D．

3．在的二项展开式中含项的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出二项展开式的通项公式，令的指数为2即可求解.

【详解】的二项展开式的通项公式为，

令，解得，

则含项的系数为.

故选：C.

4．若幂函数的图象过点，则函数的递减区间为（    ）

A． B．和

C． D．

【答案】B

【解析】根据条件先求解出的解析式，然后利用导数求解出的单调递减区间.

【详解】因为为幂函数，且过点，所以设，所以，所以，所以，

所以，则，

当或时，；当时，，

所以的递减区间为和，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是求解完的解析式之后，根据去分析的单调递减区间.

5．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布．例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布．若某物理量做n次测量，最后结果的误差，Xn ~N(0，)，则为使|Xn|≥的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（    ）

【附】随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.9544，P(u－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974．

A．32 B．64 C．128 D．256

【答案】C

【分析】根据得到，进而结合正态分布的概率求法求得答案.

【详解】根据题意，，

而，则，所以.

故选：C.

6．若,且,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出的范围,再利用和差化积公式对等式两边分别化简,即可求得的正切值,从而求出.

【详解】,

,,

又时,是减函数,,.

由和差化积公式可得:

,

,,,,

,

,又,,

故选:C.

7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.

【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

8．已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.

【详解】解：∵，

∴，

∴函数关于对称，

又，

∵，

∴，

∴恒成立，则是增函数，

∵，

∴，

∴，得，

故选：A.

【点睛】根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，需灵活应用基本不等式求最值，综合性强，属中档题.

二、多选题

9．下列命题中，正确的是（    ）

A．若事件与事件互斥，则事件与事件独立

B．已知随机变量的方差为，则

C．已知随机变量服从二项分布，若，则

D．已知随机变量服从正态分布，若，则

【答案】BC

【分析】由事件的互斥性可知它们一定不独立来判断第一个选项，由方差和期望的运算性质可判断BC选项，由正态曲线的对称性可判断D选项.

【详解】事件与事件互斥，即事件与事件不能同时发生，也就是其中一个事件的发生会干扰另一件的发生，即事件与事件一定不独立，则A选项错误；

由方差的运算性质可知B选项正确；由二项分布的期望公式，，由期望的运算性质，

，则，C选项正确；由正态分布曲线的性质可知，

，根据对称性，，于是

，D选项错误.

故选：BC.

10．如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（    ）

A．的最小正周期为12 B．

C．的最大值为 D．在区间上单调递增

【答案】ACD

【分析】由题意可得：，，可得，，，的坐标，根据，可得方程，进而解出，，．判断出结论．

【详解】由题意可得：，，，

，，，，，

，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确.

时，，可得：函数在单调递增.

综上可得：ACD正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.

11．已知圆台上､下底面的半径分别为2和4，母线长为4.正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（    ）

A．与底面所成的角为60°

B．二面角小于60°

C．正四棱台的外接球的表面积为

D．设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则

【答案】AC

【分析】过作，易得即为与底面所成角，直接计算即可判断A选项；过作于，即为二面角的平面角，由即可判断B选项；设出球的半径，由勾股定理建立方程，解出半径即可判断C选项；直接计算体积即可判断D选项.

【详解】

如图，过作，作出截面的平面图，易知为等腰梯形，且为中点，

易得，，故，即圆台的高，

，即四棱台的上下底边长分别为和，

选项A：易得即为与底面所成角，则，故，正确；

选项B：过作于，连接，由，，故面，面，故，

即为二面角的平面角，，，又，

故，即，B错误；

选项C：设外接球半径为，球心到下底距离为，在的平面图中，为球心，

则，，，故，

故表面积，正确；

选项D：，，显然，错误.

故选：AC.

12．已知数列满足，则下列结论正确的有（　　）

A．为等比数列

B．的通项公式为

C．为递增数列

D．的前n项和

【答案】ABD

【分析】根据已知证明为定值即可判断A；由A选项结合等比数列的通项即可判断B；作差判断的符号即可判断C；利用分组求和法即可判断D.

【详解】因为，

所以+3，所以，

又因为，

所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；

，即，故B正确；

因为，

因为，所以，

所以，所以为递减数列，故C错误；

，

则，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________.

【答案】5%

【分析】根据观测值k≈4.844以及独立性检验的基本思想即可得出结果.

【详解】K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生.

根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，

并且这种判断出错的可能性约为5%.

故答案为：5%

14．已知数列首项，，则数列的通项公式________

【答案】

【分析】当时，，和已知的式子相减，变形可得 ，再求，判断数列的形式，求通项公式.

【详解】当时，，

两式相减得：

得：，

即

，，

数列是从第二项起的等比数列，当时，.

数列的通项公式是

故答案为：

【点睛】本题考查数列已知求，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型，本题的易错点是忽略的取值，从而认为数列是等比数列.

15．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.

【答案】：

【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为，三门文化课中相邻排列，则排法种数为，而所有的排法共有种，由此求得所求事件的概率．

【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，

①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，

②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为，

③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，

然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为，

而所有的排法共有种，

故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

四、双空题

16．若函数，，则的最小值为______；若，且，则的最小值为______．

【答案】         

【分析】求函数的导数，根据导数判断其单调性，可求得答案；

由可得 ，变形为，结合函数的单调性可得到，从而表示出，构造函数，利用导数求得最小值.

【详解】由题意可得，则，

当 时，，函数递减，

当 时，，函数递增，

故 时函数的极小值点，也是最小值点，

故的最小值为；

由，且可得 ，则 ，

即有，

由于，

当 时，， 单调递增，

故由，可得 ，

故，令 ，

则，

当 时，，递减，

当 时，，递增，

故，即得最小值为，

故答案为：；

【点睛】本题考查了利用导数求解函数的最值问题，综合性较强，解答时候要注意对等式的合理变形，如将变形为，从而 可以为后面构造函数，利用导数解决问题创造条件.

五、解答题

17．在中，角的对边分别为.已知.

(1)求角的大小；

(2)若为线段延长线上一点，且，求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由正弦定理边角关系及差角正弦公式可得，结合三角形内角性质即可求的大小；

（2）设，且，在、应用正弦定理列方程求，根据同角三角函数关系、诱导公式即可求的大小.

【详解】（1）由正弦边角关系得：，

所以

则，即，

所以（舍）或，故 .

（2）

设，且，

在中，①，

在中，②，

所以，

，

所以.

18．在①，；②，；③，三个条件中选择合适的一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且_____.

(1)求数列和的通项公式；

(2)记，求使取得最大值时的值.

【答案】(1)，

(2)的值为3或4

【分析】（1）由，得到，再根据求解；选①，根据，，两式相除得到q求解；选②，由，得到，再结合求解；选③，由，得，再结合求解.

（2）由（1）得到，再利用作差法，由其单调性求解.

【详解】（1）解：由，

又因为，

所以，

所以，

设数列的公比为，则，

选①，因为，，

所以，

又，

所以，所以，

若选②，，

所以，

，即，

所以或，

因为，所以，则.

若选③，由，得，

又，

解得，

因为，所以，

所以.

（2）由（1）得，

所以，

因为，

所以当或2时，；

当时，；当时，，

所以，

所以使得取得最大值时的值为3或4.

19．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，，，平面平面，．

(1)求证：平面平面；

(2)若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，由面面垂直的判定即可证明；

（2）过作，，垂足分别为，，连接，由几何法可证即为二面角的平面角，过作平面，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，再由向量法求出直线PD与平面PBC所成角即可.

【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面，又因为平面，所以平面平面．

（2）过作，，垂足分别为，，连接，

因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，

又，且，，平面，所以平面，

因为平面，所以，即即为二面角的平面角，

不妨设，则可知，且，，

因为，所以，所以，

过作平面，以为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，，所以，

设直线PD与平面PBC所成角为，则，

即.

20．为深入学习党的二十大精神，某学校团委组织了“青春向党百年路，奋进学习二十大”知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如下.

(1)用样本估计总体，求此次知识竞赛的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

(2)可以认为这次竞赛成绩近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为，的近似值），已知样本标准差，如有的学生的竞赛成绩高于学校期望的平均分，则学校期望的平均分约为多少（结果取整数）？

(3)从的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测份试卷（抽测的份数是随机的），若已知抽测的份试卷都不低于90分，求抽测2份的概率.

参考数据：若，则.

【答案】(1)80.5

(2)72分

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图，结合平均数的公式，即可求解；

（2）首先确定，再根据参考公式，即可求解；

（3）根据全概率公式，和条件概率，列式求解.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，

平均分；

（2）由（1）可知，,

设学校期望的平均分约为，则，

因为，，

所以，即，

所以学校的平均分约为72分；

（3）由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为和，

那么按照分层抽样，抽取10人，其中分数在，应抽取人，

分数在应抽取人，

记事件：抽测份试卷，事件取出的试卷都不低于90分，

则,，

，

则.

21．在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为．

(1)求点的轨迹的方程；

(2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两点间距离公式，结合已知进行求解即可；

（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合椭圆弦长公式、对勾函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）设，由题意，

因为，所以，

即，两边平方并整理得．

故点的轨迹的方程为；

（2）设直线方程为，

联立，消并整理得，，显然，

设，，则，，

又，可得线段中点坐标为，

所以线段中垂线的方程为，

令，可得，

对于直线，令，可得，

所以

又，

所以，

令，则，

因为在上单调递增，

所以，故．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．已知函数.

(1)当a=-1时，求曲线y=在点处的切线方程；

(2)若>a，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，从而可得切线方程.

（2）当时，可得得出其单调性，从而得出此时的情况，当时，，设，讨论出其单调性，得出其符号，打开绝对值，求出其最值，从而可得出答案.

【详解】（1）当时，，

切点切线方程为，即.

（2）①当时，，此时，

令.

当时，在上单调递减

当时， 在上单调递增

所以，又则

又，所以

，此时符合题意.

②当时，

令，，则在上单调递增

又，

存在唯一的使且

所以

当时，，由

则在上单调递减，

当时，，由

当时，在上单调递增，则

所以当时，，所以在上单调递增

所以，由题意则

设，则在上恒成立，所以在上单调递增.

此时，即

综上所述：实数的取值范围为.

【点睛】关键点睛：本题考查利用导数的几何意义求切线方程，利用导数处理恒成立求参数问题，解答本题的关键是对参数分和两种情况进行讨论，当时，设，讨论出其单调性，得出其符号，打开绝对值，从而得出在上单调递减，在上单调递增，得到，从而求出的范围，进而求出答案,属于难题.