2022-2023学年上海市奉贤区重点中学高二（下）期中数学试卷

2022-2023学年上海市奉贤区重点中学高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列关于散点图的说法中，正确的是(    )

A. 任意给定统计数据，都可以绘制散点图
B. 从散点图中可以看出两个量是否具有一定的关系
C. 从散点图中可以看出两个量的因果关系
D. 从散点图中无法看出数据的分布情况

2.  以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位：分已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则，的值分别为(    )

 

A. ， B. ， C. ， D. ，

3.  等比数列中的项，是函数的极值点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在棱长为的正方体中，为中点，为四边形内一点含边界，若平面，则下列结论正确的是(    )

A.  B. 三棱锥的体积为
C. 线段最小值为 D. 的取值范围为

二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）

5.  已知集合，，则______．

6.  不等式的解集为______ ．

7.  某小区共有住户人，其中老年人人，中年人人，其余为青少年等人群，为了调查该小区的新冠疫苗接种情况，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则样本中中年人的人数为          ．

8.  设等差数列的前项和为，若，则 ______ ．

9.  已知射手甲击中目标的概率为，射手乙击中目标的概率为，若甲、乙两人各向目标射击一次，则射手甲或射手乙击中目标的概率是______ ．

10.  函数的驻点为______ ．

11.  已知双曲线：，其右焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为______ ．

12.  设是函数的最小值点，则曲线上点处的切线方程是______ ．

13.  已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______ ．

14.  某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取名学生的测试成绩，并把测试成绩分成，，，，，六组，绘制成频率分布直方图如图所示其中分数在这一组中的纵坐标为，则该次体能测试成绩的分位数约为______ 分

15.  年北京冬奥会开幕式始于节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始．已知冬至日晷长为尺，芒种日晷长为尺，则一年中夏至到大雪的日晷长的和为______尺．

16.  已知定义在上的奇函数的导函数是，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知为等差数列，为其前项和，若，．
求数列的通项公式；
求的最大值．

18.  本小题分
某地区水务局计划派位企业员工组团参加年在广州举行的第十六届中国广州国际水处理技术设备展览会团队按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．

上表是年龄的频数分布表，求正整数、的值；
现在要从年龄较小的第、、组中用分层抽样的方法抽取人，年龄在第、、组的人数分别是多少？
因会务需要，现从第、、组中抽取人组成经验交流小组其中第组人，第组人，第组人，在这人中随机抽取人，求至少有人在第组的概率．

19.  本小题分
在如图所示的几何体中，四边形是正方形四边形是梯形，，，平面平面，且．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
已知点在棱上，且异面直线与所成的夹角为，求的取值范围．

20.  本小题分
某工厂拟建造如图所示的容器不计厚度，长度单位：米，其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元设该容器的建造费用为千元．
写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
求该容器的建造费用最小时的．

21.  本小题分
已知动圆经过定点，且与圆：内切．
求动圆圆心的轨迹的方程；
设轨迹与轴从左到右的交点为点，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连结交轨迹于点直线、的斜率分别为、．
求证：为定值；
证明直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：散点图不适合用于展示百分比占比的数据，另外数据量较少的数据也不适合用散点图表示，故A错误；
散点图能看出两个量是否具有一定关系，但是并一定是因果关系，故B正确，C错误；
散点图中能看出数据的分布情况，故D错误．
故选：．
根据散点图的概念判断即可．
本题考查散点图的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据或中间两数据的平均数叫做中位数．
求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．
【解答】
解：乙组数据平均数：
，
； 
甲组数据可排列成：，，，，．
所以中位数为：， 
 
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
当或时，，当时，，
所以，为函数的极值点，
即，或，，
又，
所以且；
故选：．
求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点，再根据等比数列下标和性质计算可得．
本题主要考查了导数与极值关系的应用，还考查了等比数列性质的应用，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在棱长为的正方体中，为中点，为四边形内一点含边界，若平面，
取、中点分别为、，连接、、、，，如下图：

为正方体，为中点，为中点，
，，，
，
、平面，、平面，且，，
平面平面，
为四边形内一点含边界，且平面，
点在线段上含端点，
对于：当为时，，则与的夹角为，
此时，则，
则与不垂直，故选项A不正确；
对于：为四边形内一点含边界，
到平面的距离为，
三棱锥的体积为，故选项B不正确；
对于：点在线段上含端点，
当时，线段最小，
，
在边上的高为，
则，
则当时，即，故选项C不正确；
对于：为正方体，
平面，
平面，
，
为直角三角形，且直角为，
，
点在线段上含端点，
则当最大时，即点为点时，此时，此时最小，为，
当最小时，即，此时，
此时最大，最大为，
则的取值范围为，故选项D正确；
故选：．
根据正方体的性质得出平面平面，则根据已知得出点在线段上含端点，
对于选项A：当为时，根据异面直线的平面角结合正方体的性质得出与的夹角为，根据已知得出的三边，即可得出为，即可判断；
对于选项B：三棱锥若以为顶点，为底面时，根据正方体性质得出此时三棱锥的高为，底面积为，即可得出体积判断；
对于选项C：点在线段上含端点，则时，线段最小，根据等面积法求出答案即可判断；
对于选项D：根据正方体性质结合已知可得，则，即可根据的范围得出的范围判断．
本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
进行交集的运算即可．
考查描述法的定义，以及交集的运算．
 

6.【答案】 

【解析】解：原不等式可化为，
即，
等价于，
解得，
即不等式的解集为．
根据不等式的性质转化为同解不等式求解即可．
本题考查了解不等式问题，考查转化思想，是一道基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查样本中中年人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

【解答】

解：现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，
则样本中中年人的人数为：
．
故答案为：．

8.【答案】 

【解析】解：由已知，
所以．
则．
故答案为：．
根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：射手甲击中目标的概率为，射手乙击中目标的概率为，
甲、乙两人各向目标射击一次，
射手甲或射手乙击中目标的概率：
．
故答案为：．
利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人各向目标射击一次，射手甲或射手乙击中目标的概率．
本题考查概率的求法，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由函数的解析式可得，
令可得，
故函数的驻点为．
故答案为：．
首先求得导函数的解析式，然后确定函数的驻点即可．
本题主要考查函数驻点的求解，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由于对称性，右焦点到两条渐近线的距离都为，
由题可知，过一三象限的渐近线为，即，
所以右焦点到渐近线的距离为，
又，
，
．
故答案为：．
根据点到直线的距离公式求出，并根据离心率公式求解即可．
本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，令，，
可知为最小值点．
切点为，为切线斜率，
切线方程为．
故答案为：．
由题意首先确定函数最小值点处的横坐标，据此可得切点坐标和切线的斜率，然后求解其切线方程即可．
本题主要考查导数的几何性质，利用导数研究函数的最值等知识，属于中等题．
 

13.【答案】 

【解析】解：设球的半径为，圆柱的底面半径为，母线为，
则由题意知，，解得，
又圆柱的两个底面的圆周在体积为的球的球面上，
则圆柱的两个底面圆的圆心关于球心对称，且，
则圆柱的侧面积，，
因为，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，．
故答案为：．
先求出球的半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系式，即可得到侧面积表达式，然后用重要不等式即可求解．
本题考查圆柱的外接球问题，圆柱的侧面积的最值，重要不等式的应用，方程思想，化归转化思想，属中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由频率分布直方图的性质，可得，
解得，
，
分位数落在区间内，设分位数为，
则，
解得，
即分位数约为．
故答案为：．
先根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为求出的值，再利用百分位数的定义求解即可．
本题主要考查了频率分布直方图的性质，考查了百分位数的定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，
设冬至日的日影长为尺，公差为尺，
所以，，
两式相减可得，，则，
因为夏至与芒种相邻，且夏至日晷最短，所以夏至的日晷长为，
因为大雪与冬至相邻，且冬至日晷长最长，所以大雪的日晷长为，
显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首相为尺，末项为，共项，
所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为，
故答案为：．
由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为尺，公差为尺，利用等差数列的通项公式，求出，即可求出，进而得到答案．
本题考查了简单的合情推理的应用，考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，逻辑推理的核心素养，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：依题意是奇函数，图象关于原点对称，
由图象可知，在区间，，单调递减，；
在区间，，单调递增，．
所以的解集为．
故答案为：．
先判断出的单调性，然后求得的解集即可．
本题考查导数的综合应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
因此，
所以求数列的通项公式为．
由题意可知，
所以当或者时，的值最大，
此时最大值为． 

【解析】先利用等差数列的通项公式求出公差，进而求出等差数列的通项公式；
利用等差数列的前项和公式求出，再利用二次函数的性质求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，是基础题．
 

18.【答案】解：由题设可知，，，
所以，．
因为第，，组共有人，
利用分层抽样在名学生中抽取名学生，每组抽取的人数分别为：
第组的人数为，第组的人数为，第组的人数为，
所以第，，组分别抽取人，人，人．
设第组的位员工为，第组的位员工为，第组的位员工为，，，，则从位中抽两位员工有：，，，
，，，，
，，，，
，，，共种可能．
其中人年龄都不在第组的有：共种可能，
所以，至少有人年龄在第组的概率为． 

【解析】由频数分布表和频率分布直方图的性质列出方程，能求出，；
先求出第，，组共有人，由此利用分层抽样，求出抽取人年龄在第，，组的人数分别是多少；
设第组的位员工为，第二组的位员工为，第组的位员工为，，，，由从位同学中抽两位员工，利用列举法，求出至少有人年龄在第组的概率；
本题考查频率分布直方图相关知识以及古典概型，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：平面平面，
又平面平面，平面，，
平面，
根据题意，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，
四边形是正方形，，
又，，面，面，
面．
是平面的一个法向量，
又，，
又直线平面，平面；
，
设为平面的法向量，
则，，取，
设为平面的法向量，又
则，，取，
，
二面角的正弦值为；
设，则，
又，，
，
设，，
则，
在区间上单调递增，
又，，
，
的取值范围为 

【解析】以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立空间直角坐标系，用向量法证明；
利用向量法计算出二面角的余弦值，再求正弦值；
利用向量法表示出，再利用导数判断单调性，求出的取值范围．
本题考查利用向量法证明线面平行，利用向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，函数思想，导数的应用，属中档题．
 

20.【答案】解：设该容器的体积为，则，
又，
所以
因为，
所以．
所以建造费用，
因此，．
由得，．
由于，所以，
令，得．
若，即，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
此时为函数的极小值点，也是最小值点．
若，即，
当时，，为减函数，
此时是的最小值点．
综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时． 

【解析】由圆柱和球的体积的表达式，得到和的关系．再由圆柱和球的表面积公式建立关系 式，将表达式中的用表示，并注意到写定义域时，利用，求出自变量的范围．
用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间中，极值末必存在，将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论．
本题考查利用导数的知识研究函数单调性，函数最值问题是高考经常考查的知识点，同时分类讨论的思想也蕴含在其中，属于中档题．
 

21.【答案】解：设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径；
所以，，
则．
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
因此轨迹方程为．
证明：设，，．
由题可知，，如下图所示：

则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值．
设直线的方程为，，
由，得，
所以．
由可知，，即，
化简得，解得或舍去，
所以直线的方程为，
因此直线经过定点． 

【解析】根据定点和圆心的位置关系，利用两圆内切即可得出半径之和等于圆心距，再根据椭圆定义即可求得轨迹的方程；易知，即为椭圆的左右顶点，设出点，坐标，利用共线时斜率相等即可得出的表达式，化简即可得出；根据中的结论，写出直线的方程，将表达式化简即可得出直线经过定点．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查圆锥曲线中的定值定点问题，解决定值或定点问题时，经常会用到设而不求的方法，即首先设出点坐标或直线方程，再根据题目条件寻找等量关系即可实现整体代换求得定值或定点，属于难题．