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2023年河北省衡水市三校联考中考数学二模试卷
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这是一份2023年河北省衡水市三校联考中考数学二模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河北省衡水市三校联考中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
2．下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知﹣3a＜﹣3b，则a和b的关系是（ ）
A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．不能确定
4．如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
5．互联网已经进入5G时代，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，将数据0.00076用科学记数法表示应为（ ）
A．76×10﹣3 B．7.6×10﹣3 C．7.6×10﹣4 D．7.6×10﹣5
6．如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西34°方向的A处，一艘渔船在观测站P的南偏东56°方向B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（ ）
A．1.5小时 B．2小时 C．2.5小时 D．4小时
7．数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（ ）
（1）（﹣a3）2＝（﹣a2）3（×）
（2）a3﹣a2＝a（×）
（3）a6÷a2＝a3（×）
（4）3a2﹣（﹣a2）＝2a2（√）
（5）a4・a2＝a8（×）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．如图，将一个无盖正方体盒子展开成平面图形的过程中，需要剪开的棱的条数是（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
9．定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED＝180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
证明：如图，过点E作直线AB，
使得AB∥CD，
∴∠2＝∠D（*），
∴∠1+∠@＝180°，
∴∠C+∠D+∠CED＝180°．
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
10．甲、乙两名队员参加射击训练（各射击10次），将训练成绩分别制成下列两个统计图 次数（如图1、图2），下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙的平均数相同 B．乙的成绩更稳定
C．甲、乙的中位数相同 D．甲和乙的众数相同
11．以下是代数式．排乱的化简步骤：
①＝；②＝；
③＝；④•．
则正确化简步骤的顺序是（ ）
A．①→③→④→② B．③→①→④→② C．③→④→①→② D．①→④→③→②
12．要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，则测量BC的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
13．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为50，若把甲钱数的三分之二给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x，则下列说法错误的是（ ）
A．设乙持钱为y，依题意
B．依题意
C．乙的钱数为25
D．甲、乙钱数的和为62.5
14．如图，将直尺、含60°的直角三角尺和量角器按如图摆放，60°角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
15．如图，点M，N，P，Q，T均为坐标系中2×2的正方形网格的顶点（网格的横线都与x轴平行，纵线都与y轴平行，每个小正方形的边长为1），点N的坐标为（2，2），在双曲线y＝（x＞0）中的常数k的值从1逐渐增大到9的过程中，关于双曲线l依次经过的格点的顺序，下列说法正确的是（ ）
A．点M→点P→同时经过点N，Q→点T
B．点M→点N→同时经过点P，Q→点T
C．点M→同时经过点P，Q→点N→点T
D．点P→点M→同时经过点N，Q→点T
16．题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形也能围成环状，除了n＝5外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：n＝6，乙答：n＝8，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分）
17．计算﹣得 ．
18．如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝AC＝6，点P是AB的中点，过点P的直线与AC交于
点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．
（1）PQ与BC是否平行？（填“是”或“否”）；
（2）△APQ的周长为 ．
19．把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排列放在表格1中，任意选定如图所示方框中的4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即bc﹣ad．例如：3×11﹣1×13＝20．
（1）9×17﹣7×19＝ ；
（2）bc﹣ad＝ ；
（3）如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有n列的表格中，则bc﹣ad＝ .（用含n的式子表示）
三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（9分）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数依次为a1，a2，a3，a4，a5．
（1）a4＝ ；
（2）计算：a1•a4﹣a3﹣a2÷a5．
21．（9分）如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．
（1）用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积 ；
（2）若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的，求a的值．
22．（9分）概念理解 嘉嘉和淇淇学习了随机事件的概率，老师留的作业中有一道判断题：①自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件；②成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件；③若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次．
真命题的序号是 ；
知识应用 嘉嘉和淇淇做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体．
（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是 ；
（2）淇淇随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率．
23．（10分）网上购物快捷、简便，受到人们的广泛喜爱．小明家装修要用某种环保装饰材料，两个商家的原价相同．购物节优惠促销，甲店打9折，乙店不超过3件不打折，实际付费金额y甲（元），y乙（元）和x（件）（x为非负整数）的关系如图所示，小明家需要这种装饰材料6件，发现两家的付费金额恰好相同．
（1）写出y甲（元）与x（件）的函数关系式，并求出a的值；
（2）写出y乙（元）和x（件）的函数关系式，并写出乙店实际的优惠方案；
（3）小宇家也需要这种装饰材料，按照上述的优惠方案，已知甲店比乙店付费金额高60元，求小宇家购买的件数．
24．（10分）图1是一个虎口式夹子的俯视示意图，点O是夹子转轴，点O左边是两段相等的夹弧与（点A与点B重合），右边是长度相等的两部分夹柄，OE⊥CE于点E，OF⊥DF于点F，OE＝OF＝1.4cm，CE＝DF＝4.8cm．其中OA＝OB＝4cm，CD＝5cm，
（1）求OC的长及图1中∠COD的大小；
（2）按图2方式用手指按夹柄，夹子两边绕点O转动．当点C，D重合时，两段弧与恰好在同一圆上，求此时优弧的长．（结果保留π）
25．（10分）如图，抛物线L：y＝a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点（点A在点的左侧），与y轴交于点C且OB＝OC，点P（m，n）为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）．
（1）a的值为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）设抛物线L在点C和点P之间的部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
（3）若点P（m，n）的坐标满足m+n＝13时，连接CP．将直线CP与抛物线L围成的封闭图形记为G．
①求点P的坐标；
②直接写出封闭图形G的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数．
26．（12分）如图1，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在边BC上（不与点B、C重合），CD＝4，点E在边AC上，将△CDE沿DE折叠得到△C′DE（其中点C′是点C的对应点）．
（1）当点C′落在AC上时，依题意补全图2，并指出C′D与AB的位置关系；
（1）如图3，当点C′落到∠ACB的平分线上时，判断四边形CDC′E的形状并说明理由；
（3）当点C′到AB的距离最小时，求CE的长；
（4）当A，C′，D三点共线时，直接写出∠AEC′的余弦值．
2023年河北省衡水市三校联考中考数学二模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【解答】解：根据图形可知，a，d的长度大于正方形的边长，c的长度等于正方形的边长，b的长度小于正方形的边长，
所以长度最小的是b．
故选：B．
2．下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵﹣﹣1＝﹣，﹣+1＝，﹣1＝﹣，+1＝，
且﹣＜﹣＜＜，
∴﹣﹣1＜﹣1＜﹣+1＜+1，
故选：A．
3．已知﹣3a＜﹣3b，则a和b的关系是（ ）
A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．不能确定
【解答】解：∵﹣3a＜﹣3b，
∴（﹣3a）÷（﹣3）＞（﹣3b）÷（﹣3），
即a＞b．
故选：B．
4．如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是A选项．
故选：A．
5．互联网已经进入5G时代，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，将数据0.00076用科学记数法表示应为（ ）
A．76×10﹣3 B．7.6×10﹣3 C．7.6×10﹣4 D．7.6×10﹣5
【解答】解：0.00076＝7.6×10﹣4．
故选：C．
6．如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西34°方向的A处，一艘渔船在观测站P的南偏东56°方向B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（ ）
A．1.5小时 B．2小时 C．2.5小时 D．4小时
【解答】解：连接AB，
根据题意可知∠APB＝34°+56°＝90°，
∴△APB是直角三角形，
AB＝＝75（海里），
∵巡航船的速度为30海里/小时，
∴75÷30＝2.5（小时），
即至少需要2.5小时．
故选：C．
7．数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（ ）
（1）（﹣a3）2＝（﹣a2）3（×）
（2）a3﹣a2＝a（×）
（3）a6÷a2＝a3（×）
（4）3a2﹣（﹣a2）＝2a2（√）
（5）a4・a2＝a8（×）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：（1）（﹣a3）2＝﹣（﹣a2）3，故（1）判断正确；
（2）a3与﹣a2不属于同类项，不能合并，故（2）判断正确；
（3）a6÷a2＝a4，故（3）判断正确；
（4）3a2﹣（﹣a2）＝4a2，故（4）判断错误；
（5）a4・a2＝a6，故（5）判断正确；
则判断正确的有4个．
故选：．
8．如图，将一个无盖正方体盒子展开成平面图形的过程中，需要剪开的棱的条数是（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【解答】解：由题意知，无盖正方体盒子有8条棱相连，展开后四条棱相连，
∴需要剪开的棱的条数为4条，
故选：C．
9．定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED＝180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
证明：如图，过点E作直线AB，
使得AB∥CD，
∴∠2＝∠D（*），
∴∠1+∠@＝180°，
∴∠C+∠D+∠CED＝180°．
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【解答】证明：如图，过点E作直线AB，
使得AB∥CD，
∴∠2＝∠D（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意；
∴∠1+∠BEC＝180°，
∴∠C+∠D+∠CED＝180°．故②符合题意；
上述证明得到的结论，适用于任何三角形．
故③不符合题意；④符合题意，
故选：C．
10．甲、乙两名队员参加射击训练（各射击10次），将训练成绩分别制成下列两个统计图 次数（如图1、图2），下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙的平均数相同 B．乙的成绩更稳定
C．甲、乙的中位数相同 D．甲和乙的众数相同
【解答】解：甲的平均数为：＝7，
乙的平均数为：乙组的平均数为：（3+4+6+7+7+8+8+8+9+10）÷10＝7，
所以甲、乙的平均数相同，故选项A符合题意；
甲的方差为：[（5﹣7）2+2×（6﹣7）2+4×（7﹣7）2+2×（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝1.2，
乙的方差为：＝4.2，
故选项B不符合题意；
甲的中位数是7，乙的中位数是＝7.5，故选项C不符合题意；
甲的众数是7，乙的众数是7和8，故选项D不符合题意；
故选：A．
11．以下是代数式．排乱的化简步骤：
①＝；②＝；
③＝；④•．
则正确化简步骤的顺序是（ ）
A．①→③→④→② B．③→①→④→② C．③→④→①→② D．①→④→③→②
【解答】解：
＝
＝•
＝•
＝．
故选：C．
12．要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，则测量BC的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
【解答】解：∵AB⊥BF，
∴∠ABC＝90°，
∵DE⊥BF，
∴∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED，
故方案Ⅰ可行；
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
故方案Ⅱ可行；
综上可知，方案Ⅰ和Ⅱ都可行，
故选：C．
13．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为50，若把甲钱数的三分之二给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x，则下列说法错误的是（ ）
A．设乙持钱为y，依题意
B．依题意
C．乙的钱数为25
D．甲、乙钱数的和为62.5
【解答】解：设甲持钱为x，乙持钱为y或（x），
根据题意，可列方程组：，或x+x＝50，故A不符合题意，B符合题意，
解得．
∴甲持钱为37.5，乙持钱为25，甲、乙钱数的和为62.5，故C不符合题意，D不符合题意．
故选：B．
14．如图，将直尺、含60°的直角三角尺和量角器按如图摆放，60°角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
【解答】解：三角尺和量角器放在直尺上的示意图如图所示，连接OA、OB，
根据题意得AB＝7﹣4＝3，∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∵AB、AC分别与⊙O相切于点B、点C，
∴AB⊥OB，∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABO＝90°，
∴＝tan∠OAB＝tan60°＝，
∴OB＝AB＝×3＝3，
∴2×3＝6，
∴该量角器的直径是6，
故选：D．
15．如图，点M，N，P，Q，T均为坐标系中2×2的正方形网格的顶点（网格的横线都与x轴平行，纵线都与y轴平行，每个小正方形的边长为1），点N的坐标为（2，2），在双曲线y＝（x＞0）中的常数k的值从1逐渐增大到9的过程中，关于双曲线l依次经过的格点的顺序，下列说法正确的是（ ）
A．点M→点P→同时经过点N，Q→点T
B．点M→点N→同时经过点P，Q→点T
C．点M→同时经过点P，Q→点N→点T
D．点P→点M→同时经过点N，Q→点T
【解答】解：根据题意，得点N的坐标为（2，2），M（1，2），Q（1，3），T（2，3），P（3，1），
∴2×2＝4，1×2＝2，1×3＝3，2×3＝6，3×1＝3，
∵2＜3＝3＜4＜6，
∴常数k的值从1逐渐增大到9的过程中，双曲线依次经过的格点的顺序是：点M→同时经过点P，Q→点N→点T，
故选：C．
16．题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形也能围成环状，除了n＝5外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：n＝6，乙答：n＝8，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
【解答】解：360°÷6＝60°，
正六边形的一个内角为180°﹣60°＝120°，
正环状形的一个内角为360°﹣120°﹣120°＝120°，一个外角为180°﹣120°＝60°，
则6个全等的六边形依次排列可以围成环状；
360°÷8＝45°，
正八边形的一个内角为180°﹣45°＝135°，
正环状形的一个内角为360°﹣135°﹣135°＝90°，一个外角为180°﹣90°＝90°，
360°÷90°＝4，
则4个全等的八边形依次排列可以围成环状；
360°÷12＝30°，
正十二边形的一个内角为180°﹣30°＝150°，
正环状形的一个内角为360°﹣150°﹣150°＝60°，一个外角为180°﹣60°＝120°，
360°÷120°＝3，
则3个全等的十二边形依次排列可以围成环状．
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分）
17．计算﹣得 8 ．
【解答】解：原式＝10﹣2＝8．
故答案为：8．
18．如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝AC＝6，点P是AB的中点，过点P的直线与AC交于
点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．
（1）PQ与BC是否平行？（填“是”或“否”）；
（2）△APQ的周长为 8 ．
【解答】解：（1）PQ与BC是平行，
证明：由尺规作图痕迹可知，∠BPD＝∠B，
∴PQ∥BC；
（2）∵PQ∥BC，点P是AB的中点，
∴AQ＝CQ＝AC＝×6＝3，AP＝AB＝×4＝2，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ＝BC＝×6＝3，
∴△APQ的周长＝AP+PQ+AQ＝8．
故答案为：8．
19．把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排列放在表格1中，任意选定如图所示方框中的4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即bc﹣ad．例如：3×11﹣1×13＝20．
（1）9×17﹣7×19＝ 20 ；
（2）bc﹣ad＝ 20 ；
（3）如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有n列的表格中，则bc﹣ad＝ 4n .（用含n的式子表示）
【解答】解：（1）9×17﹣7×19
＝153﹣133
＝20，
故答案为：20；
（2）由表1可得，
b＝a+2，c＝a+10，d＝a+12，
∴bc﹣ad
＝（a+2）（a+10）﹣a（a+12）
＝a2+12a+20﹣a2﹣12a
＝20，
故答案为：20；
（3）由表2可得，
b＝a+2，c＝a+2n，d＝a+2n+2，
∴bc﹣ad
＝（a+2）（a+2n）﹣a（a+2n+2）
＝a2+（2+2n）a+4n﹣a2﹣（2n+2）a
＝4n，
故答案为：4n．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（9分）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数依次为a1，a2，a3，a4，a5．
（1）a4＝ 2 ；
（2）计算：a1•a4﹣a3﹣a2÷a5．
【解答】解：﹣6与6两点间的线段的长度为6﹣（﹣6）＝12，
六等分后每个等分的线段长为12÷6＝2，
∴a1，a2，a3，a4，a5表示的数为：﹣4，﹣2，0，2，4，
（1）a4＝2；
故答案为：2；
（2）a1•a4﹣a3﹣a2÷a5
＝﹣4×2﹣0﹣（﹣2）÷4
＝﹣8﹣0+
＝﹣．
21．（9分）如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．
（1）用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积 a2+b2﹣2m ；
（2）若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的，求a的值．
【解答】解：（1）种植花草的面积＝a2﹣m+b2﹣m＝a2+b2﹣2m，
故答案为：a2+b2﹣2m；
（2）∵正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心E，
如图，过点E作正方形B的两边的垂线，垂足分别为C，D，
∴四边形ECQD是正方形，且面积是B的，
∵∠ECG＝∠EDH，∠GEC＝90°﹣∠CEH＝∠HED，
∵EC＝ED，
∴△GEC≌△HED（ASA），
∴△GEC的面积＝△HED的面积，
∴M的面积＝正方形ECQD的面积＝B的，
由题意得，，
解得或（不合题意，舍去），
∴a＝60，
故答案为：60．
22．（9分）概念理解 嘉嘉和淇淇学习了随机事件的概率，老师留的作业中有一道判断题：①自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件；②成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件；③若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次．
真命题的序号是 ① ；
知识应用 嘉嘉和淇淇做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体．
（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是 ；
（2）淇淇随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率．
【解答】解：概念理解：真命题的序号是①，
故答案为：①；
知识应用：（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是＝；
（2）将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液分别记作A、B、C、D，列表如下：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表知，共有12种等可能结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，
所以一杯变红、一杯变蓝的概率为＝．
故答案为：．
23．（10分）网上购物快捷、简便，受到人们的广泛喜爱．小明家装修要用某种环保装饰材料，两个商家的原价相同．购物节优惠促销，甲店打9折，乙店不超过3件不打折，实际付费金额y甲（元），y乙（元）和x（件）（x为非负整数）的关系如图所示，小明家需要这种装饰材料6件，发现两家的付费金额恰好相同．
（1）写出y甲（元）与x（件）的函数关系式，并求出a的值；
（2）写出y乙（元）和x（件）的函数关系式，并写出乙店实际的优惠方案；
（3）小宇家也需要这种装饰材料，按照上述的优惠方案，已知甲店比乙店付费金额高60元，求小宇家购买的件数．
【解答】解：（1）由图象得，原价为＝300（元），
∴y甲＝0.9×300x＝270x，
∵当x＝6时，y＝a，
∴a＝270×6＝1620，
∴y甲＝270x，a＝1620．
（2）当0≤x≤3（x为非负整数）时，
y乙＝300x，
当x＞3（x为非负整数）时，
设y乙＝kx+b（k＞0），
把（3，900），（6，1620）两点坐标代入上式得，
，
解得，，
∴y乙＝240x+180，
∴，
∵当x＞3时，y乙＝240x+180＝240（x﹣3）+900，
＝0.8，
∴乙店实际的优惠方案是：购买超过3件，超过的部分打8折．
（3）∵甲店比乙店付费金额高60元，
∴小宇家购买的件数大于6，
设购买了m件，
由题意得，270m＝240m+180+60，
解得，m＝8，
答：小宇家购买的件数是8．
24．（10分）图1是一个虎口式夹子的俯视示意图，点O是夹子转轴，点O左边是两段相等的夹弧与（点A与点B重合），右边是长度相等的两部分夹柄，OE⊥CE于点E，OF⊥DF于点F，OE＝OF＝1.4cm，CE＝DF＝4.8cm．其中OA＝OB＝4cm，CD＝5cm，
（1）求OC的长及图1中∠COD的大小；
（2）按图2方式用手指按夹柄，夹子两边绕点O转动．当点C，D重合时，两段弧与恰好在同一圆上，求此时优弧的长．（结果保留π）
【解答】OE⊥CE于点E，OF⊥DF于点F，OE＝OF＝1.4cm，CE＝DF＝4.8cm．其中OA＝OB＝4cm，CD＝5cm，
25．（10分）如图，抛物线L：y＝a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点（点A在点的左侧），与y轴交于点C且OB＝OC，点P（m，n）为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）．
（1）a的值为 1 ，抛物线的顶点坐标为 （2，﹣1） ；
（2）设抛物线L在点C和点P之间的部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
（3）若点P（m，n）的坐标满足m+n＝13时，连接CP．将直线CP与抛物线L围成的封闭图形记为G．
①求点P的坐标；
②直接写出封闭图形G的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数．
【解答】解：（1）当y＝0时，a（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵BO＝CO，
∴C（0，3），
将C点代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∴3a＝3，
解得a＝1，
∴抛物线L的解析式为y＝x2﹣4x+3，
∴抛物线的顶点为（2，﹣1），
故答案为：1，（2，﹣1）；
（2）当y＝3时，x2﹣4x+3＝3，
解得x＝0或x＝4，
∵点P（m，n）为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点，
∴m＞2，
当2＜m≤4时，h＝3﹣（﹣1）＝4；
当m＞4时，h＝n﹣（﹣1）＝m2﹣4m+4；
（3）①联立方程组，
解得或（舍）；
∴P点坐标为（5，8）；
②设直线CP的解析式为y＝kx+3，
∴5k+3＝8，
解得k＝1，
∴直线CP的解析式为y＝x+3，
∴封闭图形G的边界上的整点为（0，3），（1，4），（2，5），（3，6），（4，7），（5，8），（1，0），（2，﹣1），（3，0），（4，3），共有10个．
26．（12分）如图1，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在边BC上（不与点B、C重合），CD＝4，点E在边AC上，将△CDE沿DE折叠得到△C′DE（其中点C′是点C的对应点）．
（1）当点C′落在AC上时，依题意补全图2，并指出C′D与AB的位置关系；
（1）如图3，当点C′落到∠ACB的平分线上时，判断四边形CDC′E的形状并说明理由；
（3）当点C′到AB的距离最小时，求CE的长；
（4）当A，C′，D三点共线时，直接写出∠AEC′的余弦值．
【解答】解：（1）补图如下：
C'D∥AB，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，由折叠知，∠CC'D＝∠C＝60°，
∴∠CDC'＝60°，
∴C'D∥AB；
（2）四边形CDC′E的形状是菱形，理由如下：
由折叠知，CD＝DC'，CE＝EC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C，∠ECC'＝∠EC'C，
∵点C′落到∠ACB的平分线上，
在△CDC'和△CEC'中，
，
∴△CDC'≌△CEC'（ASA），
∴CD＝DC'＝CE＝EC'，
∴四边形CDC′E的形状是菱形；
（3）由题意知，当点C′到AB的距离最小时，DC'的延长线垂直AB于点F，
过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠B＝60°，∠BFD＝90°，
∴∠FDC＝150°，
由折叠知，∠CDE＝∠FDC＝75°，
∵∠C＝60°，∠DHC＝90°，
∴∠HDC＝30°，
∴∠EDH＝∠CDE﹣∠HDC＝75°﹣30°＝45°，
∵CD＝4，
∴CH＝CD＝2，DH＝2，
∵△EDH为等腰直角三角形，
∴EH＝DH＝2，
∴CE＝CH+EH＝2+2；
（4）过点D作DF⊥AB于点F，
由折叠知，∠DC'E＝∠C＝60°，
∴∠DAC+∠AEC'＝60°，
∵∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝∠AEC'，
∵∠B＝60°，∠BFD＝90°，
∴BF＝BD＝（12﹣4）＝4，
∴DF＝＝4，AF＝AB﹣BF＝12﹣4＝8，
∴AD＝＝4，
∴cos∠AEC'＝cos∠BAD＝＝＝．
2023年河北省衡水市三校联考中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
2．下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知﹣3a＜﹣3b，则a和b的关系是（ ）
A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．不能确定
4．如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
5．互联网已经进入5G时代，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，将数据0.00076用科学记数法表示应为（ ）
A．76×10﹣3 B．7.6×10﹣3 C．7.6×10﹣4 D．7.6×10﹣5
6．如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西34°方向的A处，一艘渔船在观测站P的南偏东56°方向B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（ ）
A．1.5小时 B．2小时 C．2.5小时 D．4小时
7．数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（ ）
（1）（﹣a3）2＝（﹣a2）3（×）
（2）a3﹣a2＝a（×）
（3）a6÷a2＝a3（×）
（4）3a2﹣（﹣a2）＝2a2（√）
（5）a4・a2＝a8（×）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．如图，将一个无盖正方体盒子展开成平面图形的过程中，需要剪开的棱的条数是（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
9．定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED＝180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
证明：如图，过点E作直线AB，
使得AB∥CD，
∴∠2＝∠D（*），
∴∠1+∠@＝180°，
∴∠C+∠D+∠CED＝180°．
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
10．甲、乙两名队员参加射击训练（各射击10次），将训练成绩分别制成下列两个统计图 次数（如图1、图2），下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙的平均数相同 B．乙的成绩更稳定
C．甲、乙的中位数相同 D．甲和乙的众数相同
11．以下是代数式．排乱的化简步骤：
①＝；②＝；
③＝；④•．
则正确化简步骤的顺序是（ ）
A．①→③→④→② B．③→①→④→② C．③→④→①→② D．①→④→③→②
12．要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，则测量BC的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
13．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为50，若把甲钱数的三分之二给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x，则下列说法错误的是（ ）
A．设乙持钱为y，依题意
B．依题意
C．乙的钱数为25
D．甲、乙钱数的和为62.5
14．如图，将直尺、含60°的直角三角尺和量角器按如图摆放，60°角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
15．如图，点M，N，P，Q，T均为坐标系中2×2的正方形网格的顶点（网格的横线都与x轴平行，纵线都与y轴平行，每个小正方形的边长为1），点N的坐标为（2，2），在双曲线y＝（x＞0）中的常数k的值从1逐渐增大到9的过程中，关于双曲线l依次经过的格点的顺序，下列说法正确的是（ ）
A．点M→点P→同时经过点N，Q→点T
B．点M→点N→同时经过点P，Q→点T
C．点M→同时经过点P，Q→点N→点T
D．点P→点M→同时经过点N，Q→点T
16．题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形也能围成环状，除了n＝5外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：n＝6，乙答：n＝8，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分）
17．计算﹣得 ．
18．如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝AC＝6，点P是AB的中点，过点P的直线与AC交于
点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．
（1）PQ与BC是否平行？（填“是”或“否”）；
（2）△APQ的周长为 ．
19．把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排列放在表格1中，任意选定如图所示方框中的4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即bc﹣ad．例如：3×11﹣1×13＝20．
（1）9×17﹣7×19＝ ；
（2）bc﹣ad＝ ；
（3）如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有n列的表格中，则bc﹣ad＝ .（用含n的式子表示）
三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（9分）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数依次为a1，a2，a3，a4，a5．
（1）a4＝ ；
（2）计算：a1•a4﹣a3﹣a2÷a5．
21．（9分）如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．
（1）用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积 ；
（2）若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的，求a的值．
22．（9分）概念理解 嘉嘉和淇淇学习了随机事件的概率，老师留的作业中有一道判断题：①自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件；②成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件；③若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次．
真命题的序号是 ；
知识应用 嘉嘉和淇淇做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体．
（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是 ；
（2）淇淇随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率．
23．（10分）网上购物快捷、简便，受到人们的广泛喜爱．小明家装修要用某种环保装饰材料，两个商家的原价相同．购物节优惠促销，甲店打9折，乙店不超过3件不打折，实际付费金额y甲（元），y乙（元）和x（件）（x为非负整数）的关系如图所示，小明家需要这种装饰材料6件，发现两家的付费金额恰好相同．
（1）写出y甲（元）与x（件）的函数关系式，并求出a的值；
（2）写出y乙（元）和x（件）的函数关系式，并写出乙店实际的优惠方案；
（3）小宇家也需要这种装饰材料，按照上述的优惠方案，已知甲店比乙店付费金额高60元，求小宇家购买的件数．
24．（10分）图1是一个虎口式夹子的俯视示意图，点O是夹子转轴，点O左边是两段相等的夹弧与（点A与点B重合），右边是长度相等的两部分夹柄，OE⊥CE于点E，OF⊥DF于点F，OE＝OF＝1.4cm，CE＝DF＝4.8cm．其中OA＝OB＝4cm，CD＝5cm，
（1）求OC的长及图1中∠COD的大小；
（2）按图2方式用手指按夹柄，夹子两边绕点O转动．当点C，D重合时，两段弧与恰好在同一圆上，求此时优弧的长．（结果保留π）
25．（10分）如图，抛物线L：y＝a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点（点A在点的左侧），与y轴交于点C且OB＝OC，点P（m，n）为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）．
（1）a的值为 ，抛物线的顶点坐标为 ；
（2）设抛物线L在点C和点P之间的部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
（3）若点P（m，n）的坐标满足m+n＝13时，连接CP．将直线CP与抛物线L围成的封闭图形记为G．
①求点P的坐标；
②直接写出封闭图形G的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数．
26．（12分）如图1，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在边BC上（不与点B、C重合），CD＝4，点E在边AC上，将△CDE沿DE折叠得到△C′DE（其中点C′是点C的对应点）．
（1）当点C′落在AC上时，依题意补全图2，并指出C′D与AB的位置关系；
（1）如图3，当点C′落到∠ACB的平分线上时，判断四边形CDC′E的形状并说明理由；
（3）当点C′到AB的距离最小时，求CE的长；
（4）当A，C′，D三点共线时，直接写出∠AEC′的余弦值．
2023年河北省衡水市三校联考中考数学二模试卷
（参考答案）
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题每题3分，11-16小题每题2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最小的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【解答】解：根据图形可知，a，d的长度大于正方形的边长，c的长度等于正方形的边长，b的长度小于正方形的边长，
所以长度最小的是b．
故选：B．
2．下列各式的值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵﹣﹣1＝﹣，﹣+1＝，﹣1＝﹣，+1＝，
且﹣＜﹣＜＜，
∴﹣﹣1＜﹣1＜﹣+1＜+1，
故选：A．
3．已知﹣3a＜﹣3b，则a和b的关系是（ ）
A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．不能确定
【解答】解：∵﹣3a＜﹣3b，
∴（﹣3a）÷（﹣3）＞（﹣3b）÷（﹣3），
即a＞b．
故选：B．
4．如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图是嘉嘉把纸折叠后剪出的图案，将剪纸展开后得到的图案是A选项．
故选：A．
5．互联网已经进入5G时代，应用5G网络下载一个1000KB的文件只需要0.00076秒，将数据0.00076用科学记数法表示应为（ ）
A．76×10﹣3 B．7.6×10﹣3 C．7.6×10﹣4 D．7.6×10﹣5
【解答】解：0.00076＝7.6×10﹣4．
故选：C．
6．如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西34°方向的A处，一艘渔船在观测站P的南偏东56°方向B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（ ）
A．1.5小时 B．2小时 C．2.5小时 D．4小时
【解答】解：连接AB，
根据题意可知∠APB＝34°+56°＝90°，
∴△APB是直角三角形，
AB＝＝75（海里），
∵巡航船的速度为30海里/小时，
∴75÷30＝2.5（小时），
即至少需要2.5小时．
故选：C．
7．数学课上进行小组合作式学习，老师让小组成员的2号同学写出5个常错的式子，4号同学进行判断，则判断正确的个数是（ ）
（1）（﹣a3）2＝（﹣a2）3（×）
（2）a3﹣a2＝a（×）
（3）a6÷a2＝a3（×）
（4）3a2﹣（﹣a2）＝2a2（√）
（5）a4・a2＝a8（×）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：（1）（﹣a3）2＝﹣（﹣a2）3，故（1）判断正确；
（2）a3与﹣a2不属于同类项，不能合并，故（2）判断正确；
（3）a6÷a2＝a4，故（3）判断正确；
（4）3a2﹣（﹣a2）＝4a2，故（4）判断错误；
（5）a4・a2＝a6，故（5）判断正确；
则判断正确的有4个．
故选：．
8．如图，将一个无盖正方体盒子展开成平面图形的过程中，需要剪开的棱的条数是（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【解答】解：由题意知，无盖正方体盒子有8条棱相连，展开后四条棱相连，
∴需要剪开的棱的条数为4条，
故选：C．
9．定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED＝180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
证明：如图，过点E作直线AB，
使得AB∥CD，
∴∠2＝∠D（*），
∴∠1+∠@＝180°，
∴∠C+∠D+∠CED＝180°．
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【解答】证明：如图，过点E作直线AB，
使得AB∥CD，
∴∠2＝∠D（两直线平行，内错角相等），故①不符合题意；
∴∠1+∠BEC＝180°，
∴∠C+∠D+∠CED＝180°．故②符合题意；
上述证明得到的结论，适用于任何三角形．
故③不符合题意；④符合题意，
故选：C．
10．甲、乙两名队员参加射击训练（各射击10次），将训练成绩分别制成下列两个统计图 次数（如图1、图2），下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙的平均数相同 B．乙的成绩更稳定
C．甲、乙的中位数相同 D．甲和乙的众数相同
【解答】解：甲的平均数为：＝7，
乙的平均数为：乙组的平均数为：（3+4+6+7+7+8+8+8+9+10）÷10＝7，
所以甲、乙的平均数相同，故选项A符合题意；
甲的方差为：[（5﹣7）2+2×（6﹣7）2+4×（7﹣7）2+2×（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝1.2，
乙的方差为：＝4.2，
故选项B不符合题意；
甲的中位数是7，乙的中位数是＝7.5，故选项C不符合题意；
甲的众数是7，乙的众数是7和8，故选项D不符合题意；
故选：A．
11．以下是代数式．排乱的化简步骤：
①＝；②＝；
③＝；④•．
则正确化简步骤的顺序是（ ）
A．①→③→④→② B．③→①→④→② C．③→④→①→② D．①→④→③→②
【解答】解：
＝
＝•
＝•
＝．
故选：C．
12．要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．
方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；
方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使∠BDC＝∠BDA，则测量BC的长即可．
对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（ ）
A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行
C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行
【解答】解：∵AB⊥BF，
∴∠ABC＝90°，
∵DE⊥BF，
∴∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED，
故方案Ⅰ可行；
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB＝BC，
故方案Ⅱ可行；
综上可知，方案Ⅰ和Ⅱ都可行，
故选：C．
13．我国古代数学著作《九章算术》记载：“今有甲乙二人，持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”意思是：今有甲、乙二人，不知道其钱包里有多少钱，若把乙钱数的一半给甲，则甲的钱数为50，若把甲钱数的三分之二给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱x，则下列说法错误的是（ ）
A．设乙持钱为y，依题意
B．依题意
C．乙的钱数为25
D．甲、乙钱数的和为62.5
【解答】解：设甲持钱为x，乙持钱为y或（x），
根据题意，可列方程组：，或x+x＝50，故A不符合题意，B符合题意，
解得．
∴甲持钱为37.5，乙持钱为25，甲、乙钱数的和为62.5，故C不符合题意，D不符合题意．
故选：B．
14．如图，将直尺、含60°的直角三角尺和量角器按如图摆放，60°角的顶点A在直尺上读数为4，量角器与直尺的接触点B在直尺上的读数为7，量角器与直角三角尺的接触点为点C，则该量角器的直径是（ ）
A．3 B．3 C．6 D．6
【解答】解：三角尺和量角器放在直尺上的示意图如图所示，连接OA、OB，
根据题意得AB＝7﹣4＝3，∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∵AB、AC分别与⊙O相切于点B、点C，
∴AB⊥OB，∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝60°，
∴∠ABO＝90°，
∴＝tan∠OAB＝tan60°＝，
∴OB＝AB＝×3＝3，
∴2×3＝6，
∴该量角器的直径是6，
故选：D．
15．如图，点M，N，P，Q，T均为坐标系中2×2的正方形网格的顶点（网格的横线都与x轴平行，纵线都与y轴平行，每个小正方形的边长为1），点N的坐标为（2，2），在双曲线y＝（x＞0）中的常数k的值从1逐渐增大到9的过程中，关于双曲线l依次经过的格点的顺序，下列说法正确的是（ ）
A．点M→点P→同时经过点N，Q→点T
B．点M→点N→同时经过点P，Q→点T
C．点M→同时经过点P，Q→点N→点T
D．点P→点M→同时经过点N，Q→点T
【解答】解：根据题意，得点N的坐标为（2，2），M（1，2），Q（1，3），T（2，3），P（3，1），
∴2×2＝4，1×2＝2，1×3＝3，2×3＝6，3×1＝3，
∵2＜3＝3＜4＜6，
∴常数k的值从1逐渐增大到9的过程中，双曲线依次经过的格点的顺序是：点M→同时经过点P，Q→点N→点T，
故选：C．
16．题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形也能围成环状，除了n＝5外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：n＝6，乙答：n＝8，则正确的是（ ）
A．只有甲答的对
B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整
D．甲、乙答案合在一起也不完整
【解答】解：360°÷6＝60°，
正六边形的一个内角为180°﹣60°＝120°，
正环状形的一个内角为360°﹣120°﹣120°＝120°，一个外角为180°﹣120°＝60°，
则6个全等的六边形依次排列可以围成环状；
360°÷8＝45°，
正八边形的一个内角为180°﹣45°＝135°，
正环状形的一个内角为360°﹣135°﹣135°＝90°，一个外角为180°﹣90°＝90°，
360°÷90°＝4，
则4个全等的八边形依次排列可以围成环状；
360°÷12＝30°，
正十二边形的一个内角为180°﹣30°＝150°，
正环状形的一个内角为360°﹣150°﹣150°＝60°，一个外角为180°﹣60°＝120°，
360°÷120°＝3，
则3个全等的十二边形依次排列可以围成环状．
故选：D．
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分，其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分）
17．计算﹣得 8 ．
【解答】解：原式＝10﹣2＝8．
故答案为：8．
18．如图，已知在△ABC中，AB＝4，BC＝AC＝6，点P是AB的中点，过点P的直线与AC交于
点Q，依据尺规作图痕迹解决下列问题．
（1）PQ与BC是否平行？（填“是”或“否”）；
（2）△APQ的周长为 8 ．
【解答】解：（1）PQ与BC是平行，
证明：由尺规作图痕迹可知，∠BPD＝∠B，
∴PQ∥BC；
（2）∵PQ∥BC，点P是AB的中点，
∴AQ＝CQ＝AC＝×6＝3，AP＝AB＝×4＝2，
∴PQ是△ABC的中位线，
∴PQ＝BC＝×6＝3，
∴△APQ的周长＝AP+PQ+AQ＝8．
故答案为：8．
19．把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排列放在表格1中，任意选定如图所示方框中的4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即bc﹣ad．例如：3×11﹣1×13＝20．
（1）9×17﹣7×19＝ 20 ；
（2）bc﹣ad＝ 20 ；
（3）如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有n列的表格中，则bc﹣ad＝ 4n .（用含n的式子表示）
【解答】解：（1）9×17﹣7×19
＝153﹣133
＝20，
故答案为：20；
（2）由表1可得，
b＝a+2，c＝a+10，d＝a+12，
∴bc﹣ad
＝（a+2）（a+10）﹣a（a+12）
＝a2+12a+20﹣a2﹣12a
＝20，
故答案为：20；
（3）由表2可得，
b＝a+2，c＝a+2n，d＝a+2n+2，
∴bc﹣ad
＝（a+2）（a+2n）﹣a（a+2n+2）
＝a2+（2+2n）a+4n﹣a2﹣（2n+2）a
＝4n，
故答案为：4n．
三、解答题（本大题共7个小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（9分）如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应的数依次为a1，a2，a3，a4，a5．
（1）a4＝ 2 ；
（2）计算：a1•a4﹣a3﹣a2÷a5．
【解答】解：﹣6与6两点间的线段的长度为6﹣（﹣6）＝12，
六等分后每个等分的线段长为12÷6＝2，
∴a1，a2，a3，a4，a5表示的数为：﹣4，﹣2，0，2，4，
（1）a4＝2；
故答案为：2；
（2）a1•a4﹣a3﹣a2÷a5
＝﹣4×2﹣0﹣（﹣2）÷4
＝﹣8﹣0+
＝﹣．
21．（9分）如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．
（1）用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积 a2+b2﹣2m ；
（2）若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的，求a的值．
【解答】解：（1）种植花草的面积＝a2﹣m+b2﹣m＝a2+b2﹣2m，
故答案为：a2+b2﹣2m；
（2）∵正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心E，
如图，过点E作正方形B的两边的垂线，垂足分别为C，D，
∴四边形ECQD是正方形，且面积是B的，
∵∠ECG＝∠EDH，∠GEC＝90°﹣∠CEH＝∠HED，
∵EC＝ED，
∴△GEC≌△HED（ASA），
∴△GEC的面积＝△HED的面积，
∴M的面积＝正方形ECQD的面积＝B的，
由题意得，，
解得或（不合题意，舍去），
∴a＝60，
故答案为：60．
22．（9分）概念理解 嘉嘉和淇淇学习了随机事件的概率，老师留的作业中有一道判断题：①自然现象中，“太阳从东方升起”是必然事件；②成语“水中捞月”所描述的事件是随机事件；③若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次．
真命题的序号是 ① ；
知识应用 嘉嘉和淇淇做化学实验，紫色石蕊试剂是一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变蓝，遇中性溶液不变色．现有4瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液，其中白醋溶液、柠檬水溶液是酸性，食用碱溶液是碱性，蒸馏水是中性，两人各取了4个烧杯，分别倒入这4种不同的无色液体．
（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是 ；
（2）淇淇随机取了两个烧杯，滴入石蕊试剂，用画树状图法或列表法求一杯变红、一杯变蓝的概率．
【解答】解：概念理解：真命题的序号是①，
故答案为：①；
知识应用：（1）嘉嘉将石蕊试剂滴入任意一个烧杯，呈现蓝色的概率是＝；
（2）将蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液分别记作A、B、C、D，列表如下：
A
B
C
D
A
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
由表知，共有12种等可能结果，其中一杯变红、一杯变蓝的有4种结果，
所以一杯变红、一杯变蓝的概率为＝．
故答案为：．
23．（10分）网上购物快捷、简便，受到人们的广泛喜爱．小明家装修要用某种环保装饰材料，两个商家的原价相同．购物节优惠促销，甲店打9折，乙店不超过3件不打折，实际付费金额y甲（元），y乙（元）和x（件）（x为非负整数）的关系如图所示，小明家需要这种装饰材料6件，发现两家的付费金额恰好相同．
（1）写出y甲（元）与x（件）的函数关系式，并求出a的值；
（2）写出y乙（元）和x（件）的函数关系式，并写出乙店实际的优惠方案；
（3）小宇家也需要这种装饰材料，按照上述的优惠方案，已知甲店比乙店付费金额高60元，求小宇家购买的件数．
【解答】解：（1）由图象得，原价为＝300（元），
∴y甲＝0.9×300x＝270x，
∵当x＝6时，y＝a，
∴a＝270×6＝1620，
∴y甲＝270x，a＝1620．
（2）当0≤x≤3（x为非负整数）时，
y乙＝300x，
当x＞3（x为非负整数）时，
设y乙＝kx+b（k＞0），
把（3，900），（6，1620）两点坐标代入上式得，
，
解得，，
∴y乙＝240x+180，
∴，
∵当x＞3时，y乙＝240x+180＝240（x﹣3）+900，
＝0.8，
∴乙店实际的优惠方案是：购买超过3件，超过的部分打8折．
（3）∵甲店比乙店付费金额高60元，
∴小宇家购买的件数大于6，
设购买了m件，
由题意得，270m＝240m+180+60，
解得，m＝8，
答：小宇家购买的件数是8．
24．（10分）图1是一个虎口式夹子的俯视示意图，点O是夹子转轴，点O左边是两段相等的夹弧与（点A与点B重合），右边是长度相等的两部分夹柄，OE⊥CE于点E，OF⊥DF于点F，OE＝OF＝1.4cm，CE＝DF＝4.8cm．其中OA＝OB＝4cm，CD＝5cm，
（1）求OC的长及图1中∠COD的大小；
（2）按图2方式用手指按夹柄，夹子两边绕点O转动．当点C，D重合时，两段弧与恰好在同一圆上，求此时优弧的长．（结果保留π）
【解答】OE⊥CE于点E，OF⊥DF于点F，OE＝OF＝1.4cm，CE＝DF＝4.8cm．其中OA＝OB＝4cm，CD＝5cm，
25．（10分）如图，抛物线L：y＝a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点（点A在点的左侧），与y轴交于点C且OB＝OC，点P（m，n）为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点（不含顶点）．
（1）a的值为 1 ，抛物线的顶点坐标为 （2，﹣1） ；
（2）设抛物线L在点C和点P之间的部分（含点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标之差为h，求h关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围；
（3）若点P（m，n）的坐标满足m+n＝13时，连接CP．将直线CP与抛物线L围成的封闭图形记为G．
①求点P的坐标；
②直接写出封闭图形G的边界上的整点（横、纵坐标都是整数）的个数．
【解答】解：（1）当y＝0时，a（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵BO＝CO，
∴C（0，3），
将C点代入y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∴3a＝3，
解得a＝1，
∴抛物线L的解析式为y＝x2﹣4x+3，
∴抛物线的顶点为（2，﹣1），
故答案为：1，（2，﹣1）；
（2）当y＝3时，x2﹣4x+3＝3，
解得x＝0或x＝4，
∵点P（m，n）为抛物线L的对称轴右侧图象上的一点，
∴m＞2，
当2＜m≤4时，h＝3﹣（﹣1）＝4；
当m＞4时，h＝n﹣（﹣1）＝m2﹣4m+4；
（3）①联立方程组，
解得或（舍）；
∴P点坐标为（5，8）；
②设直线CP的解析式为y＝kx+3，
∴5k+3＝8，
解得k＝1，
∴直线CP的解析式为y＝x+3，
∴封闭图形G的边界上的整点为（0，3），（1，4），（2，5），（3，6），（4，7），（5，8），（1，0），（2，﹣1），（3，0），（4，3），共有10个．
26．（12分）如图1，等边三角形纸片ABC中，AB＝12，点D在边BC上（不与点B、C重合），CD＝4，点E在边AC上，将△CDE沿DE折叠得到△C′DE（其中点C′是点C的对应点）．
（1）当点C′落在AC上时，依题意补全图2，并指出C′D与AB的位置关系；
（1）如图3，当点C′落到∠ACB的平分线上时，判断四边形CDC′E的形状并说明理由；
（3）当点C′到AB的距离最小时，求CE的长；
（4）当A，C′，D三点共线时，直接写出∠AEC′的余弦值．
【解答】解：（1）补图如下：
C'D∥AB，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，由折叠知，∠CC'D＝∠C＝60°，
∴∠CDC'＝60°，
∴C'D∥AB；
（2）四边形CDC′E的形状是菱形，理由如下：
由折叠知，CD＝DC'，CE＝EC'，
∴∠DCC'＝∠DC'C，∠ECC'＝∠EC'C，
∵点C′落到∠ACB的平分线上，
在△CDC'和△CEC'中，
，
∴△CDC'≌△CEC'（ASA），
∴CD＝DC'＝CE＝EC'，
∴四边形CDC′E的形状是菱形；
（3）由题意知，当点C′到AB的距离最小时，DC'的延长线垂直AB于点F，
过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠B＝60°，∠BFD＝90°，
∴∠FDC＝150°，
由折叠知，∠CDE＝∠FDC＝75°，
∵∠C＝60°，∠DHC＝90°，
∴∠HDC＝30°，
∴∠EDH＝∠CDE﹣∠HDC＝75°﹣30°＝45°，
∵CD＝4，
∴CH＝CD＝2，DH＝2，
∵△EDH为等腰直角三角形，
∴EH＝DH＝2，
∴CE＝CH+EH＝2+2；
（4）过点D作DF⊥AB于点F，
由折叠知，∠DC'E＝∠C＝60°，
∴∠DAC+∠AEC'＝60°，
∵∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝∠AEC'，
∵∠B＝60°，∠BFD＝90°，
∴BF＝BD＝（12﹣4）＝4，
∴DF＝＝4，AF＝AB﹣BF＝12﹣4＝8，
∴AD＝＝4，
∴cos∠AEC'＝cos∠BAD＝＝＝．
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