2023年高考数学三模试题分项汇编（全国通用）专题04 三角函数（解析版）

专题04 三角函数

一、单选题

1．（2023·全国·校联考三模）已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，，得到，数形结合得到，求出答案.

【详解】因为，，

所以，

画出的图象，

要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则，

解得.

故选：A

2．（2023·广西柳州·统考三模）已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式和商数关系展开后，然后由和差公式可得.

【详解】因为

所以

由，所以，

所以，即

所以，即

故选：A

3．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角公式化简得出，即可求得的值.

【详解】因为，则，所以，，

因为，所以，，

故，可得.

故选：B.

4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用凑角，同角三角函数关系和二倍角的余弦公式转化计算.

【详解】

，

故选：B

5．（2023·重庆·统考三模）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意求出函数的解析式，然后通过函数是偶函数求出的取值范围，最后与进行对比，即可得出“”与“为偶函数”之间的关系．

【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，

所以，

因为为偶函数，

所以，即，

当时，可以推导出函数为偶函数，

而函数为偶函数不能推导出，

所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.

故选：A

6．（2023·辽宁·校联考三模）已知为钝角，，则的值为（    ）

A． B．-2 C． D．

【答案】D

【分析】根据二倍角的余弦公式化简得正余弦关系，再根据同角公式求出正切 ，再根据二倍角和两角和的正切公式可求出结果.

【详解】由得，化简得，则，

则．

故选：D．

7．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知函数在有且仅有两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简得到，结合和三角函数的性质，列出不等式，即可求解.

【详解】由函数，

因为，可得，则，

又由函数在仅有两个零点，且，

则满足，解得.

故选：C．

8．（2023·广西玉林·统考三模）已知函数在处取得最大值，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，由辅助角公式即可得到的值，然后由诱导公式化简即可得到结果.

【详解】因为，

其中，

当时，取得最大值，

即，所以，

所以

故选：A

9．（2023·湖北·校联考三模）已知函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上单调，则a的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，然后根据题意得到，再根据函数在上单调和正弦函数的图像得到，解之即可.

【详解】因为，

由已知条件时取得最大值，有，即．

又由已知得，于是，

由于，故在．所以函数，

因为，所以，

因为在上单调，所以，

解得，故．

故选：D．

10．（2023·江苏·统考三模）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用和差角公式展开，得到，即可得到，再利用两角差的余弦公式计算可得.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

所以

.

故选：A．

11．（2023·浙江温州·统考三模）“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性，利用单调性可解不等式，然后可得.

【详解】设，则，

所以在R上单调递增，

所以不等式.

即“”是“”的充要条件.

故选：C

12．（2023·天津·三模）已知，，若对，，使得成立，若在区间上的值域为，则实数的取值不可能是.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意首先确定函数的值域，然后数形结合得到关于的不等式，求解不等式可得的取值范围，据此可得选项.

【详解】，其中，

由题意可知：，即：，

则函数的值域为的子集，

设函数的最小正周期为，在区间上的值域为，则：，

即：，解得.

结合选项可知实数的取值不可能是.

故选D.

【点睛】本题主要考查双量词问题的处理方法，三角函数的图像与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、多选题

13．（2023·全国·校联考三模）在中，若，则下列论断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由化简得到，再逐项判断.

【详解】解：由，

因为，

所以，

所以，不一定为1，A错；

因为，，

∴，

从而有，所以B正确，

又，所以也不一定等于1，C错；

而，D正确；

故选：BD

14．（2023·湖南郴州·统考三模）设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于点对称

B．在上有且只有5个极值点

C．在上单调递增

D．的取值范围是

【答案】CD

【分析】根据图象平移得，结合零点个数及正弦型函数的性质可得，进而判断极值点个数判断B、D；代入法判断A，整体法判断C.

【详解】由题设，在上，若，

所以在上有5个零点，则，解得，D正确；

在上，由上分析知：极值点个数可能为5或6个，B错误；

且，故不为0，A错误；

在上，则，故递增，即在上递增，C正确.

故选：CD

15．（2023·重庆·统考三模）已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期是  B．，使

C．在 内有4个零点 D．函数的图像是中心对称图形

【答案】BCD

【分析】根据相关的定义逐一分析各个选项所求的函数性质.

【详解】对于A， ，错误；

对于B， ， ，

， ，即 ，使得 ，正确；

对于C，令 ，即 ，即 或 ，

解得： ，恰好有4个零点，正确；

对于D， ，

，

，即 关于 点对称，正确；

故选：BCD.

16．（2023·辽宁·校联考三模）已知函数图像的一条对称轴为，先将函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像在以下哪些区间上单调递减（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】先根据对称轴求出解析式，再结合平移伸缩得出新的解析式，最后求出单调减区间判断即可.

【详解】依题意，，则，因为，所以，

故．将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到的图像，

再将所得图像上所有的点向右平移个单位长度，得到的图像，

令，得函数的单调递减区间为.

故选:ABD．

17．（2023·浙江·校联考三模）已知函数，则（    ）

A．有一个零点 B．在上单调递减

C．有两个极值点 D．若，则

【答案】BD

【分析】，，求出时，，并证明此解为的唯一解，则可判断A,B,C，对D选项，通过构造函数，利用导数证明其大于0,即可证明D选项正确.

【详解】对A, B,C选项，

令，因为，

，，

所以在上单调递减，

所以，即

所以当时，，且为唯一解，

所以单调递减；单调递增，

所以，即在上无零点，

同时表明在上有唯一极值点，故A,C错误，B正确；

对D，若，设，则，

要证，即证，

因为在上单调递增，所以即证，

因为，所以即证，

令，

，其中在上单调递增，

所以，

所以在上单调递减，

所以，即，

所以成立，即成立，故D正确.

故选：BD．

三、填空题

18．（2023·浙江·校联考三模）写出一个满足下列条件的正弦型函数，____________．

①最小正周期为；       ②在上单调递增；      ③成立．

【答案】（答案不唯一）

【分析】设，，根据，则可设，根据最小正周期为，可得，通过整体换元法则可得到，取即可.

【详解】设，，因为，

所以

所以，不妨设

因为最小正周期为，所以

因为在上单调递增，所以

所以，

当时，，不妨设

所以满足条件之一的．

故答案为：.

19．（2023·全国·校联考三模）若，则__________.

【答案】

【分析】先化简，再代值计算即可

【详解】解：因为，

所以

，

故答案为：

20．（2023·河南·校联考三模）如图，三个相同的正方形相接（在同一平面中），则______.

【答案】/

【分析】根据两角差的正切公式直接计算即可.

【详解】在中，，在中，，

所以

故答案为：

21．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______.

【答案】

【分析】先有图象结合三角函数的性质得出解析式，再根据图象变换得解析式，继而可得答案.

【详解】由图象可知的周期为，代入可得，又，

故，

左移个单位长度得，

故.

故答案为：-1

22．（2023·天津·三模）设，，是的三个内角，的外心为，内心为．且与共线．若，则___________．

【答案】2

【分析】由O，I分别是三角形的外心和内心，利用与共线得到线段的长度关系，用，表示出相应线段，得到等式.

【详解】

设内切圆半径为r，过O，I分别作BC的垂线，垂足分别为M，D，

则，，

因为与共线，所以，又因为，，

所以，

因为，所以，

即，所以.

故答案为：2

四、解答题

23．（2023·辽宁大连·统考三模）已知函数的最小正周期为是函数一个零点.

(1)求；

(2)在中，角的对边分别为，求面积的最大值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据周期求出，再根据零点和的范围即可；

（2）代入求出值，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.

【详解】（1）依题意，周期，所以，

由题意得，

解得，而，

所以取，.

（2）因为，所以，

因为，所以，则，

由余弦定理得，

因为，

则，

所以（当且仅当时，有最大值4），

因为，

所以面积的最大值为.

24．（2023·上海浦东新·统考三模）已知向量，.设.

(1)求函数的最小正周期；

(2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可；

（2）根据求出角A，结合条件及三角形面积公式求出c，利用余弦定理即可求解a.

【详解】（1）由题意，

，

因此函数的最小正周期为；

（2）由得，

因为，所以，解得，

因为，所以,

由余弦定理解得,

所以.

25．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.

(1)求函数的解析式；

(2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，求出的范围，再结合正弦函数的零点情况列出不等式求解作答.

（2）由（1）求出函数的解析式，进而求出，再利用正切函数的单调性求解作答.

【详解】（1）由，得，

因为函数在区间上恰有3个零点，

于是，解得，而为正整数，因此，

所以.

（2）由（1）知，，

由，得，即有，

因此，

由，解得，

所以函数的单调减区间为.

26．（2023·江苏·统考三模）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

(1)若，求函数在区间上的最大值；

(2)若函数在区间上没有零点，求ω的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）由函数图象变换知识可得，后由单调性可得最值情况；（2）由（1）结合题意可知，.后由

可进一步确认大致范围，后可得答案.

【详解】（1）函数的图象先向右平移个单位长度，则解析式变为：

，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0）倍（纵坐标不变），

则解析式变为.则.

当时，，

因函数在上单调递减，在上单调递增，

，.

∴，∴在区间上的最大值为．

（2），当时，，

要使在上无零点，则，.

，，，，

当时，；当时，，

当时，舍去．

综上：的取值范围为．