2023年高考数学三模试题分项汇编（全国通用）专题09 平面解析几何（解析版）

专题09 平面解析几何

一、单选题

1．（浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试（三模）数学试题）已知直线，若，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】根据给定的条件，利用两直线的垂直关系列式计算作答.

【详解】因为直线，且，则，

所以.

故选：B

2．（贵州省凯里市第一中学2023届高三三模数学（理）试题）已知，是椭圆的上、下顶点，为的一个焦点，若的面积为，则的长轴长为（    ）

A．3 B．6 C．9 D．18

【答案】B

【分析】依题意可得且，即可求出，从而求出，即可得解.

【详解】由题可知，则，所以，所以，

故的长轴长为．

故选：B

3．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）若双曲线与双曲线有相同的焦距，且过点，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】利用待定系数法，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，分别设出双曲线的标准方程，再利用条件建立方程，即可求出结果.

【详解】因为和有相同的焦距，又双曲线的焦距为，所以双曲线的焦距，又过点，

当的焦点在x轴上，设双曲线的方程为，

若将点代入，得①，

又②，联立①②两式得，，所以双曲线的标准方程为.

当的焦点在y轴上，设双曲线的方程为，将点代入，得③，又④，

联立③④两式得，，所以双曲线的标准方程为，

综上所述，双曲线的标准方程为或.

故选：C.

4．（贵州省凯里市第一中学2023届高三三模数学（理）试题）已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，点P异于坐标原点O，若，则C的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求得到的距离为及，根据，结合题意转化为的不等式，即可求解离心率的范围.

【详解】由题意，双曲线，

则其中一条渐近线方程为，即

可得到渐近线的距离为，即，则，

设，即，其中，

因为，可得，

整理得，所以，

解得：，

又因为，所以双曲线的离心率的取值范围是.

故选：A．

5．（安徽省铜陵市2023届高三三模数学试题（新课标老高考））已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（    ）

A．1 B． C．1或 D．或

【答案】B

【分析】先分析直线和抛物线不会相交，然后分析出点的位置为斜率为的直线和抛物线的切点时面积最小，最后用点到直线的距离公式计算.

【详解】

不妨设，由题可得无解，

否则若直线和抛物线有交点时，当时，面积将趋近，

故，解得.

由图可知，当恰好为斜率为的直线和抛物线的切点时，的面积最小.

令，不妨，则，

又点到直线的距离为，

则，解得（舍去）.

故选：B

6．（福建省泉州市2023届高三数学质量监测试题（三））已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上．若，，则到的距离等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取线段的中点，连接，过点作，垂足为点，分析出为等边三角形，并求出，从而可求得，即为所求.

【详解】取线段的中点，连接，过点作，垂足为点，

则，

所以，，所以，，所以，，

因为，所以，是边长为的等边三角形，则，

由抛物线的定义可知，所以，，故，

所以，，则，即点到直线的距离为.

故选：B.

7．（重庆市2023届高三三模数学试题）已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的几何意义可得，求解即可.

【详解】由且x不为0，得

设切点为，则，即，

所以，可得.

故选：C

8．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离，并由的范围确定的范围；利用垂径定理表示出，由，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结果.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径，

则圆心到直线的距离，

，，，

，

（当且仅当时取等号），

则当的面积最大时，，又，解得：.

故选：C.

9．（浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试（三模）数学试题）如图，是椭圆的左､右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设 ，得到和，两式相除即可求解.

【详解】设 ，

则，

，

两式相乘得,①

因为直径所对的角是直角,所以

所以  ,②

①除以②得，故，

故选：D

10．（湖南省长沙市长郡中学2023届高三一模数学试题）已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，

再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.

【详解】

设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，

所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.

根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，

所以MO是的中位线，所以，

又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.

所以，，双曲线C的渐近线方程为，

设，T到两渐近线的距离之和为S，则，

由，即，

又T在上，则，即，解得，，

由，故，即距离之和为.

故选：A.

【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.

二、多选题

11．（福建省泉州市2023届高三数学质量监测试题（三））已知为圆的直径，直线与y轴交于点，则（    ）

A．l与C恒有公共点 B．是钝角三角形

C．的面积的最大值为1 D．l被C截得的弦的长度的最小值为

【答案】ABD

【分析】M是一个在圆内的定点，可以判断选项；根据是定值可以判断到的距离最大时，三角形面积最大，从而判断C选项；l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，从而判断D选项.

【详解】直线与y轴交于点，

且在圆内部，

l与C恒有公共点，A正确；

在圆内部，

为钝角，是钝角三角形，B正确；

到的最大距离，即到圆心的距离为1，

，故C错误；

l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，

且此距离为到圆心的距离为1，故弦长为，故D正确.

故选：ABD.

12．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）设椭圆，，为椭圆上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（    ）

A．的最大值为

B．直线的斜率乘积为定值

C．若轴上存在点，使得，则的坐标为或

D．直线过定点

【答案】BCD

【分析】利用两点间距离公式表示出，结合可得关于的二次函数的形式，通过讨论与二次函数对称轴的位置关系，可求得的最大值，知A错误；利用斜率公式表示出，化简可得定值，知B正确；假设存在，可得，求得横坐标后，代入化简知C正确；表示出直线后，根据直线过定点的求法可知D正确.

【详解】

对于A，在椭圆上，，，

，

由题意知：，的对称轴为，

若，即时，，；

当，即时，，；

综上所述：A错误；

对于B，关于轴对称，，，，

，B正确；

对于C，假设存在点，使得，，则∽，；

直线，直线，，，

，即或，C正确；

对于D，，，，

直线，即，

直线过定点，D正确.

故选：BCD．

【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用的问题，解题基本思路是能够利用表示出所需的点的坐标，结合两点间距离公式、斜率公式、三角形相似关系等知识化简所求量，从而确定选项的正误.

三、填空题

13．（上海市浦东新区2023届高三三模数学试题）已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________．

【答案】．

【分析】根据双曲线标准方程的特点求解.

【详解】 是焦点在x轴的双曲线，

，即 ；

故答案为： .

14．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为______.

【答案】

【分析】求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可求得点到直线距离的最大值.

【详解】由题可得，圆心，半径，

圆心到直线的距离等于，

所以点到直线的距离的最大值为.

故答案为：.

15．（天津市2023届高三三模数学试题）已知直线平分圆，则圆中以点为中点的弦弦长为________

【答案】

【分析】由圆的标准方程确定圆心坐标和半径，由题意可知该直线经过圆心，求出a，利用几何法求弦长即可求解.

【详解】由，得，

因为直线平分圆C，

所以该直线经过圆心C，得，解得.

则，

当圆心C与该点的连线与弦垂直时，满足题意，

所以圆C以点为中点的弦弦长为.

故答案为：.

16．（重庆市2023届高三三模数学试题）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为______．

【答案】

【分析】设，可得，.然后根据正弦定理可求出，.根据椭圆的定义可推得，，化简整理可得，.求出，令，构造函数，根据函数的单调性，即可得出答案.

【详解】

设，则，

.

由正弦定理可得，，

所以，.

根据椭圆的定义可知，，

所以有，

所以有

.

因为，，所以，

令，则，设，

则函数在上单调递增.

又，，

所以，，即.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：设，根据已知条件，求出的三个内角，根据正弦定理用表示出.然后根据椭圆的定义，化简整理可推得.进而根据函数的性质，结合的范围，即可得出答案.

17．（重庆市2023届高三三模数学试题）过直线上任一点P作直线PA，PB与圆相切，A，B为切点，则的最小值为______．

【答案】

【分析】求出圆的圆心，半径.然后根据已知可推得，四点共圆，进而得出是两圆的公共弦，根据四边形的面积，即可推得.然后求出的最小值，即可得出答案.

【详解】

由已知可得，圆心，半径.

因为为切线，所以，

所以，四点共圆，过圆心，

所以，是圆与圆的公共弦，所以，

且.

设四边形面积为，则.

又，

所以，.

显然，当增大时，也增大，

所以，当最小时，有最小值.

当时，最小，，此时.

故答案为：.

18．（福建省泉州市2023届高三数学质量监测试题（三））已知双曲线的左、右焦点分别为的渐近线与圆在第一象限的交点为M，线段与C交于点N，O为坐标原点．若，则C的离心率为__________．

【答案】

【分析】由可知 N是的中点，求出N的坐标，带入双曲线的方程化简即可.

【详解】的渐近线为：，焦点，

∵渐近线与圆在第一象限的交点为M

联立可得

，所以N是的中点，，

因为N在双曲线上，化简得：

所以离心率为，

故答案为：

19．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）已知椭圆，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点且，过A作椭圆E的切线l，并分别交于C、D点．连接，与交于点E，并连接．若直线l，的斜率之和为，则点A坐标为_____________．

【答案】/

【分析】设直线l的程，利用直线与椭圆相切，联立方程，则，即，最后得到切线方程为，再求出坐标，写出直线直线，的方程，联立解出点坐标，最后得到，再联立，解出即可.

【详解】由椭圆可得，

因为点为椭圆上一点且，故切线的斜率一定存在，

设直线l的程，由得

因为直线l与椭圆E相切，所以，解得

因为，所以，所以，

所以，即

所以直线l的方程为，即

分别令和得，，

所以直线方程为，直线方程为，

所以联立可得与交点，

因为，所以，

所以由得，即，

因为，所以，即，

故答案为：

【点睛】结论点睛：椭圆在点处的切线方程为，对于选填空题来说直接使用结论，从而节约时间，提高解题速度.

四、解答题

20．（福建省泉州市2023届高三数学质量监测试题（三））已知椭圆的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆交于M，N两点，M在N的左侧．

(1)若，求l的斜率；

(2)记直线的斜率分别为，证明：为定值．

【答案】(1)；

(2)证明过程见解析.

【分析】（1）根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式、椭圆切线的性质进行求解即可；

（2）根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.

【详解】（1）当直线l不存在斜率时，方程为，显然与圆也相切，不符合题意，

设直线l的斜率为，方程为，与椭圆方程联立，得，

因为直线l与C相切，所以有，

圆的圆心坐标为，半径为，

圆心到直线的距离为，

因为，所以有；

（2），

由，

设，

则有，，

，

把，代入上式，得

，而，

所以.

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合椭圆切线的性质进行求解是解题的关键.

21．（重庆市2023届高三三模数学试题）已知椭圆的上、下顶点分别为，左顶点为，是面积为的正三角形．

(1)求椭圆的方程；

(2)过椭圆外一点的直线交椭圆于两点，已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，直线与交于点，若是钝角，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据的面积及其为正三角形的特征，可构造方程组求得，由此可得椭圆方程；

（2）假设直线方程，利用对称性可知在轴上，由此可得；设，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入中整理可得，根据，由向量数量积的坐标运算可构造不等式求得结果.

【详解】（1）是面积为的正三角形，，解得：，

椭圆的方程为：.

（2）

设，则，

直线方程为：，即；

由对称性可知：点在轴上，则令，解得：，

设直线，

由得：，，

，，

又，，，，

为钝角，，解得：或，

即实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的向量数量积问题，解题关键是能够利用韦达定理的结论化简点坐标，结合为钝角，将问题转化为向量数量积的求解问题，从而构造不等式求得结果.

22．（湘豫名校联考2023届高三5月三模文科数学试题）已知椭圆的上、下焦点分别为，，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于，两点，的周长为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点A是椭圆的上顶点，设直线，，的斜率分别为，，，当时，求证：为定值.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由条件结合椭圆的定义和离心率的定义列方程求，由此可得椭圆方程；

（2）由已知设的方程为，联立方程组利用设而不求法求，由此证明结论.

【详解】（1）依题意，的周长为，

解得.

设椭圆的半焦距为，

因为椭圆的离心率为，

所以，即，解得.

因为，

所以.

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，，.易知直线的方程为.

由消去得，

.

设，，则，.

所以，.

所以.

.

所以.

所以，为定值.

【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

23．（贵州省凯里市第一中学2023届高三三模数学（理）试题）已知直线与抛物线C：交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，两条切线的交点为D．

(1)证明点D在一条定直线上；

(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，求面积的最小值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设，，，利用导数的几何意义求出点处的切线方程，即可得到，同理，从而得到直线与直线是同一直线，即可求出，从而得解；

（2）由（1）知则为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出点坐标，即可得到为的中点，再用弦长公式表示出及到直线的距离，即可求出的最小值，即可得解.

【详解】（1）设，，，由得，则

在点处的切线方程为，

将代入上式得，

∴，

同理，

∴，两点都在直线上，所以直线与直线是同一直线，

∴，，即点在定直线上．

（2）由（1）可知，，即为，∴为，

将与联立得，

∴，，

∴线段的中点为，

∴，，三点共线，且为的中点．

∵，

到直线的距离，

∴（当时取等）

∵，

∴面积的最小值为．

24．（安徽省铜陵市2023届高三三模数学试题（新课标老高考））已知抛物线，其焦点为，定点，过的直线与抛物线相交于，两点，当的斜率为1时，的面积为2.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若抛物线在，点处的切线分别为，，且，相交于点，求距离的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出的方程，联立方程，求出两点的坐标，再根据的面积即可得解；

（2）设，，，切点，再根据导数的几何意义分，和三种情况讨论求出切线方程，即可得切线分别为，，进而可求得点的轨迹方程，从而可得出答案.

【详解】（1）过且斜率为1的直线为：，

代入拋物线方程可知，解得或，

则不妨令点M，N分别为，，

∴，∴，，

∴抛物线方程为：；

（2）设，，，切点，

由题意可知：对于抛物线，当时，；，；时，，

显然时，；时，，

若，则点处的切线为，即，

∵，∴，即，

同理，若，点处的切线为，

时，，则在顶点处的切线为，符合上述表达式，

∴点处的切线为；点处的切线为，

在这两条切线上，∴，

则的直线方程为，

∵在上，∴，即在定直线上，

∴长的最小值即为点到直线的距离，

此时.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

25．（【全国百强校word】天津市第一中学2017届高三下学期第五次月考数学（理）试题）已知、为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且面积的最大值为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于、两点，的面积为，，当点在椭圆上运动时，试问是否为定值？若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出的取值范围．

【答案】(1)

(2)为定值

【分析】（1）根据已知条件可求得的值，结合的值，可得出的值，即可得出椭圆的标准方程；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理结合三角形的面积公式可得出，可得出点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程，可求得的值；②当直线的斜率不存在时，设，根据三角形的面积公式以及已知条件求出、的值，可得出点的坐标，将点的坐标代入椭圆的方程，可求得的值.综合可得出结论.

【详解】（1）解：当点为椭圆短轴的顶点时，的面积取最大值，可得，

，则，

因此，椭圆的方程为.

（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，

联立可得，

，可得，

由韦达定理可得，，

，

原点到直线的距离为，，

整理可得，

设，由，可得，．

又因为点在椭圆上，所以有，

整理可得：，

即为．

由，，

可得

，

可得，即有为定值；

②当直线的斜率不存在时，设点，则，

，所以，，可得，

设，由，可得，．

由，可得，整理可得.

综上所述，为定值.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

26．（浙江省金丽衢十二校、“七彩阳光”2023届高三下学期3月联考数学试题）设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为．

(1)求双曲线的方程；

(2)若，点在线段上（不含端点），过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为．连接，并过的中点分别作双曲线两支的切线，切点分别为，求面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由焦点坐标、右焦点到渐近线的距离和双曲线关系可直接求得双曲线方程；

（2）设，与双曲线方程联立，由可求得；由，可整理得到，同理可得，进而确定方程，利用点差法可证得，结合弦长公式和点到直线距离公式可表示出，设，可将表示为关于的函数，利用导数可求得最小值.

【详解】（1）双曲线的右焦点为，；

右焦点到双曲线的渐近线的距离为，双曲线的渐近线方程为，

，解得：，，

双曲线的方程为：.

（2）设，切线，

由得：，

，解得：，

，

，，，，即，

同理可得：直线；

直线与直线交于点，，，

点满足方程，即直线，

同理可得：直线，即，

点在直线上，，即点在直线上，

，，，，

，即，

直线，

由得：，

，

点到直线的距离为，，

令，，，则，

，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，.

【点睛】思路点睛：求解直线与圆锥曲线综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；

④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.

27．（浙江省温州市2023届高三下学期5月第三次适应性考试（三模）数学试题）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.

(1)设，求证：是定值；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，设出直线的方程，与抛物线的方程联立即可计算作答.

（2）由（1）求出直线的方程并求出点的横坐标，直线的方程与双曲线的方程联立，借助直线求出点的横坐标，再列式求出范围作答.

【详解】（1）由是直线与抛物线的两个交点，显然直线不垂直y轴，点，

故设直线的方程为，由消去并整理得，

所以为定值.

（2）由（1）知，直线的斜率，方程为，

令，得点的横坐标，设，

由消去得，

，

，

而直线的方程为，依题意，

令，得点的横坐标

，

因此，

所以的取值范围是.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．

28．（上海市浦东新区2023届高三三模数学试题）已知，曲线．

(1)若曲线为圆，且与直线交于两点，求的值；

(2)若曲线为椭圆，且离心率，求椭圆的标准方程；

(3)设，若曲线与轴交于，两点（点位于点的上方），直线与交于不同的两点， ，直线与直线交于点，求证：当时，A，，三点共线．

【答案】(1)4

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据曲线是圆，得到，由垂径定理得到弦长；

（2）分焦点在轴与轴上，两种情况，由离心率求出的值，得到椭圆方程；

（3）联立与曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出点坐标，计算出，从而得到A，，三点共线.

【详解】（1）若曲线为圆，则

圆方程为：，此时圆心到直线的距离

此时；

（2）曲线的方程为

当焦点在轴上时，

此时

此时椭圆的标准方程为

当焦点在轴上时，

此时

此时椭圆的标准方程为；

（3）当时，方程为，，，设，

直线的方程为：，

令

联立

，

因为，

分子

，

即，因而A，，三点共线．

【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，处理三点共线，四点共圆，或两直线倾斜角互补或相等问题时，往往会转化为斜率之和为0或斜率相等，进而列出方程，代入计算即可.