2022北京中关村中学高一6月月考数学

2022北京中关村中学高一6月月考

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一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知向量满足，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 2

3. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中错误的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

4. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知球的半径为，是该球面上的两点，且线段，点是该球面上的一个动点（不与重合），则的最小值与最大值分别是                     

A.  B.  C.  D.

6. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，则是（    ）

A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形

C. 等边三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

7. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 若，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 关于函数有下述5个结论：

①是偶函数；

②函数图象关于对称；

③在区间上单调；

④函数的最大值为M，最小值为m，则；

⑤若，则函数在上有4个零点.

其中所有正确结论的个数是（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11. ______.

12 已知向量．若，则______________．

13. 在中，，，请给出一个的值，使得此三角形有两解，则的一个值是_____________.

14. 如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值是______．

15. 在中，，，.P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是______.

16. 如图所示，在长方体中，，点E是棱上的一个动点，若平面交棱于点，给出下列命题：. 

① 四棱锥的体积恒为定值；

②存在点，使得平面； 

③存在唯一的点，使得截面四边形的周长取得最小值；

④存在无数个点，在棱上均有相应的点，使得平面，也存在无数个点，对棱上任意的点， 直线与平面均相交.

其中真命题的是____________．（填出所有正确答案的序号）

三、解答题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 已知函数，且的最小正周期为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.

（1）求的解析式；

（2）设，若在区间上的最大值为，求的最小值．

条件①：的最小值为；

条件②：的图象经过点；

条件③；直线是函数的图象的一条对称轴.

注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18. 如图，在四面体PABC中，，，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点.

（1）求证：平面BCP；

（2）求证：四边形DEFG为矩形；

（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？若存在，写出点Q的位置（不需要论证）.

19. 市政部门要在一条道路路边安装路灯，如图所示截面中，要求灯柱AB与地面AD垂直，灯杆为线段BC，，路灯C采用锥形灯罩，射出光线范围为，A､B､C､D在同一平面内，路宽米，设.

（1）求灯柱AB的高；

（2）市政部门应该如何设置的值才能使路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01）

20. 已知正四棱柱中，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）在线段上是否存在点P，当时，平面面？若存在，求出的值并证明；若不存在，请说明理由．

21. 已知非常数函数的定义域为，如果存在正数，使得，都有恒成立，则称函数具有性质T.

（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;

①    ；②.

（Ⅱ）若函数具有性质T，求的最小值;

（Ⅲ）设函数具有性质T，且存在，使得，都有成立，求证：是周期函数.

参考答案

一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 【答案】C

【解析】

【分析】先用诱导公式化简，再根据复合函数“同增异减”进行判断即可.

【详解】 ，

设 ，则 是增函数，根据复合函数“同增异减”的规律，

如欲使得 = 是增函数，则 的值域应在 的增区间内，

当 时， 是增函数，

，

经检验C符合要求，

故选：C.

2. 【答案】C

【解析】

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：∵，

又∵

∴9，

∴

故选：C.

3. 【答案】B

【解析】

【分析】由面面垂直的判定定理可判定A正确；根据，则直线和平行或异面，可判定B错误的；根据线面垂直的性质，可判定C正确；根据面面垂直的性质定理，可判定D正确.

【详解】由题意，是两个不同的平面，是两条不同的直线，

因为，，所以，又，所以.故选项A正确；

因为，所以直线和平行或异面.故选项B错误；

因为，，所以，又，所以.故选项C正确；

因为，所以由面面垂直的性质定理，可得.

故选项D正确.

故选：B.

4. 【答案】C

【解析】

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．

5. 【答案】A

【解析】

【分析】

由为球面上不共线的三点，故三点在同一平面内，设该平面与球的截面为圆O，根据圆的性质，的大小取决于在圆O上弧的长度所占圆O周长的比例，即可求解.

【详解】由题意，点P是该球面上的一个动点（不与A、B重合）

即点P与点A、B不共线，故三点确定一个平面，设该平面与球的截面为圆O，

设所对的弧的长度与圆O的周长之比为，

所以当最小时，最小，当最大时，最大，

根据球的性质得：①当圆O为球的大圆且弧所对的弧是该大圆的劣弧时，此时弧长度最小，圆的周长最大，最小，如图所示，此时，所以，所以；

②若圆O为球的大圆所对的优弧时，则最大，如图中的点，

此时（圆的内接四边形的对角互补），

综上可知，的最小值与最大值分别为，故选A.

【点睛】本题主要考查了球的性质，以及截面圆的性质，其中熟记球的性质和截面圆的性质是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于难题.

6. 【答案】A

【解析】

【分析】利用倍角公式化简边角关系式，再利用正弦定理把关系式转化为角的关系式，化简后可得，从而可得正确选项．

【详解】因为，故即，

由正弦定理可得，

故，

整理得到.

因为，故，从而，而，故.

故为直角三角形.

故选：A．

【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.化简中注意三角变换公式的合理使用．

7. 【答案】C

【解析】

【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，

则，

所以，

又，

则，

所以，

所以甲圆锥的高，

乙圆锥的高，

所以.

故选：C.

8. 【答案】D

【解析】

【分析】利用诱导公式、逆用差角的正弦公式将已知变形为，再求出即可求解作答.

【详解】由得，化为：，

即，令，于是有，

则有，即，所以.

故选：D

9. 【答案】B

【解析】

【分析】求出以为球心，5为半径的球与底面的截面圆的半径后可求区域的面积.

【详解】

设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，

且，故.

因为，故，

故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，

而三角形内切圆的圆心为，半径为，

故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为

故选：B

10. 【答案】B

【解析】

【分析】分析函数的性质判断命题①②③④；作出函数在上的图象，判断直线与图象交点个数判断⑤作答.

【详解】函数函数定义域R，

，是偶函数，①正确；

，函数图象关于对称，②正确；

，，，显然在上单调递减，③不正确；

当时，，，

由是偶函数，得当时，，即当时，，

又，即是的周期，因此，，

因在时取得最小值为0，在时取得最小值是，

因此，当时，，即，所以，④不正确；

函数的零点，即函数的图象与直线的交点横坐标，

在同一坐标系内作出函数在上的图象和直线，如图，

观察图形知，函数在上的图象和直线有4个交点，

于是得函数在上有4个零点，⑤正确，

所以所给5个命题中，正确命题的个数是3.

故选：B

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

11. 【答案】##0.5

【解析】

【分析】利用和角的余弦公式直接计算作答.

【详解】.

故答案为：

12. 【答案】##

【解析】

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】由题意知：，解得.

故答案为：.

13. 【答案】

【解析】

【分析】根据余弦定理转化为关于的方程有两解可得的取值范围，从的范围中取值即可.

【详解】由余弦定理可得，

即有两解，

所以有两解，所以，

所以，解得，又由，

所以实数的范围是.

【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中根据余弦定理转化为关于的方程有两解，进而求解的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

14. 【答案】

【解析】

【分析】由题可得每个直角三角形的长直角边为，短直角边为，可得，由此可求出，即可求出.

【详解】大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，

则由题可得每个直角三角形的长直角边为，短直角边为，

所以小正方形的边长为，

小正方形的面积是，，，

，则，

，则，

.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查同角三角函数的关系，解题的关键是根据图形得出，从而根据三角函数关系求出.

15. 【答案】

【解析】

【分析】建立直角坐标系，用坐标来表示向量，根据数量积的运算律计算即可.

【详解】

依题意作上图，点P是在以C为圆心，半径为1的圆周上运动，

以C原点，CB为x轴，CA为y轴，建立直角坐标系.

设CP与CB的夹角为 ，则 ，

则有： ，

，

，

其中 ，

根据三角函数 的性质，当 时， 取最小值-13+1=-12，

当 时，取最大值13+1=14，∴ ；

故答案为： .

16. 【答案】①②③④

【解析】

【分析】根据线面平行的判定定理和面面平行的性质定理，以及锥体的体积公式，即可求解.

【详解】由题意，可知①中，四棱锥的体积为：

，则和都为定值，所以四棱锥的体积恒为定值；

②中，连接和，当时，利用三垂线定理可得,又由，所以，利用线面垂直的判定定理，即可得到平面，所以是正确的；

③中，根据棱柱的结构特质，可知四边形为平行四边形，设，

则，令，则，

所以四边形的周长为

，

当时，周长有最小值，即当为的中点时，周长取得最小值，所以正确；

④中，在AD任取一点G，过点G作，可证得,利用线面平行的判定定理可得平面平面，所以平面，所以是正确的.

故正确的命题序号为①②③④.

【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及线面位置关系的判定及应用，其中解答中熟练运用空间几何体的结构特征，以及熟记线面位置关系的判定与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，属于中档试题.

三、解答题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）由最小正周期可得，再根据所选条件，结合正弦函数的性质求，即可得解析式；

（2）由（1）及和差角正弦公式可得，根据区间最值及正弦函数性质求参数m的范围，即可得结果.

【小问1详解】

由题意，可得，

选①②：由的最小值为，则，故.

又，即且，所以.

所以.

选①③：由的最小值为，则，故.

因为是的一条对称轴，则，，

所以，且，则.

所以.

选②③：因为是的一条对称轴，则，，

所以，且，则

所以.

又，则.

所以.

【小问2详解】

，

上，的最大值为，则，可得，

所以的最小值为.

18. 【答案】（1）证明见解析    （2）证明见解析   

（3）存在，Q点即是DF与EG的交点O

【解析】

【分析】(1)只要证明DE平行于平面BCP内的一条直线即可；

(2)只要证明四边形DEFG是平行四边形，并且有两条邻边互相垂直即可；

(3)构造另一个矩形，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可.

【小问1详解】

由题意，DE是 底边PC上的中位线， ，

平面BCP， 平面BCP， 平面BCP；

【小问2详解】

由题意， ，同理 ，

，四边形DEFG是平行四边形，

同理，

，∴平行四边形DEFG是矩形；

【小问3详解】

如图：

设PC的中点为J，AB的中点为 K，连接JG，EK，

则有： ， ，

∴四边形EKGJ是平行四边形，

连接JE，KG，则有: ，平行四边形EKGJ是矩形，

连接JK，DG，交点为O，则O是EG的中点，因此也是矩形DEFG对角线的交点，

是直角三角形，O是斜边EG的中点， ，

即点O到四面体PABC的6条棱的中点的距离相等，所以所求的Q点即是O点；

综上，到四面体PABC的6条棱的中点的距离相等的点存在，就是矩形DEFG的对角线的交点O.

19. 【答案】（1）   

（2），最小值约为米

【解析】

【分析】（1）在中，表示出，由正弦定理求得，即可在中由正弦定理求得答案；

（2）在中，由正弦定理表示出BC，继而可得的表达式，结合三角函数的性质，即可求得答案.

【小问1详解】

在中，，

由，得，

在中，，由，

得.

【小问2详解】

中，由，得,

∴

,

∵，∴，∴当时，取得最小值,

故路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为米.

20. 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3)在线段上存在点P，当时，平面平面.

【解析】

【分析】(1) 利用线面平行的判定定理证明平面；

(2) 利用线面垂直的判定定理证明平面，则有；

(3) 先确定的值，再根据面面平行的判定定理证明两平面平行.

【详解】因为四棱柱是正四棱柱，所以底面为正方形，侧棱垂直底面，侧面均为矩形.

(1)证明：记和相交于点，

因为为正方形，所以为的中点.又M是的中点，

所以.又平面，平面，

所以平面.

(2)证明：因为为正方形，所以.

因为平面，平面，所以.

又，在平面内，且相交于点，

所以平面.又平面，

所以.

(3) 在线段上存在点P，当，即时，平面面.

理由如下：

当时，为的中点.

取的中点，连接，，则有.

连接，因为四边形是矩形，M是的中点，是的中点，

所以，.

在正方形中，有，，.

所以，，四边形为平行四边形.

有，又，所以，

又平面，平面，所以平面.

同理可证：平面.

又，在平面内，且相交于点，

所以平面平面.

21. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.

【解析】

【分析】（Ⅰ）利用反证法和函数的周期性的定义，即可作出结论.

（Ⅱ）由函数具有性质T，转化为存在正数，使得，都有恒成立.利用三角函数的图象与性质，即可求解.

（Ⅲ）由题意得出存在正数，使得，恒成立，即 ，以此类推可得. 利用函数的性质，即可求解.

【详解】（Ⅰ）函数不具有性质T，函数具有性质T.理由如下：

①假设函数具有性质T，即存在正数，使得恒成立.

则 对恒成立.

所以 此方程组无解，与存在正数矛盾.

所以 函数不具有性质T.

②取，则，

即对恒成立.

所以 函数具有性质T.

（Ⅱ）因为函数具有性质T，

 所以存在正数，使得，都有恒成立.

令，则对恒成立.

若，取，则，矛盾；

若，取，则，即，矛盾；

所以 .

则 当且仅当时，对恒成立.

因为 ，      所以 .

所以 当时，函数具有性质T.

所以 的最小值是.

（Ⅲ）因为 函数具有性质T，

所以 存在正数，使得，恒成立.

所以 ，以此类推可得.

用代替，可得.

因为 不是常数函数，

所以 存在，使得.

若，则.             

所以 .

因为 存在，使得，都有成立，

取，则，矛盾.

若，则.         

同上可知存在，使得，矛盾.

所以

所以对，.

所以是周期为1的函数.

【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数基本性质的综合应用，其中解答中正确理解题意，合理利用函数的周期性的定义和函数的基本性质，灵活化简、运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题.