2022北京育才学校高一6月月考数学

2022北京育才学校高一6月月考

数    学

（120分钟，150满分）

一､单选题（共10小题，共40分）

1. 终边落在x轴上的角的集合是（    ）

A. {α|α＝k·360°，k∈Z}

B. {α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}

C. {α|α＝k·180°，k∈Z}

D. {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}

2. 中，角，，所对的边分别为，，，满足，，，则（     ）

A. 2 B.  C.  D.

3. 复数的值为（    ）

A. 0 B.  C.  D.

4. 如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，与的位置关系为（    ）

A. 平行 B. 相交

C. 异面而且垂直 D. 异面但不垂直

5. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 平面向量与的夹角为，，，则（    ）

A.  B.  C. 12 D.

7. 如果，那么的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题中，正确的是（    ）

A. 四棱柱是平行六面体

B. 直平行六面体是长方体

C. 六个面都是矩形的六面体是长方体

D. 底面是矩形的四棱柱是长方体

9. 若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知（，）为“理想复数”，则

A.  B.  C.  D.

10. 已知非零向量，则“”是“”的（    ）

A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

二､填空题（共10小题，共50分）

11. 已知角的终边经过点，则的值等于______.

12. 已知向量，且，则__________．

13. 是的共轭复数，若（为虚数单位），则__________．

14. 在中，已知，，则A的值是______.

15. 已知，，，则a，b，c的大小关系是________.

16. 如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.

17. 已知一个正四棱锥的底面边长为2，高为，则该正四棱锥的表面积为__________．

18. __________.

19. 给出下列几个命题：①若是实数，则可能不是复数；②若是虚数，则不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④没有平方根．其中真命题的个数为__________．

20. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列说法：

①若，则；

②若，则与是异面直线；

③若，则与一定不相交；

④若，则与平行或异面；

⑤若，则与一定相交．

其中正确的是__________．（将你认为正确说法的序号都填上）

三､解答题（共5小题，共60分）

21. 如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为，对应的复数为2+2i，对应的复数为4-4i.

（1）求D点对应的复数；

（2）求平行四边形ABCD的面积.

22. 已知，

（1）求的值；

（2）求的值．

23. 已知函数．

（1）求的图像的对称轴方程和单调增区间；

（2）求的最小值及取得最小值时的取值集合．

24. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，________，，，求的面积．

25. 的内角的对边分别为．已知．

（1）求角B的大小；

（2）若的面积为，求．

参考答案

一､单选题（共10小题，共40分）

1. 【答案】C

【解析】

【分析】

先分别表示出终边在x轴非负半轴上的角的集合和终边在x轴非正半轴上的角的集合，再取并集即可.

【详解】因为终边在x轴非负半轴上的角的集合为S1＝{α|α＝k1·360°，k∈Z}＝{x|x＝2k1·180°，k∈Z}，

终边在x轴非正半轴上的角的集合为S2＝{α|α＝k2·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k2＋1)·180°，k∈Z}，

所以终边在x轴上的角的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，

故选：C．

2. 【答案】C

【解析】

【分析】先根据三角形内角和求得，进而利用正弦定理求得．

【详解】解：由题意可知，，

由正弦定理可知，

所以．

故选：．

3. 【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘方计算即可.

【详解】因为，

所以

.

故选：B

4. 【答案】A

【解析】

【分析】将展开图还原成正方体，即可判断两直线的位置关系.

【详解】解：将展开图还原成正方体，由下图可知，直线与的位置关系是：平行.

故选：A.

5. 【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，设，利用函数图象求得，得出函数解析式，再利用诱导公式判断选项即可.

【详解】由题意，设，

由图象知：，

所以，

所以，

因为点在图象上，

所以，

则，

解得，

所以函数为，

即，

故选：D

6. 【答案】B

【解析】

【分析】依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律计算可得；

【详解】解：由题意可得，

则，

所以.

故选：B.

7. 【答案】C

【解析】

【分析】将所求式子中的角变形为，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将已知的两等式的值代入即可求出值．

【详解】解：，，

．

故选：C

【点睛】本题考查了两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

8. 【答案】C

【解析】

【分析】对于A，根据平行六面体的各面都是平行四边形，举例判断，对于B，由侧棱与底面不垂直进行判断，对于C，根据长方体的结构特征判断，对于D，由侧棱与底面不垂直判断，

【详解】对于A，当四棱柱的底面是梯形时，则此四棱柱不是平行六面体，所以A错误，

对于B，直平行六面体是平行六面体的侧棱与底面垂直，底面可以是一般的平行四边形，则它不是长方体，所以B错误，

对于C，根据长方体的结构特征可知，六个面都是矩形的六面体是长方体，所以C正确，

对于D，当四棱柱的侧棱与底面不垂直时，则不是长方体，所以D错误，

故选：C

9. 【答案】C

【解析】

【详解】，所以

10. 【答案】B

【解析】

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，

∴不是的充分条件，

当时，，∴,∴成立，

∴是的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

二､填空题（共10小题，共50分）

11. 【答案】

【解析】

【分析】

根据三角函数定义求出、的值，由此可求得的值.

【详解】由三角函数的定义可得，，

因此，.

故答案为：.

12. 【答案】

【解析】

【分析】向量垂直，数量积为，可解出．

【详解】∵，∴，解得．

故答案为：．

13. 【答案】 ##

【解析】

【分析】根据共轭复数的概念和复数的运算法则可求出结果.

【详解】设，

由，得，

得，得，

所以.

故答案为：.

14.【答案】

【解析】

【分析】

根据正弦定理，由可得，由可得，将代入求解即得.

【详解】，，即，

，，则，

，，，则.

故答案为：

【点睛】本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式，是基础题.

15. 【答案】

【解析】

【分析】

利用诱导公式以及特殊角的三角函数值计算出的值，再进行比较.

【详解】∵，，

∴.

故答案为：.

【点睛】本题考查诱导公式的应用和特殊角的三角函数值，属于基础题.

16. 【答案】750

【解析】

【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出

【详解】在中，，所以，

在中，，则，

由正弦定理得，，

所以，

在中，，

所以，

故答案为：750

17. 【答案】12

【解析】

【分析】计算出正四棱锥的侧棱长以及侧面三角形的高，进而可计算出该正四棱锥的表面积.

【详解】如下图所示，在正四棱锥中，底面的边长为，

设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高，

则为的中点，且，，

取的中点，连接，则，且，

，

故正四棱锥的表面积为.

故答案为：12.

18. 【答案】

【解析】

【分析】分组求和，分组后根据诱导公式及同角三角函数的关系求解即可.

【详解】原式

.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于容易题.

19.【答案】1

【解析】

【分析】由复数的概念对命题逐一判断

【详解】对于①，实数集是复数集的子集，故①错误，对于②，虚数都不是实数，②正确，对于③，复数为纯虚数的充要条件是，故③错误，对于④，的平方根为，故④错误，真命题只有1个

故答案为：1

20. 【答案】③④

【解析】

【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个分析可得答案.

【详解】对于①，若，则或是异面直线.故①不正确；

对于②，若，则与是异面直线或.故②不正确；

对于③，若，则与无公共点，又，所以与一定不相交.故③正确；

对于④，若，则与平行或异面.故④正确；

对于⑤，若，则与平行或相交．故⑤不正确.

故答案为：③④

三､解答题（共5小题，共60分）

21. 【答案】（1）3﹣4i；（2）16.

【解析】

【分析】（1）利用复数的几何意义､向量的坐标运算性质､平行四边形的性质即可得出.

（2）利用向量垂直与数量积的关系､模的计算公式､矩形的面积计算公式即可得出.

【详解】解：（1）依题点A对应的复数为，对应的复数为2+2i，

得A(-1，0)， =(2，2)，可得B(1，2).

又对应的复数为4-4i，得=(4,-4)，可得C(5,-2).

设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R.

得=(x-5，y+2)，=(-2，-2).

∵ABCD为平行四边形，∴=，解得x=3，y=-4，

故D点对应的复数为3-4i.

（2）=(2，2)，=(4,-4)，

可得：，∴

，

故平行四边形ABCD的面积为

22. 【答案】（1）；   

（2）4.

【解析】

【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出，即可求得的值；

(2)利用诱导公式化简原式为，再化为正切即可得解.

【小问1详解】

∵，，

∴

∴

【小问2详解】

，

.

23. 【答案】（1）对称轴方程是；的单调增区间是；   

（2）当时，的最小值是.

【解析】

【分析】（1）令求得的图像的对称轴方程，再令求单调增区间；

（2）由求得的最小值.

【小问1详解】

解：因为函数，

令，解得，

所以的图像的对称轴方程是；

令，

解得，

所以的单调增区间是；

【小问2详解】

当，即当，

即，取得最小值.

24. 【答案】

【解析】

【分析】分别选择①②③，利用余弦定理、正弦定理和三角函数的性质，以及辅助角公式等，求得

，再根据正弦定理，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.

【详解】若选①：因为，由余弦定理可得，

又因为，可得，

又由，，根据正弦定理得，

则，

所以的面积为.

若选②：因为，由正弦定理，可得，

又因为，可得，所以，即，

由，可得，

又由，，根据正弦定理得，

则，

所以的面积为.

若选③：因为，可得，即，

又因为，可得，所以，所以，

又由，，根据正弦定理得，

则，

所以的面积为.

25. 【答案】（1）   

（2）7

【解析】

【分析】（1）利用余弦的二倍角公式对已知等式化简，可求出角B的大小；

（2）通过三角形面积公式和余弦定理即可求出

【小问1详解】

因为在中，，

所以，

所以，得，

因为，

所以

【小问2详解】

由（1）得，

因为的面积为，

所以，

所以，

因为，

所以由余弦定理得

，

所以