2022北京八中高一6月月考数学

2022北京八中高一6月月考

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一､选择题（本共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上.

1. 复数的虚部为（    ）

A 2 B.  C. 1 D. i

2. 已知向量，.若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（    ）

A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度

C 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度

4. 在复平面内，复数对应的点位于（   ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 已知，且，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 在中，，，，则等于（    ）

A. 45°或135° B. 135° C. 45° D. 60°

7. 在中，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac,则角B的值为

A.  B.  C. 或 D. 或

9. 在中，若，则（   ）

A.  B.  C.  D.

10. 边长为的三角形的最大角与最小角之和为    （    ）

A.  B.  C.  D.

11. 关于给出下列命题：

①若，则该三角形为等腰三角形

②若，则是等腰三角形

③若，则是直角三角形

④在中，恒有

⑤若，则是等边三角形

其中正确命题的个数是（    ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

12. 如图所示，在复平面内，复数，所对应的点分别为A，B，则（    ）

A.  B.  C.  D.

13. 与向量和夹角均相等，且模为2的向量的坐标是（    ）

A  B.

C. 或 D.

14. 已知向量的夹角为，的角为，且，则的值为（    ）

A  B.  C.  D. 或

15. 平面上有四点，其中为定点，且为动点，满足，与的面积分别为，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二､填空题（共8小题，每小题4分，共32分.把答案填在答题卡的横线上.）

16. 已知为虚数单位，复数，则___________.

17. 如图所示，直观图四边形是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______．

18. 已知正三棱柱的各棱长均为是线段的中点，沿正三棱柱的表面从点到点的路程最小值为___________.

19. 在平地上有两点，在山的正东，在山的东偏南，且在的南偏西距离点300米的地方，则点到山脚的距离为___________米

20. 如果复数满足，则的最大值是___________.

21. 若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是___________.

22. 若函数在区间上没有最值，则的取值范围是______.

23. 设的内角所对的边为；则下列命题正确的是_________

①若；则 ②若；则

③若；则 ④若；则

⑤若；则

三､解答题（共3小题，共43分.解答应㝍出文字说明，证明过程或演算步骤.）

24. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.

（1）求角C；（2）若，，求的周长.

25. 已知函数，其中___________.

从①；② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，

注：如果选择多个条件分别解答．按第一个解答计分．

（1）写出函数的一个周期（不用说明理由）；

（2）当时，求函数的最大值和最小值.

26. 设函数，其中.

（1）若，且，求；

（2）设的三边满足，且边所对的角为，试求的值域.

参考答案

一､选择题（本共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上.

1. 【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用复数的基本概念得答案.

【详解】解：复数的虚部为1.

故选：C.

【点睛】此题考查复数的有关概念，属于基础题

2. 【答案】A

【解析】

【分析】

根据平面向量的坐标运算，列方程求出x的值.

【详解】解：向量，；

若，则，

即，

解得.

故选：A.

【点睛】此题考查由向量垂直求参数，属于基础题

3. 【答案】D

【解析】

【分析】

由题意利用函数的图象变换规律，得出结论.

【详解】解：只要将函数的图象向左平移个单位长度，

即可得到函数的图象，

故选：D.

【点睛】此题考查函数的图象变换，属于基础题

4. 【答案】B

【解析】

【分析】化简复数，找出对应点得到答案.

【详解】对应点为在第二象限

故答案选B

【点睛】本题考查了复数的化简，属于简单题.

5. 【答案】C

【解析】

【分析】先根据诱导公式化简原式，然后根据同角三角函数的基本关系求解出的值，则结果可求.

【详解】原式，

因为，，所以，解得，

所以原式，

故选：C.

6. 【答案】C

【解析】

【分析】由的度数求出的值，再由与的值，利用正弦定理求出的值，由，根据三角形中大边对大角得到，利用特殊角的三角函数值即可求出的度数.

【详解】∵，，，，

∴由正弦定理得：，

∵，∴，

则.

故选：C.

7. 【答案】D

【解析】

【分析】根据内角和为可得，再根据正弦定理求解即可

【详解】由与可得，即，故，，由正弦定理，，故

故选：D

8. 【答案】A

【解析】

【详解】由余弦定理和及已知条件得，

所以，又，

所以，故选A.

考点：1.余弦定理；2.同角三角基本关系.

9. 【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦定理将已知条件实现角化边，即可判断和选择.

【详解】由正弦定理得：，，

，

故选：.

10. 【答案】B

【解析】

【详解】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，

设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°-θ，

有余弦定理可得，cosθ=，

易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°-θ=120°，故选B．

11. 【答案】B

【解析】

【分析】根据每一项提供的条件，运用诱导公式以及A，B，C是三角形内角，逐项分析可以求解.

【详解】对于①， ，

，

，因为B，C是三角形内角，所以 ，

是等腰三角形，

故①正确；

对于②， 或者 ，即 或者 ，

是等腰三角形或者是直角三角形，

故②错误；

对于③， ，或者 ，

即 或者 ， 是直角三角形或是钝角三角形，

故③错误；

对于④，设C是 的最大角，若C是钝角，则 ，

不等式 恒成立；

若 ，则 ，

原不等式成立；

若 ，则必有 ，  ，

，

，

∴ 不论为何种三角形，不等式恒成立，

故④正确；

对于⑤， ， ，

由于 ，则必有 ，

即A=B=C，即 是等边三角形，

故⑤正确；

故选：B.

12. 【答案】C

【解析】

【分析】

根据并结合复数的几何意义得到的表示.

【详解】因为，与对应，与对应，

所以，

故选：C.

【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用，难度较易.复数和复平面内的点一一对应，同时复数和平面向量也一一对应.

13. 【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得，，故所求向量与共线，再根据共线向量的性质求解即可

【详解】设所求向量为，因为，故，又与向量和夹角均相等，根据平行四边形法则可得与共线，设，则，故，即，故或

故选：C

14. 【答案】A

【解析】

【分析】根据已知求出，，再求出即得解.

【详解】解：由题得，

因为，所以.

,

因为，所以.

因为，所以.

所以，所以.

故选：A

15. 【答案】A

【解析】

【分析】在与中均用余弦定理列式，化简可得，再代入化简得，结合二次函数的性质与余弦函数的值域求最大值即可

【详解】由余弦定理，，即 ， ，故，所以当时，取得最大值．

故选：A

二､填空题（共8小题，每小题4分，共32分.把答案填在答题卡的横线上.）

16. 【答案】

【解析】

【分析】先根据复数的乘法和除法运算法则化简求解出，则可知，然后根据复数模的计算公式求解出.

【详解】因为

，

所以

所以，

故答案为：.

17. 【答案】

【解析】

【分析】

根据斜二侧画法可知，原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．

【详解】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底，高，下底为，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础．

18. 【答案】##

【解析】

【分析】将正三棱柱展开，再分别求最小距离比较即可.

【详解】正三棱柱如图1所示.

图1

当按照图2所示展开，过作于，可知，，

由勾股定理可得；

图2

当按照图3所示展开，连接交于点，可知，，

所以.

图3

因为，点到点的路程最小值为.

故答案为：

19. 【答案】

【解析】

【分析】根据已知条件作出图形，利用三角形的内角和及正弦定理即可求解.

【详解】由题意可知，设是山脚，如图所示

在中，米，

所以

由正弦定理，得，即米，

所以点到山脚的距离为米.

故答案为：米.

20. 【答案】

【解析】

【分析】根据复数的几何意义及复数的模公式，再利用三角函数的性质即可求解.

【详解】设，则

因为，所以，即.

令，则，

当，即时，取得最大值为，即，

所以的最大值是.

故答案为：

21. 【答案】

【解析】

【分析】已知化简可得.由，可得，即求在上有根时a的范围.

【详解】，即.

因为，所以，即求在上有根时a的范围.

即函数，的值域.

所以由，的值域知.

故实数a的取值范围是

故答案为：

22. 【答案】

【解析】

【分析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由在区间上没有最值可知，进而可知或，解不等式并取的值，即可确定的取值范围.

【详解】函数，

由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足，

解得，

由题意可知，在区间上没有最值，

则，，

所以或，

因为，解得或，

当时，代入可得或，

当时，代入可得或，

当时，代入可得或，此时无解.

综上可得或，即的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质应用，由三角函数的最值情况求参数，注意解不等式时的特殊值取法，属于难题.

23. 【答案】①②③

【解析】

【详解】①

②

③当时，与矛盾

④取满足得：

⑤取满足得：

三､解答题（共3小题，共43分.解答应㝍出文字说明，证明过程或演算步骤.）

24. 【答案】（1）（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.

试题解析：（1）由已知可得

（2）

又

，

的周长为

考点：正余弦定理解三角形.

25. 【答案】（1）答案见解析.   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】选①时，，

（1）由周期公式可一个周期；

（2）当时，，可得最小值和最大值；

选②时，，

（1）可得函数的一个周期；

（2）令，得，令，

因为的图像为开口向下，对称轴为的抛物线，可得最大值和最小值，从而得到答案.

【小问1详解】

选①时，则，所以

，

函数的一个周期为；

选②时，则，所以，

函数的一个周期为；

【小问2详解】

选①时，则 ，

当时，，

当即时，有最小值为，

当即时，有最大值为；

选②时，则，

令，当时，，

令，

因为的图像为开口向下，对称轴为的抛物线，所以，即时，的最大值为， ，即时，最小值为．

26. 【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算化简函数.由，且可求解x的值.

(2)利用余弦定理求得的取值范围，进而利用正弦型函数性质求得值域.

【小问1详解】

若，则，即

∵

∴.

从而,解得

【小问2详解】

在中，，

，当且仅当等式成立，

则，，则，

又∵，，

∴当时，，当时，，

∴的值域为.