北京市中关村中学2019-2020学年高一10月月考试数学试题 Word版含解析

北京中关村中学2019-2020学年10月月考试试卷

一选择题

1. 下列关于的说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据集合与元素、集合与集合的关系进行每个选项的判断即可.

【详解】根据集合与元素、集合与集合的关系可知A、B、C错误

空集是任何集合的子集，故D正确

故选：D

【点睛】本题考查的是集合与元素、集合与集合的关系，较简单.

2. 集合的子集中，含有元素0的子集共有（    ）

A. 8个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

【答案】B

【解析】

【分析】

本题先将集合的子集都列举出来，再找含有元素0的子集即可解题.

【详解】解：集合的子集：，，，，，，，，其中含有元素0的子集共有4个.

故选：B

【点睛】本题考查集合的基本关系，含有特殊元素的子集个数，是基础题.

3. 已知集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m的值为（    ）

A. 2 B. －1

C. 2或－1 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合相等列方程，解出m的值即可.

【详解】∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或m＝－1.

故选：C

【点睛】本题考查集合相等，属于简单题.

4. 已知集合，集合，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

集合的元素为方程与的解对应的点.

【详解】因为，，

由可得

所以

故选：B

【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.

5. 已知，，若，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据可得出实数的取值范围.

【详解】，，且，所以，.

故选：A.

【点睛】本题考查利用集合包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题.

6. 下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据充分不必要条件的定义依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，，故由不能得到，充分性不成立，故不正确；

对于B选项，，两者互为充要条件，故不成立；

对于C选项，，反之，不然，故满足条件；

对于D选项，，故是必要不充分条件，不满足；

综上，只有C正确.

故选：C

【点睛】本题考查充分不必要条件，是基础题.

7. 下列函数中为相等函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相等函数.

【详解】对于A，，与的对应关系不同，不是相等函数;

对于B，定义域是R，的定义域是R，定义域相同，对应关系也相同，是相等函数;

对于C，或，与的定义域不同，不是相等函数;

对于D，的定义域是R，的定义域是，定义域不同，不是相等函数.

故选：B

【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为相等函数的应用问题，是基础题．

8. 设，则关于的不等式的解集为（    ）

A. 或 B. {x|x>a}

C. 或 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

当时，根据开口方向及根的大小关系确定不等式的解集.

【详解】因为，所以等价于，

又因为当时，，所以不等式的解集为：或．

故选：A．

【点睛】本题考查含参一元二次不等式的解法，较简单，解答时，注意根的大小关系比较.

9. 设函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

本题先令并建立不等式求出，再建立不等式求出实数的取值范围即可.

【详解】解：令，则由，

解得或，解得，

则，解得或，

解得或，则实数的取值范围是；

故选：D.

【点睛】本题考查与分段函数有关的复合不等式问题；解决与分段函数有关的不等式时，要注意讨论自变量的取值范围，根据自变量的范围确定是那一段解析式，是中档题.

10. 已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

本题先将命题是假命题转化为成立，再建立不等式求实数的取值范围即可.

【详解】解：因为命题：，且命题是假命题，

则成立，

由函数的图象可得，解得.

故选：A

【点睛】本题考查根据含有量词命题的真假求参数范围、利用一元二次不等式求参数范围，还考查了转化的数学思想，是中档题.

11. 已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是（    ）

A. a<α<β<b B. a<α<b<β

C. α<a<b<β D. α<a<β<b

【答案】A

【解析】

【分析】

可设,从而得到是的两个零点,可看出的图象是由的图象向上平移2个单位得到,从而便可得出.

【详解】设g(x)＝(x－a)(x－b)，

则g(x)向上平移2个单位长度得到f(x)图象，

由图易知a<α<β<b.

故选：A.

【点睛】本题考查了函数零点的概念,以及沿轴方向的平移变换,要熟悉二次函数的图象，属于基础题.

12. 某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了akm，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了bkm(b<a)，再折回匀速前进ckm，则此人距起点的距离s与时间t的关系示意图正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意由时间t与距离s之间的关系即可判断.

【详解】S是指距起点的距离得：

此人距起点的距离s与时间t的关系示意图是C.

故选：C

【点睛】本题考查了函数图像的识别，考查了对函数概念的理解，属于基础题.

二、填空题

13. 设，那么的大小关系是________.

【答案】

【解析】

【分析】

将两者的大小关系转化为的大小关系来判断即可.

【详解】因为，故，

所以，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查大小关系的比较，无理数（或无理式）的大小比较，一般转化为有理数（或有理式）来比较大小，本题属于容易题.

14. 已知集合P＝{x||x|>x}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝________.

【答案】{x|x<0}

【解析】

【分析】

先确定集合P,Q，然后对集合P,Q取交集即可.

【详解】|x|>x⇒x<0，则P＝{x|x<0}，

∵1－x≥0⇒x≤1，∴Q＝{x|x≤1}，

故P∩Q＝{x|x<0}．

故答案为：{x|x<0}

【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.

15. 已知函数，则的值等于_________

【答案】

【解析】

【分析】

利用函数的解析式可求得的值.

【详解】，.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用分段函数解析式求函数值，考查计算能力，属于基础题.

16. 能够说明“设是任意非零实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为____．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】

要使“设是任意非零实数．若，则”是假命题，只需满足 且 即可，

【详解】要使“设是任意非零实数．若，则”是假命题，

只需满足 且 即可，

可取，

故答案为：（答案不唯一）.

【点睛】此题考查不等式性质的应用，考查假命题的判断方法，属于基础题.

17. 若定义运算，则函数的值域是___.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意求出的解析式，再判断出函数的单调性，即可得到答案．

【详解】解：由得，，

在上是增函数，在上是减函数，

，

则函数的值域是：，

故答案为：．

【点睛】本题考查分段函数的值域，即每段值域的并集，也是一个新定义运算问题：取两者中较小的一个，求出函数的解析式并判断出其单调性是解题的关键，属于基础题．

18. 某商品定价上涨成（一成为）销量减少成.若对这种商品根据营业额按比例纳税，且无论怎么涨价，从营业额扣除税金后得到的金额总比涨价前的营业额要少，则税率的取值范围为_______

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意，本题的等量关系应该是：涨价后的商品的定价涨价后的销售量税率）原来的销售额．由此可列出关于与的不等式，然后根据的二次函数的取值来确定的范围．

【详解】设原来的定价为，销售量为

由题意可得：

，由题意可得

所以 ，即

因

所以，解得

那么的取值范围应该是

故答案为：

【点睛】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．

三、解答题

19. 已知全集，集合，，.

（1）求，；

（2）若，求实数的取值范围

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用并集的定义可求得集合，利用补集和交集的定义可求得集合；

（2）分和两种情况讨论，结合条件可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.

【详解】（1）集合，，，

全集，则或，

因此，；

（2），.

①当时，则，解得；

②当时，若，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】本题考查集合基本运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.

20. 已知

（1）比较与的大小

（2）解不等式

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据题意，用作差法分析可得的符号，即可得答案；

（2）根据题意，将不等式变形为，讨论的取值，即可得不等式的解集．

【详解】（1）由于

，

．

（2）不等式，即，

当时，其解集为，

当时，其解集为，

当时，其解集为．

【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及不等式大小的比较，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

21. 已知函数．

用分段函数的形式表示函数；

画出该函数的图象；

写出该函数的值域．

【答案】（I）；（II）详]解析；（III）.

【解析】

【分析】

去掉绝对值号，即可求出函数的解析式画出函数的图象即可利用函数的图象，写出函数的值域．

【详解】函数

函数的图象如图：

．

由图象知，函数值域为：．

【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的图象的画法，值域的求法，考查计算能力，属于中档题.

22. 关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围

【答案】

【解析】

【分析】

先求出的两根为：和，再分和两种情况讨论，最后求实数的取值范围.

【详解】解：因为，所以或

因为的两根为：和，

①当时，不等式组的整数解的集合不可能为，故不符合题意；

②当时，此时，解得，符合题意；

故答案为：

【点睛】本题考查求解一元二次不等式、根据一元二次不等式的解集的分布求参数范围，还考查了分类讨论思想，是中档题.

23. 某市出租车的现行计价标准是：路程在2 km以内(含2 km)按起步价8元收取，超过2 km后的路程按1.9 元/km收取，但超过10 km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km))．

（1）将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0<x≤60，单位：km)的分段函数；

（2）某乘客的行程为16 km，他准备先乘一辆出租车行驶8 km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？

(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)

【答案】见解析

【解析】

（1）由题意得，车费f(x)关于路程x的函数为：

.

（2）只乘一辆车的车费为：f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；

换乘2辆车的车费为：2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．

∵40.3>38.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．