2022北京十一学校高一6月月考数学

2022北京十一学校高一6月月考

数    学

一､选择题，本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知直线，下列结论正确的是（    ）

A. 直线的倾斜角为 B. 直线的法向量为

C. 直线的方向向量为 D. 直线的斜率为

3. 直线与直线的位置关系是（    ）

A. 平行 B. 重合 C. 相交但不垂直 D. 垂直

4. 设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若为所在平面内一点，且满足，且，则为（    ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C. 正三角形 D. 等腰直角三角形

7. 已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则向量与向量的夹角是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 点关于直线的对称点的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 直线过点，且轴正半轴､轴正半轴交于两点，当面积最小时，直线的方程是（    ）

A.  B.

C.  D.

二､填空题，本题共6小题，每小题4分，共24分.

11. 平行四边形的三个顶点的坐标是，则顶点的坐标是___________.

12. 已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程为______．

13. ①点到直线的距离是___________.②两平行直线和间的距离是___________.

14. 已知，已知三点共线.①实数的值是___________.②若，则实数的值是___________.

15. 已知平面向量满足与的夹角为，记，则的取值范围是___________.

16. 若，且，则___________，的最大值为___________.

三､解答题，本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 已知直线和直线，求分别满足下列条件的的值.

（1）直线过点，且直线和垂直；

（2）若直线和平行，且直线在轴上的截距为；

（3）若直线和重合.

18. 已知三个顶点是.

（1）求边中线所在直线方程；

（2）求边上的高线所在方程；

（3）求的重心的坐标.

19. 在直角梯形中，已知，点是边上的中点，点是边上一个动点.

（1）若，求的值；

（2）当点在边上运动时，求的取值范围.

参考答案

一､选择题，本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 【答案】C

【解析】

【分析】求出向量的坐标，根据模的计算公式求得答案.

【详解】因为，

所以,

因此，，

故选：.

2. 【答案】D

【解析】

【分析】根据直线方程求出斜率和倾斜角，可判断AD；根据斜率可求出直线的一个方向向量，可判断C；根据法向量的定义求出一个法向量可判断B.

【详解】由题意可得直线的斜率，故D正确；

所以直线的倾斜角为，故A错误；

故直线的一个方向向量为，因为与不平行，故C错误；

与垂直的直线斜率，所以与垂直的直线的一个方向向量为，

又与不平行，故B错误.

故选：D.

3. 【答案】B

【解析】

【分析】根据直线的解析式判断位置关系即可.

【详解】根据题意，化简得，由于和解析式完全相同，

所以直线与直线重合.

故选：B.

4. 【答案】A

【解析】

【分析】根据斜率的定义，由斜率的范围可得倾斜角的范围.

【详解】因为直线的斜率为，且，

，因为，

故选：A.

5. 【答案】D

【解析】

【分析】将直线方程化为，令可得，，从而可得定点.

【详解】直线，即，

令，得，，可得它恒过一个定点.

故答案为：.

6. 【答案】D

【解析】

【分析】由推出是等腰三角形；由推出为直角三角形，从而可得为等腰直角三角形.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，所以，

是等腰三角形；

由可得，即为直角三角形.

综上所述：为等腰直角三角形.

故选：D.

7. 【答案】D

【解析】

【分析】确定线过定点，且不与轴垂直，数形结合，即可求得答案.

【详解】由题意知直线过定点，且不与轴垂直，

当直线经过点时，，点到直线的距离最小为0，

当过点的直线垂直于x轴时，点到该直线的距离最大,最大值为3，如图示：

由于的斜率存在，故点到直线的距离小于3，

即点到直线的距离的取值范围是，

故选：D.

8. 【答案】A

【解析】

【分析】由向量的数量积及可求解.

【详解】设与的夹角是，则由题意可得，

再根据，解得，结合可得.

故选：A.

9. 【答案】A

【解析】

【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.

【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，

则，解得.

所以点的坐标为

故选：A.

10. 【答案】C

【解析】

【分析】根据题意设，分别求出两点的坐标，所以，代入后利用基本不等式求解即可.

【详解】根据题意，直线不与轴垂直，则其斜率存在，设为， 则，

因此，直线，

令则有，则，

令则有，则.

因此，

当且仅当即时取等（舍去），

故面积最小值为4，此时，即.

故选：C.

二､填空题，本题共6小题，每小题4分，共24分.

11. 【答案】

【解析】

【分析】设，利用列方程即可求解.

【详解】设顶点的坐标为，

则由题意可得，即，

故，解得，

故的坐标为

故答案为：

12. 【答案】x＋y﹣6＝0，2x﹣y＝0

【解析】

【分析】分直线在x轴和y轴上的截距为零和不为零，分别设出直线方程，将点P（2，4）代入求解.

【详解】当直线在x轴和y轴上的截距为零时，设直线方程为，

因为直线直线l过点P（2，4），

所以，则直线方程为，

当直线在x轴和y轴上的截距不为零时，设直线方程为 ，

因为直线直线l过点P（2，4），

所以，则直线方程为 ，

综上直线在x轴和y轴上的截距相等时，直线l的方程为x＋y﹣6＝0，2x﹣y＝0，

故答案为：x＋y﹣6＝0，2x﹣y＝0

13.【答案】    ①. 4    ②.

【解析】

【分析】根据点到直线的距离公式即可求解①，根据平行线间的距离公式即可求解② .

【详解】① ；

则点到直线的距离.

② 即为，

所以两平行直线和间的距离.

14. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据和平面向量平行的坐标表示列式可求出；根据和平面向量垂直的坐标表示可求出.

【详解】因为，

①，因为三点共线，故.所以，得，

②，因为，

又，所以，即，解得.

故答案为：；.

15. 【答案】

【解析】

【分析】设，根据，再由三点共线求解.

【详解】解：因为平面向量满足与的夹角为，

设，

则，

，

三点共线，

到直线的距离，

即的取值范围为.

故答案为：

16. 【答案】    ①. 3    ②.

【解析】

【分析】由直接求出；把转化为，即可求出的最大值.

【详解】因为，所以；

因为，

，当，即同向时，等号成立.

所以的最大值是.

故答案为：3；.

三､解答题，本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

17. 【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据直线垂直可知斜率相乘等于 ，进而可求.（2）根据平行直线斜率相等可求.    （3）两直线重合，斜率和在轴上的截距均相等，进而可求.

【小问1详解】

由于直线和垂直，故，

又直线过点，故，

联立两式，解得.

故有.

【小问2详解】

由于直线和平行，故，

直线在轴上的截距为，则，

联立解得.

故有.

【小问3详解】

若直线和重合，故，解得.

故有.

18. 【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）求出线段的中点的坐标，即可由直线的截距式方程求得答案；

（2）求直线AB的斜率，可得AB边上的高的斜率，由直线的点斜式方程可得答案；

（3）方法一，由三角形的重心坐标公式直接求得答案；方法二，求得，边中线所在直线方程，联立边中线所在直线方程，即可求得答案.

【小问1详解】

线段的中点，即,

因此直线的横纵截距均为2，其方程为：，

即.

所以边中线所在直线方程为.

【小问2详解】

直线的斜率：，所以所求直线的斜率：，

又该直线过点，

所以边上的高线所在方程为：，即.

【小问3详解】

方法一：由重心坐标公式，的重心，

即.

方法二：线段的中点，即.

因此，直线的方程为：，

即，

故边中线所在直线方程为.

由方程组，解得，

所以的重心坐标.

19. 【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，求出的坐标，应用向量数量积的坐标表示求.

（2）设，可得，由二次函数的性质求闭区间上的值域，即可得答案.

【小问1详解】

由，以为原点，如图建立平面直角坐标系，

由和得：，

若，则为中点，，

因此，，则；

【小问2详解】

当在边上运动时，设，

因此，则，

由于在上递增，在上递减，

且，

故在上的值域为，

因此，的取值范围是.