2022北京八一学校高一12月月考数学（教师版）

2022北京八一学校高一12月月考

数    学

一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则等于（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像为（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 下列函数中，定义域是且为增函数的是

A.  B.  C.  D.

4. 若幂函数图像经过点，则在定义域内（    ）

A. 为增函数 B. 为减函数 C. 有最小值 D. 有最大值

5. 函数的零点个数为

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6. 已知，则的值为（    ）

A 1 B. 2 C. 0 D.

7. 已知函数，在下列区间中，包含零点区间是

A  B.  C.  D.

8. 已知，若实数满足，且，实数满足，那么下列不等式中，一定成立的是

A.  B.  C.  D.

9. 函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=（ ）

A.  B.  C.  D.

10. 如图中有六个函数的图象，已知的图象与的图象关于对称，依据图象用“”表示出以下五个量的大小关系，正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

二､填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.

11. 函数的定义域为_________.

12. 已知，将按照从小到大的顺序排列为___________.

13. 已知,若函数有两个零点，则的取值范围为___________.

14. 函数，在区间上的增数，则实数t的取值范围是________.

15. 有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从__________年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：，）

16. 已知函数图象过点.

（i）则函数的解析式为___________；

（ii）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围为___________.

三､解答题：本大题共4小题，共36.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 计算下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）已知.求，并用表示.

18. 已知函数.

（1）用定义证明：是上的减函数；

（2）当时，求的值域.

19. 已知.

（1）求的值；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）若对于恒成立，求实数的取值范围.

20. 已知函数的定义域为，如果存在，使得，则称为的一阶不动点；如果存在，使得，且，则称为的二阶周期点.

（1）分别判断函数与是否存在一阶不动点；（只需写出结论）

（2）求的一阶不动点；

（3）求的二阶周期点的个数

参考答案

一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 【答案】B

【解析】

【分析】先解不等式求出两集合，再求两集合的交集.

【详解】由，得，

所以，

由，得，

所以，

所以，

故选：B

2. 【答案】C

【解析】

【分析】

根据指数函数和对数函数的图像，即可容易判断.

【详解】∵a>1，∴0<<1，

∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，

故选：C.

【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.

3. 【答案】B

【解析】

【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.

【详解】对于，，是上的减函数，不合题意；

对于，是定义域是且为增函数，符合题意；

对于，，定义域是，不合题意；

对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B.

【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.

4. 【答案】C

【解析】

【分析】设幂函数，由题意，解得，所以幂函数，由二次函数的图像与性质即可求解.

【详解】解：设幂函数，因为幂函数的图像经过点，

所以，解得，所以幂函数，

所以在单调递减，在上单调递增，

所以在定义域内有最小值，

故选：C.

5. 【答案】B

【解析】

【详解】函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B

【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数

6. 【答案】A

【解析】

【分析】根据分段函数的解析式，结合对数运算求解即可.

【详解】解：因为，

所以.

故选：A

7. 【答案】C

【解析】

【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.

考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.

8. 【答案】B

【解析】

【详解】∵在上是增函数，且，中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；
即：；或
由于实数是函数的一个零点，
当时，
当 时，

故选B

9. 【答案】D

【解析】

【详解】与曲线y=ex关于y轴对称的曲线为，

向左平移1个单位得，

即．

故选D．

10. 【答案】C

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的图象和性质判断.

【详解】由指数函数的图象和性质得是减函数，，增函数，

则，

因为的图象与的图象关于对称，

由反函数的定义得，

当时，的图象总在的上方，

所以，

综上所述，，

故选：C

二､填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.

11. 【答案】

【解析】

【分析】根据根式、对数的性质有求解集，即为函数的定义域.

【详解】由函数解析式知：，解得，

故答案为：.

12. 【答案】

【解析】

【分析】由对数函数的单调性得出大小关系.

【详解】可化为，因为，，，所以.

故答案为：

13. 【答案】

【解析】

【分析】由题意可得与有两个交点，作出图象，结合图象即可得答案.

【详解】解：令，

则有，

因为有两个零点，所以与有两个交点，

作出的图象，如图所示：

由此可得.

故答案为：.

14. 【答案】

【解析】

【分析】作出函数的图象，数形结合可得结果.

【详解】解:函数的图像如图.

由图像可知要使函数是区间上的增函数，

则.

故答案为

【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目.

15. 【答案】2021

【解析】

【详解】设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，
由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（两边取对数可得n（lg3-lg2）=1，
∴n（0.4771-0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.

故答案为2021．

16. 【答案】    ①. 2    ②.

【解析】

【分析】将点 代入函数不等式求出a，再采取参数分离方法，根据对勾函数的性质求出t的取值范围.

【详解】由题意， ，  ；

在 上有解，   ，当 时，取得极小值 ；

函数图像如下图：

根据根据对勾函数的性质，当 单调递减，当 时单调递增，

；

故答案为： ； .

三､解答题：本大题共4小题，共36.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 【答案】（1）；   

（2）3；    （3），。

【解析】

【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解；

（2）利用对数的运算性质求解；

（3）利用指数与对数的互化可求出，再利用对数的运算性质可表示出.

【小问1详解】

；

【小问2详解】

；

小问3详解】

由，得，

.

18. 【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数单调性的定义:作差、判断符号、比较大小，从而可得结论；

（2）先判断奇偶性，根据偶函数性质得函数在上的单调性，可得最大值和最小值，可得值域．

【小问1详解】

当时，，设，

则，

∵，∴，

∴，即，

∴在上是减函数；

【小问2详解】

函数定义域是,

,

∴是偶函数；

因为在上是减函数，所以函数在上是减函数

则函数在上是增函数，

∴，

，

∴所求值域．

19. 【答案】（1）   

（2）为偶函数   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据对数运算直接求解即可；

（2）根据奇偶性的定义判断即可；

（3）由题知对于恒成立，进而对于恒成立，在求最值即可得答案.

【小问1详解】

解：因为

所以

【小问2详解】

解：由题知，解得，

所以，函数的定义域为,

所以，，即函数偶函数.

【小问3详解】

解：由题知，

因为对于恒成立，

即对于恒成立，

所以对于恒成立，

所以对于恒成立，

因为

所以，对于恒成立，

所以，，即实数的取值范围是

20. 【答案】（1）不存在一阶不动点，存在一节不动点；   

（2），   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据一阶不动点的定义直接分别判断即可；

（2）根据一阶不动点的定义直接计算；

（3）根据分段函数写出，结合二阶周期点的定义判断.

【小问1详解】

设函数，，，，

所以在上单调递增，

又，，

所以，时，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即恒成立，

所以不存一阶不动点；

设函数存在一阶不动点，即存在上，使，解得，成立，所以存在一阶不动点；

【小问2详解】

由已知得，解得或，

所以的一阶不动点为，；

【小问3详解】

由，

当时，，所以，

设，，恒成立，所以在上单调递减，且，，所以在上只有一个零点，即在上只有一个解，，即在上只有一个二阶周期点；

当时，，且，

所以时，，，令，解得成立，所以方程在上只有一个解，即在上只有一个二阶周期点；

当时，，，设，恒成立，所以在上单调递减，且，，所以在只有一个零点，即在上只有一个解，，即在上只有一个二阶周期点；

综上所述，的二阶周期点的个数为.