2022-2023学年江苏省无锡市江阴市直属学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市江阴市直属学校七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图案中，可以看作由“基本图案”通过平移得到的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  中国第颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网其中支持北斗三号新信号的纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用纳米米，将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，四边形中，与相交于点，，、在上，下列条件中能判断的是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列各式中，能用平方差公式进行计算的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图所示，正五边形的顶点，在射线上，顶点在射线上，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下列说法：一个多边形内角中最多有个锐角；当为任意有理数时，的值一定大于；方程有无数个整数解；若三条线段、、满足，则三条线段、、一定能组成三角形其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.  如图，正方形中，点、在上，点是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则长方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  取一张正方形的纸，随机在纸上折一道折痕如图和，这道折痕称为母线，然后将纸张的其它边分别折向这条母线，再一一打开如图所示，这些折痕称为子线，你将看到一堆折痕见图，在图中标有个角，如图图放大后的图形，则以下结论：；；；正确的有(    )

 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  请写出一个二元一次方程组______ ，使它的解为．

12.  若，，则______．

13.  已知某正多边形每一个外角都等于，则从此多边形一个顶点出发，可以引的对角线的条数是        条
 

14.  计算：______．

15.  如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为______ ．

 

16.  若，则多项式的值等于______ ．

17.  如图，是的角平分线，是线段延长线上一点，于点，当时，的度数为______
 

18.  如图所示，中，、为，上的两点，且，，若面积为，则四边形的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算或化简求值：
计算：；
化简求值：，其中．

20.  本小题分
因式分解：
；
．

21.  本小题分
解方程组：
；
．

22.  本小题分
如图，点，分别在三角形的边，上，点在线段上，且，．
求证：；
若平分，，求的度数．

23.  本小题分
画图并填空：如图，每个小正方形的边长为个单位，小正方形的顶点叫格点．
将向左平移格，再向上平移格请在图中画出平移后的；
利用网格在图中画出的高线；
在平移过程中线段所扫过的面积为______ ；
在图中能使的格点的个数有______ 个点异于．

24.  本小题分
对于整数、定义运算：其中、为常数，如．
填空：当，时， ______ ；
若，，求的值．

25.  本小题分
如图，现有种不同型号的型、型、型卡片若干张．
已知张型卡片，张型卡片，张型卡片可拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到等式：______ ；
请用上述三种型号的卡片若干张拼出一个面积为的长方形无空隙，不重叠，在图虚线框内画出你的拼接示意图，并根据拼图直接写出多项式因式分解的结果；
取出一张型卡片，一张型卡片，放入边长为的正方形大卡片内，如图所示，图中，型卡片重叠部分面积记为，边长为的正方形未被覆盖部分面积记为，，若，，，求出大正方形的面积即的值．

 

26.  本小题分
【问题情境】
是锐角三角形，点在线段上，交于点，点在线段上点不与点，，重合，连接，过点作交射线于点点不与点重合．
【问题初探】如图，点在线段上时： ______ ；
【类比研究】当点在线段上时，探究与之间满足的数量关系请在备用图中画出符合条件的图形，并说明理由；
【深入探究】
若与的角平分线所在直线相交于点，试探究的度数，并直接写出你的探究结果．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、能通过基本图形平移得到，故此选项符合题意；
B、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意；
C、可以由一个“基本图案”旋转得到，故本选项不符合题意；
D、不能通过基本图形平移得到，故本选项不符合题意．
故选：．
根据平移的定义可得答案．
本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故选项A错误；
B、与不是同类项，不能合并成一项，故选项B错误；
C、，故选项C错误；
D、，故选项D正确．
故选D．
根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加判断；
根据合并同类项，系数相加，字母和字母的指数不变判断；
根据积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘判断；
根据同底数幂的除法，底数不变指数相减判断．
本题考查同底数幂的乘除法，合并同类项，积的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
．
故选：．
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，先求出的取值范围，再根据取值范围选择．
本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，
，
，
，
，
，
故A符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
，
，
，
，
故C不符合题意；
D、，
，
，
，
，
和不一定相等，
和不一定相等，
和不一定平行，
故选D不符合题意；
故选：．
根据平行线的判定与性质，逐一判断即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式运算依次进行判断即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，，．
．
，
．
．
．
．
故选：．
根据正多边形的性质以及多边形的外角和等于度，得，，那么由，得，从而推断出再根据三角形的内角和定理，得．
本题主要考查多边形的外角和内角，熟练掌握正多边形的性质、多边形的外角和、三角形的内角和是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为多边形的外角和是度，在外角中最多有三个钝角，如果超过三个则和一定大于度，多边形的内角与相邻的外角互为邻补角，则外角中最多有三个钝角时，内角中就最多有个锐角，本项正确；
，故错误；
方程有无数个整数解，故正确；
若，，，则，，不能组成三角形，故错误；
故选：．
利用多边形的外角和是度判断；
根据完全平方公式进行配方，然后再根据平方数非负数的性质进行判断；
根据二元一次方程的解判断即可；
举例论证．
本题考查了配方法的应用，掌握非负数的性质、二元一次方程的解及三角形的三边关系是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，正方形的面积为，
，，
解得：，，
，
点是的中点，
，
，
，



．
故选：．
由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查实数的运算，解答的关键是求得长方形的长与宽．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图标记各点，并延长、交于，延长、交于．
正方形中，，．
由折叠可知，，
的外角：，
的外角：，
．
，
，
正确．
，条件不足，无法判断．
由折叠可知，，，
，
，
即，
，
正确．
由折叠可知，，．
，
，
，
，正确．
故选：．
折叠主要的特征是对称，产生众多的角平分线，按角的关系分析判断即可．
本题考查了三角形内角和、三角形外角、平行线的性质等知识点．已知条件由折叠的形式给出，具有一定的隐蔽性．增加了趣味性，也制造了难度．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：二元一次方程组的解为，
这个方程组可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据二元一次方程组的解为，找到与的数量关系，然后列出方程组即可．
本题考查的是二元一次方程组解的定义，解答此题的关键是把方程的解代入各组方程中，看各方程是否成立．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
当，时，
原式

．
故答案为：．
先利用多项式乘多项式法则计算乘法，再整体代入求值．
本题主要考查了多项式乘多项式法则，掌握整式的乘法法则是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是．
故答案为：．
利用多边形的外角和是，多边形的每个外角都是，即可求出这个多边形的边数，再根据边形从一个顶点出发可引出条对角线可求答案．
本题主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，边形从一个顶点出发可引出条对角线．
 

14.【答案】 

【解析】解：：，
，
，
，
．
根据同底数幂的乘法、积的乘方的计算方法进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘法、积的乘方，掌握计算法则是正确计算的前提，合理的变形是正确解答的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由平移的性质可知：，，
，
阴影部分的周长，
故答案为：．
根据平移的性质得到，，根据周长公式计算，得到答案．
本题考查的是平移的性质，平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
得，
则．
故答案为：．
先根据非负数得出关于、的方程组，由方程组求得，再把代入变形后的代数式进行计算即可．
本题考查的是解二元一次方程组，非负数的性质，即任意一个数的偶次方都是非负数，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为时，则其中的每一项都必须等于．
 

17.【答案】 

【解析】解：设，则，
，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可．
本题考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂直的定义是正确解答的前提．
 

18.【答案】 

【解析】解：过作交于，连接，
面积为，，
，
，
，
，
，，，
∽，∽，
，
，
，
四边形的面积．
故答案为：．
过作交于，连接，首先利用已知条件求出的面积，然后利用得到，接着证明∽，∽，利用相似三角形的性质即可求解．
此题主要考查了三角形的面积，同时也利用了相似三角形的性质与判定，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
，
当时，原式． 

【解析】根据有理数的乘方、零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算；
根据多项式乘多项式、完全平方公式按原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值、实数的运算，掌握多项式乘多项式、完全平方公式、零指数幂和负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】解：

；


． 

【解析】先提取公因式，再利用平方差公式分解；
利用提公因式法分解．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：，
得，
，
解得，
把代入得，
，
解得，
则方程组的解为；
方程组整理得，
得，
，
把代入得，
，
解得，
则方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求出解即可；
方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法是代入消元法与加减消元法．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：平分，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
由得，
． 

【解析】利用平行线性质可得，从而可求得，可判定；
利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质、对顶角的性质求解即可．
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质、邻补角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图，即为所求；

的高线如图；


线段所扫过的面积：
．
故答案为：；

如图，共有个点．

故答案为：．
根据图形平移的性质画出平移后的即可；
延长，作垂直于，交的延长线于点，即为的高线；
利用大长方形减去四个小长方形的面积即可得出结论；
过点作直线的平行线，此直线与格点的交点即为点．
本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：当，时，



，
故答案为：；
，，
，，
整理得：，，
解得：，，





．
把相应的值代入进行运算即可；
把相应的值代入运算求得，，再利用幂的乘方的法则，同度数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则进行求解即可．
本题主要考查幂乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

25.【答案】 

【解析】解：阴影部分的面积为：，或，
故答案为：；
；
由图得：




；
根据阴影部分的面积的两种表示方法求解；
先因式分解，再画图；
根据割补法表示面积，再整体代入求解．
本题考查了因式分解的应用，掌握割补法求面积是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：结论：．
理由：如图中，过点作交于点．

，
．
．
，
．
，
．
．
．
故答案为：；
存在两种情况：
结论：．

理由：如图，设交于，
，
，
，，
；
结论：．

理由：如图，延长交于，
，
，
，
，
；
如图，点在边上，

与的角平分线所在直线相交于点，
，，
，
由【问题初探】同理得：，
；
如图，点在射线上，延长，交于点，

，
，，
在中，，
与的角平分线所在直线相交于点，
，，
，
中，．
综上，的度数为或．
结论：如图中，过点作交于点利用平行线的性质求解即可．
作出图形，利用平行线的性质求解即可；
分两种情况：如图和图中，分别根据平行线的性质求解即可．
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．