2021-2022学年山东省菏泽市单县第二中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省菏泽市单县第二中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用补集及并集的定义运算即得.

【详解】∵集合，，，

∴.

故选：C.

2．函数y＝的定义域为（    ）

A．(1,2) B．[1,2)

C．(1,2] D．[1,2]

【答案】A

【分析】根据具体函数的定义域建立不等式组，解之可得选项.

【详解】解：由题意得，解得1<x<2，所以所求函数的定义域为(1,2)．

故选：A.

3．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用对数函数、指数函数单调性并结合“媒介”数即可比较判断作答.

【详解】函数在上单调递增，而，则，

，函数在R上单调递减，，则，即，

所以a，b，c的大小关系为.

故选：C.

4．已知，都是锐角，，，则（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用平方关系求得，，再由求解.

【详解】因为，，

所以，

所以，，

所以，

，

.

故选：C

5．已知是奇函数，且当时，.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数奇偶性的性质，进行转化，建立方程进行求解即可．

【详解】解：是奇函数，且当时，．若，

，

则，

得，

得，

即，

得，得，

故选：．

6．已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2

C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2

【答案】D

【分析】由基本不等式得出的最小值，进而得出实数m的取值范围.

【详解】∵x>0，y>0且，

当且仅当，即x＝4，y＝2时取等号，

∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，

只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得.

故选：D

7．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由不等式解集为R，则分二次项系数为0及不为0两种情况讨论，结合二次函数图像得出结论.

【详解】∵不等式的解集为R，

当a-2＝0，即a＝2时，不等式为3>0恒成立，

故a＝2符合题意；

当a﹣2≠0，即a≠2时，不等式的解集为R，

则，解得，

综合①②可得，实数a的取值范围是．

故选：B．

8．十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．”黄金三角形有两种，中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，根据这些信息，可得（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】在中，先求出，然后由二倍角公式求出，由诱导公式得出答案.

【详解】由图在等腰中，，过点作，交于点.

则，所以，

，

．

故选：A．

二、多选题

9．若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】应用特殊值，判断A、C，根据，的单调性判断B、D.

【详解】当时，则，而，又，

∴A，C不正确；

∵，都是上单调递增函数，

∴B，D是正确的.

故选：BD.

10．下列说法错误的是（    ）

A．命题“”的否定是“”

B．命题“”的否定是“”

C．“"是“”的必要而不充分条件

D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件

【答案】BC

【分析】根据全称命题的否定判断A,根据特称命题的否定判断B,根据充分性和必要性的概念判断C, 根据充分性和必要性的概念判断D.

【详解】A.命题“”的否定是“，”，故正确；

B.命题“，”的否定是“，”，故错误；

C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；

D.关于的方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确.

故选：BC

11．将函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ）

A．

B．的图象相邻两条对称轴间距离为

C．在上单调递减

D．在上的值域为

【答案】BD

【分析】直接利用三角函数图象的变换和正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论.

【详解】函数图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象；

对于A：，故A错误；

对于B：函数的最小正周期为，故相邻两条对称轴间距离为，故B正确；

对于C：由于，所以，函数在该区间上单调递增；

故C错误；

对于D：由于，所以，所以函数的值域为，故D正确.

故选：BD.

12．设函数，则（    ）

A．当时，的值域为

B．当的单调递增区间为时，

C．当时，函数有2个零点

D．当时，关于x的方程有3个实数解

【答案】ABD

【分析】分析：对A，先求出函数在每一段的范围，进而求出函数的值域；

对B，先得出函数的单调区间，然后结合条件求出的范围；

对C，根据函数零点的个数讨论出a的范围，进而判断答案；

对D，画出函数的图象即可得到答案.

【详解】A.当时，若，，

若，，于是的值域为，故A正确；

B.的单调递增区间是和，因为的单调递增区间是，所以，即，故B正确；

C.当时，由，得，

当时，令，得，此方程有唯一解，得，即，故C错误；

D.当时，如图所示，的图象与直线有3个交点，D正确；

故选：ABD.

三、填空题

13．若角的终边经过点，则_________．

【答案】##

【分析】先由已知求出的值，再利用诱导公式化简可得答案.

【详解】因为角的终边经过点，所以，

所以，

故答案为：

14．函数y＝loga(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f（3）＝________.

【答案】27

【分析】由对数函数的图象所过定点求得点坐标，设出幂函数解析式，代入点的坐标求得幂函数解析式，然后可得函数值．

【详解】由题意，，则，定点A为(2,8)，

设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f（3）＝33＝27.

故答案为：27

15．已知函数，则______.

【答案】2

【分析】由已知先求出，然后根据函数解析式进而可求.

【详解】因为，

所以，

则.

故答案为：2.

16．若函数的最大值为，则常数的值为_______．

【答案】

【解析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得，可得，即可解出.

【详解】因为，

所以，解得，因为，所以.

故答案为：.

四、解答题

17．设全集为，或，.

(1)若，求，.

(2)已知，求实数的取值范围.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）当时求出集合，再进行交集，补集，并集运算即可求解；

（2）讨论和两种情况，列不等式解不等式即可求解.

【详解】（1）因为，所以，，

所以，.

（2）因为，

当时，满足，所以，得；

当时，因为，所以，解得，

综上实数的取值范围为：.

18．二次函数满足，且.

(1)求的解析式；

(2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，可设，代入，根据系数对应相等可求a，b进而可求

（2）由题意得，，即对恒成立，令，根据在上的单调性可求，可求m的范围.

【详解】（1）由，可设,

∵，

∴,

由题意得，，解得；

故.

（2）由题意得，,

即对恒成立，

令，又在上递减，故,

故.

19．已知f (α)＝.

（1）化简f(α)；

（2）若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；

（3）若α＝－，求f(α)的值．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）利用诱导公式化简即可.

（2）由（1）可得，再利用同角三角函数的基本关系：将式子平方即可求解.

（3）由（1）利用诱导公式化简即可求解.

【详解】（1）由三角函数的诱导公式，可得

.

（2）由，即，

又由，

因为，可得，所以.

（3）由，

可得

.

20．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排宽的绿化，绿化造价为元，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为元．设矩形的长为()

(1)将总造价(元)表示为长度的函数：

(2)如果当地政府财政拨款万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地?

【答案】(1)，

(2)仅限最低造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地

【分析】（1）由题干直接列式；

（2）根据不等式可得，进而可判断是否能够修建起该市民休闲锻炼的场地.

【详解】（1）解：由矩形的长为，则矩形的宽为，

则中间区域的长为，宽为，则定义域为，

则，

整理得，．

（2）解：，当且仅当时取等号，

即．

所以当时，总造价最低为万元万元．

故仅限最低造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地.

21．设函数.

（1）求的最小正周期和单调递增区间；

（2）当时，求函数的最大值和最小值.

【答案】（1），单调递增区间为；（2）最大值为，最小值为.

【解析】（1）本题首先可通过三角恒等变换将函数解析式转化为，然后通过周期计算公式即可求出最小正周期，通过正弦函数的单调性即可求出单调递增区间；

（2）本题可根据得出，然后根据正弦函数的性质即可求出最值.

【详解】（1）

，

即，则最小正周期，

当，

即，函数单调递增，

函数的单调递增区间为.

（2），

因为，所以，

由正弦函数的性质易知，

当，即时，函数取最小值，最小值为；

当，即时，函数取最大值，最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题考查结合三角恒等变换判断三角函数性质，能否根据三角恒等变换将函数转化为是解决本题的关键，考查三角函数周期性、单调性以及最值的求法，是中档题.

22．已知函数是奇函数.

（1）求a，b的值；

（2）证明：是区间上的减函数；

（3）若，求实数m的取值范围.

【答案】（1），（2）证明见解析（3）

【解析】（1）由于函数是奇函数，且有意义，则，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到，；

（2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立；

（3）运用奇函数的定义和函数是区间上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围．

【详解】（1）∵函数，是奇函数，

∴，且，

即，.

（2）证明：由（1）得，，

设任意且，

∴ ，

∵，

∴，

∴，

又∵，，

∴，∴.

∴是区间上的减函数．

（3）∵，

∴，

∵奇函数，

∴，

∵是区间上的减函数，

∴，即有，

∴，

则实数的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：利用奇函数的性质及函数的单调性解决满足的实数m的取值范围问题，要特别注意定义域，考防止遗漏，造成求解的错误，属于中档题．