2021-2022学年山东省蓬莱第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省蓬莱第一中学高一上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据对数型函数的定义域化简集合的表示，解一元二次不等式化简集合的表示，最后根据集合的补集和并集的定义，结合数轴进行求解即可.

【详解】因为或，所以

又因为

所以.

故选：D

【点睛】本题考查集合的补集与并集的定义，考查了数学运算能力，属于基础题.

2．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式组即得解.

【详解】解：由题得.

所以函数的定义域为.

故选：C

3．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点在第四象限，则角的终边在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】依据三角函数值的符号判断角的终边所在象限即可解决.

【详解】由点在第四象限，可知，

则角的终边在第二象限.

故选：B

4．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可.

【详解】因为命题“，”为假命题，

所以在上有解，所以，

而一元二次函数在时取最大值，

即解得，

故选：A

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先判断奇偶性，可排除C，D，由特殊值，可排除B，即可得到答案.

【详解】因为，所以函数为奇函数，排除C，D；又，排除B，

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

6．若，的终边（均不在y轴上）关于轴对称，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】因为，的终边（均不在轴上）关于轴对称，则，，然后利用诱导公式对应各个选项逐个判断即可求解．

【详解】解：因为，的终边（均不在轴上）关于轴对称，

则，，

选项A：，故A正确，

选项B：，故B错误，

选项C：，故C错误，

选项D：，故D错误，

故选：A．

7．若，记，则的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意可得，然后利用对数函数的单调性比较大小

【详解】因为，

所以，

所以，

，

，

因为，所以，

所以，即，

综上，，

故选：C

8．已知是定义在上的奇函数，且，当且时.已知，若对恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由奇偶性分析条件可得在上单调递增，所以，进而得，结合角的范围解不等式即可得解.

【详解】因为是定义在上的奇函数，

所以当且时，

根据的任意性，即的任意性可判断在上单调递增，

所以，

若对恒成立，则，

整理得，所以，

由，可得，

故选：A.

【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用，结合变量的任意性，可判断函数的单调性，属于中档题.

二、多选题

9．已知全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据韦恩图，结合集合的交并补运算逐个选项分析即可.

【详解】由图可知.

故选：AB

10．幂函数，则下列结论正确的是（    ）

A． B．函数是偶函数

C． D．函数的值域为

【答案】ABD

【分析】根据幂函数定义可知，即可解得的值，结合是正整数即可对选项做出判断.

【详解】由幂函数定义可知，系数，解得或，

又因为，所以；故A正确；

时，，其定义域为，且满足，所以函数是偶函数，即B正确；

由可知，函数在为单调递减，所以，所以C错误；

函数的值域为，即D正确；

故选：ABD.

11．已知函数的图象如图所示，则（    ）

A．函数解析式

B．将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象

C．直线是函数图象的一条对称轴

D．函数在区间上的最大值为2

【答案】ABC

【分析】根据图像得到解析式，利用函数的性质进项判断即可.

【详解】由题图知：函数的最小正周期，

则，，所以函数．

将点代入解析式中可得，

则，得，

因为，所以，

因此，故A正确．

将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像，故B正确.

，当时，，故C正确.

当时，，所以，即最大值为，

故D错误．

故选：ABC．

12．已知正实数x，y，z满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】令则，可得：，，进而结合对数运算与换底公式判断各选项即可得答案.；

【详解】解：令，则，可得：， ，，

对于选项A：因为，

所以，故选项A正确；

对于选项B，因为，故，

所以，即；

，即，故B选项错误.

对于选项C：，因为，所以，

因为，所以，即，即，故选项C正确；

对于选项D：，

，

因为，因为所以等号不成立，

所以，即，

所以，根据“或”命题的性质可知选项D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是__________.

【答案】

【分析】写出终边落在边界上的角，即可求出.

【详解】因为终边落在y轴上的角为，

终边落在图中直线上的角为；

，

即终边在直线上的角为，，

所以终边落在阴影部分的角为，

故答案为：

14．已知正数x，y满足，则的最小值为__________.

【答案】5

【分析】根据基本不等式即可求解最值.

【详解】，

由于，,所以，

当且仅当 时，取等号，故最小值为5，

故答案为：5

15．数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是________．

【答案】##

【分析】由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解.

【详解】由已知得，

则AB=BC=AC=2，故扇形的面积为，

由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，

∴所求面积为．

故答案为：或．

四、双空题

16．已知定义在R上的奇函数，则________；不等式的解集为________.

【答案】     1    

【解析】由奇函数关于原点对称的性质，即可求得；不等式的解集等价于的解集，即可求得答案.

【详解】解：∵是定义在上的奇函数，

当时，，

，

∴；

又在和上都单调递减，而且函数又是连续性函数，图像没有断开，

所以函数在上单调递减，

∵不等式，

，

或，

解得：，

即不等式的解集为.

故答案为：1；.

【点睛】本题考查奇函数的性质以及求解方法，考查复合不等式的求解，属于中档题.

五、解答题

17．（1）计算

（2）计算.

【答案】（1）0；（2）3

【分析】（1）利用有理数指数幂性质以及运算法则求解；

（2）利用对数性质及运算法则求解.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．如图，以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P的坐标为．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）（2）

【分析】(1)由三角函数的定义首先求得的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；

(2)由题意首先求得的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值.

【详解】（1）由三角函数定义得，，

∴原式．

（2）∵，且，

∴，，

∴，．

∴．

【点睛】本题主要考查三角函数的定义，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19．已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为

(1)求函数的单调递增区间和其图象的对称轴方程;

(2)先将函数的图象各点的横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变得到曲线C，再把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，若，求x的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为，对称轴方程为；

(2)

【分析】(1)由条件可得函数的最小正周期，结合周期公式求，再由正弦函数性质求函数的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数的解析式，根据直线函数性质解不等式求x的取值范围.

【详解】（1）因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，

所以，，所以，

由，可得，，

所以函数的单调递增区间为，

由得，

所以所求对称轴方程为

（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到曲线，

把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的得到的图象，

由得，所以，，

所以，，所以x的取值范围为

20．已知函数的定义域为R，且对任意a，R，都有，且当时，恒成立.

(1)证明函数是奇函数；

(2)证明函数是R上的减函数；

(3)若，求x的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)或

【分析】（1）利用特殊值求出，从而证明即可；（2）证明出，再利用当时，恒成立即可得解；（3）利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解.

【详解】（1）证明：由，

令可得，

解得，

令可得，

即，而，

，而函数的定义域为R，

故函数是奇函数．

（2）证明：设，且，，则，

而

，

又当时，恒成立，即，，

函数是R上的减函数；

（3）(方法一）由，

得，

又是奇函数，

即，

又在R上是减函数，

解得或

故x的取值范围是或.

方法二由且，

得，

又在R上是减函数，

，

解得或

故x的取值范围是 或.

21．已知函数，满足，其一个零点为．

(1)当时，解关于x的不等式；

(2)设，若对于任意的实数，，都有，求M的最小值．

【答案】(1)答案见解析

(2)242

【分析】（1）根据条件求出，再分类讨论解不等式即可；

（2）将问题转化为，再通过换无求最值即可.

【详解】（1）因为，则，得

又其一个零点为，则，得，

则函数的解析式为

则，即

当时，解得：

当时，①时，解集为R

②时，解得：或，

③时，解得：或，

综上，当时，不等式的解集为；

当时，解集为R；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为或.

（2）对于任意的，，都有，

即

令，则

因为，则，

可得，

则，

即，即M的最小值为242．

22．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

(1)请根据上表数据，求函数的解析式；

(2)关于的方程区间上有解，求的取值范围；

(3)求满足不等式的最小正整数解．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）由表格中的数据可得出的值，根据表格中的数据可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出函数的解析式；

（2）利用余弦型函数的基本性质求出函数在上的值域，即可得出实数的取值范围；

（3）分析可得或，分别解这两个不等式，得解集，令，得解集的一部分，由此可得出解集中的最小正整数解.

【详解】（1）解：由表格数据知，，由，解得，

所以.

（2）解：当时，，则，

所以在上的值域为，

因为方程区间上有解，所以的取值范围为.

（3）解：因为，，

所以不等式即：，解得或，

由得，所以，

所以，；

由得，所以，

所以，.

令可得不等式解集的一部分为，

因此，解集中最小的正整数为．