山东省菏泽市2021-2022学年高一上学期期中数学试题

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2021-2022学年度第一学期期中考试

高一数学试题（A）

注意事项：

1．答卷前，考生先将自己的学校、姓名、班级、座号、考号填涂在相应位置．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合，利用并集定义能求出．

【详解】解：集合，，

，1，2，，

，0，1，2，．

故选：C

2. 已知命题：若四边形为菱形，则它的四条边相等，则是（    ）

A. 若四边形为菱形，则它的四条边不相等 B. 存在一个四边形为菱形，则它的四条边不相等

C. 若四边形不是菱形，则它的四条边不相等 D. 存在一个四边形为菱形，则它的四条边相等

【答案】B

【解析】

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【详解】解：命题：若四边形为菱形，则它的四条边相等，则是存在一个四边形为菱形，则它的四条边不相等．

故选：．

3. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】根据已知可得函数的定义域需满足：,

解得，

即函数定义域为，故选B.

考点：求函数定义域

4. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断．

【详解】解：由“”不能推出“ “，但是由“ “能推出“”，

故“”是“”的必要不充分条件．

故选：．

5. 如果集合中只有一个元素，则a的值是（    ）

A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 不能确定

【答案】C

【解析】

【分析】利用与，结合集合元素个数，求解即可．

【详解】解：当时，集合，只有一个元素，满足题意；

当时，集合中只有一个元素，可得，解得．

则的值是0或4．

故选：．

【点睛】本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．

6. 若实数，，满足，则下列不等式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用不等式的性质，进一步利用作差法和赋值法的应用判断、、、的结论．

【详解】解：实数，，满足，

所以对于：当，，时，不成立，故错误；

对于：当，，时，，故错误；

对于：由于，所以，故，故正确；

对于：当，，时，无意义，故错误．

故选：．

7. 现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器（球形部分）的液面高度h随时间t变化的函数关系的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由球形容器得特点可知注水时高度h呈现先快后慢后快过程，结合图象即可求解

【详解】球形容器底部和顶部截面较小，中间截面较大，

注水时高度h呈现先快后慢后快过程，

图象表现先陡后平后陡，结合图象可知D正确，

故选：D

8. 已知函数，其中，若函数为幂函数且其在上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】A

【解析】

【分析】根据幂函数的概念和性质列式可解得.

【详解】因为函数为幂函数,所以,所以,

又因为函数在上是单调递增函数,所以,

所以,

因为,所以.

当 时,函数 为奇函数,不合题意,舍去.

当 时.为偶函数,符合题意.

所以.

故选 .

【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质.属基础题.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的的0分，部分选对的的2分．

9. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（    ）

A. 若，，则

B 若，则

C. 若是高一（1）班全体同学集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则

D. 若，则2一定是集合的元素

【答案】AC

【解析】

【分析】选项AC符合题意，正确；选项BD可以通过举反例来证明错误.

【详解】选项A：，，则.判断正确；

选项B：令，，则，但.判断错误；

选项C： 表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合，即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有.判断正确；

选项D：令，，则，，此时.判断错误；

故选：AC

10. 下列选项正确的是（    ）

A. 若，则的最小值为4

B. 若，则的最小值是2

C. 若，则的最大值为

D. 若正实数，满足，则的最小值为8

【答案】CD

【解析】

【分析】结合基本不等式一正，二定，三相等条件分别检验各选项，即可判断．

【详解】解：当时，显然不成立；

令，则，

，结合对勾函数单调性可知，当时，取得最小值，错误；

若，则，

当且仅当即时取等号，此时取得最大值，正确；

正实数满足，则，

当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值为8，正确．

故选：．

11. 函数满足条件：①对定义域内任意不相等的实数，恒有；②对定义域内任意两个实数，都有成立，则称为函数，下列函数为函数的是（    ）

A.  B.

C. ， D. ，

【答案】ABC

【解析】

【分析】先判断两个条件分别确定函数为增函数，函数的图象是上凸函数，由此依次判断四个选项即可．

【详解】解：因为对定义域内任意不相等的实数，恒有（a）（b），

所以是增函数，

因为对定义域内任意两个实数，都有成立，

所以为上凸函数，

对于，函数是增函数，且成立，所以函数为函数，故选项正确；

对于，函数是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为函数，故选项正确；

对于，函数，是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为函数，故选项正确；

对于，函数，是增函数，但是函数的图象是下凹函数，所以函数不是函数，故选项错误．

故选：．

12. 已知（常数），则（    ）

A. 当时，在R上是减函数

B. 当时，没有最小值

C. 当时，的值域为

D. 当时，，，有

【答案】BD

【解析】

【分析】对A，比较时两段的值可判断；对B，分别判断和时函数单调性即可得出；对C，根据单调性求出值域即可判断；对D，求出和时范围即可得出.

【详解】对于A，当时，，，所以在R上不是减函数，A错误．

对于B，当时，在上是减函数，无最小值，又在上是减函数，也无最小值，因此无最小值；当时，在上是增函数，，但，所以无最小值．

综上，当时，无最小值，B正确．

对于C，当时，，当时，由，得是增函数，所以，所以的值域是，C错误．

对于D，当时，由，得，所以．而当时，，，因此，，使得，即，D正确．

故选：BD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知函数，且，则________．

【答案】1

【解析】

【分析】把变换成是本题关键点.

【详解】由可得，即

故

故答案为：1

14. 若非空且互不相等的集合，，满足：，，则________．

【答案】

【解析】

【分析】推导出，，由此能求出．

【详解】解：非空且互不相等的集合，，满足：，，

，，

．

故答案为：．

15. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳水费60元，则该月用水量_______m3．

【答案】16

【解析】

【分析】

由表格列出分段函数，再将水费代入求解对应用水量即可

【详解】设用数量为，交纳水费为，由题可知，当时，解得，

故答案为：16

【点睛】本题考查实际问题中函数模型的应用，属于基础题

16. 设函数

①若且，使得成立，则实数的取值范围是______.

②若函数为上的单调函数，则实数的取值范围是______.

【答案】    ①.     ②. 或

【解析】

【分析】

①由知，函数关于直线对称，结合图像可知的取值范围；

②在上单增，在R上单增，结合图像知，或者

【详解】①由知，函数关于直线对称，

又二次函数，开口向下，对称轴为，结合图像：

由，使得，知

②在上单增，在R上单增，结合图像知，或

【点睛】结论点睛：函数对称性常用结论：

（1）函数满足，则函数图像关于直线对称；

（2）函数满足，则函数图像关于点中心对称；

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设全集，集合，．

（1）若，求；

（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出，利用交集与补集运算得到结果；

（2）根据条件确定集合中的唯一整数为，列不等式求解．

【小问1详解】

，当时，，

，

；

【小问2详解】

因为，，

又中只有一个整数，所以这个整数必定是，

故，，

所以，．

18. 已知,,不等式的解集为.

（1）求实数m,n的值；

（2）正实数a,b满足,求的最小值.

【答案】（1）（2）最小值为9.

【解析】

【分析】（1）根据韦达定理解方程组即可.

（2）由题意将化为.利用”乘法则”和基本不等式,最后验证的情况即可.

【详解】解：（1）由题意可知：和n是方程的两个根,

∴

解得

（2）由题意和（1）可得：,即.

∴,

∵,,∴,.

∴

当且仅当,即,时等号成立.

∴最小值为9.

【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解求参数,考查基本不等式求函数的极小值,要注意”一正二定三相等”.

19. 已知定义在上的奇函数，当时，．

（1）求函数在上的解析式；

（2）画出函数的简图；

（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）.

【解析】

【分析】（1）根据为奇函数，所以时有，代入即可得时的解析式，由奇函数性质，即得解；

（2）分段画出函数图象即可；

（3）结合的图象知，解不等式即可

【详解】（1）设，，

则，

又为奇函数，所以，

于是时，

所以．

（2）函数的简图如下图所示：

（3）要使在上单调递增，

结合的图象知，

所以，

故实数的取值范围是．

20. 经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.

（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；

（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？

【答案】（1），；（2），

【解析】

【分析】(1)根据题中数据求出，，，得到，再将代入即可得出结果；

(2)根据基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件，即可得出结果.

【详解】(1)因为年存储成本费（元）关于每次订货（单位）的函数关系，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费.

由题意可得：，，，

所以存储成本费，

若该化工厂每次订购300吨甲醇，

所以年存储成本费为；

(2)因为存储成本费，，

所以，

当且仅当，即时，取等号；

所以每次需订购吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为.

【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可求解，属于常考题型.

21. 已知函数，，从下面三个条件中任选一个条件，求出，的值，并解答后面的问题．（注：若选择多于一个，则按照第一个选择进行计分）

①已知函数，满足；

②已知函数在上的值域为；

③已知函数，若在定义域上为偶函数．

（1）判断在上的单调性；

（2）解不等式．

【答案】（1）在上单调递增，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据条件求出，，然后根据单调性的定义进行证明即可．

（2）结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．

【小问1详解】

①已知函数，

若满足；

则关于点成中心对称，

即，．

②已知函数在，上的值域为，；

若，则，两式作差得，得或（舍，此时，

若，则，两式作差得，此时无解

③已知函数，若在定义域，上为偶函数．

则，得，

是偶函数，关于轴对称，则关于对称，即，得，

综上①②③得答案相同，都为，，

由①或②或③得，，

任取，且，

则，

，则，

，即，

则在上单调递增；

【小问2详解】

因为，则为奇函数．

由即

又因为在上单调递增，则，解得．

所以原不等式的解集为．

22. ，.

（1）若为奇函数，求的取值范围.

（2）当时，，，若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）由于为上的奇函数，所以，从而可求出的值；

（2）由题意可得，可得则在上单调递减，上单调递增，上单调递减，从而可求出，即，当时，，然后分和讨论，即可求得结果

详解】（1）依题意：，

当时，为奇函数，故.

（2）.

当时，，则上单调递减，上单调递增，上单调递减，当，，故；

当时，，

∵，∴.

当，即时，；

当，即时，，

综上：.

【点睛】关键点点睛：此题考查奇函数的应用，考查二次函数的值域的求法，解题的关键是先利用函数的单调性求出，再分，两种情况求的取值范围，考查分类讨论思想和计算能力，属于中档题