2021-2022学年山东省烟台市莱阳市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省烟台市莱阳市第一中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】化简集合，求出补集，再根据交集的概念运算求解可得结果.

【详解】，或，

所以.

故选：B

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】由全称命题的否定变换形式即可得出结果.

【详解】命题“，” 的否定是

，.

故选：C

3．若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】D

【分析】根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．

【详解】∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，

∴0＜cosx≤1，

又sinx＜0，

∴角x为第四象限角，

故选D．

【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．

4．已知幂函数的图象过点，，，则m与n的大小关系为（    ）

A． B． C． D．不等确定

【答案】B

【分析】根据给定条件求出幂函数的解析式，再借助的单调性即可判断作答.

【详解】依题意，设，由得：，解得，则有，且在上单调递增，

又在上单调递增，即，因此有，则，B正确.

故选：B

5．函数的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先求函数定义域得，再根据定义域分，，三种情况分别讨论即可得答案.

【详解】解：函数的定义域为：，

当时，函数，故排除CD选项；

当时，，故函数，故排除B选项；

当时，函数，该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到.

故选：A.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6．在中，且，则等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】在中， ，再利用两角和的余弦公式展开计算即可.

【详解】解：∵在中，，

∴，又，，

∴，，

∴

.

故选：B.

【点睛】本题考查两角和的余弦公式、同角三角函数关系、诱导公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

7．已知函数，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，可得出，令，证明出函数在上为减函数，在上为增函数，由此可求得函数在区间上的最大值，即为所求.

【详解】令，则，则，

令，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数，

任取、且，则，

，则，，，，

所以，函数在区间上为减函数，

同理可证函数在区间上为增函数，

，，.

因此，函数的最大值为.

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求函数最值的基本步骤如下：

（1）判断或证明函数在区间上的单调性；

（2）利用函数的单调性求得函数在区间上的最值.

8．已知定义在R上的函数y＝f(x)对于任意的x都满足f(x＋1)＝－f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝x3，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是(　　)

A．∪(5，＋∞) B． ∪

C． ∪(5，7) D． ∪[5，7)

【答案】A

【详解】由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋1)＝－f(x＋2)，

因此f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．

函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点可转化成y＝f(x)与h(x)＝loga|x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a进行分类讨论．若a＞1，则h(5)＝loga5＜1，即a＞5.

若0＜a＜1，则h(－5)＝loga5≥－1，即0＜a≤.

所以a的取值范围是∪(5，＋∞)．故选A.

点睛：

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

二、多选题

9．以下四个选项表述正确的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】利用元素集合的关系判断得错误，正确.

【详解】，所以该选项错误；

空集是任何集合的子集，所以该选项正确；

由子集的定义得，所以该选项正确；

是一个集合，它和之间不能用连接，所以该选项错误.

故选：BC

10．下列不等式中正确的是（    ）

A．已知，则有 B．已知，，，则

C．已知，则 D．已知，，则

【答案】AD

【分析】由不等式的性质和基本不等式即可较易得出判断.

【详解】因为，所以有：，所以：，又：，所以：，所以：，所以A正确；

因为，所以有：，所以：，所以：，又，所以：，所以B错误；

因为，，当时，成立，当时，，所以C错误；

因为，，所以有：，，所以，

即：，，所以：，即：，所以D正确.

故选：AD.

11．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学(一个数学分支)里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ）

A． B．，

C． D．

【答案】BD

【解析】对于ABC：通过解方程可得答案；对于D，通过作出两个函数的图象可得答案.

【详解】四个选项中的函数的图象显然都是连续不断的，

对于A：当时，该方程无解，故A不满足；

对于B：当，时，解得，故B满足；

对于C：当，即时，无实数根，故C不满足；

对于D；画出与的图象显然有交点，即存在一个点，使得，故D满足；

综上，BD均满足.

故选：BD

【点睛】关键点点睛：利用“不动点”函数的定义求解是解题关键.

12．已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论正确的是（    ）

A．为奇函数

B．若的一个零点为，且，则

C．在区间的零点个数为3个

D．若大于1的零点从小到大依次为，则

【答案】ABD

【分析】运用奇函数的定义和诱导公式可判断A；由零点的定义和同角三角函数关系可判断B；由零点的定义和图象的交点个数，可判断C；由时，和的图象，结合正切函数的性质，可判断D.

【详解】因为，

所以函数为奇函数，故A正确；假设，即，时，

，

所以当，时，，

当，时，，

当，，则，由于的一个零点为，则，故B正确；

如图：

当时，令，，则大于0的零点为，，的交点，由图可知，函数在区间的零点有2个，由于函数为奇函数，则函数在区间的零点有1个，并且，所以函数在区间的零点个数为4个，故C错误；

由图可知，大于1的零点，，，所以，

而，故推出，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若，则______．

【答案】

【分析】由于，然后代值计算即可

【详解】因为，

所以

，

故答案为：

14．已知R+,且则的最大值为_______.

【答案】9

【解析】将展开化为，利用基本不等式即可求解.

【详解】且R+,

，

当且仅当时取等号，故的最大值为9.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，在运用基本不等式时注意验证等号成立的条件，此题属于基础题.

15．如图，在中， ，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=________.

【答案】

【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中， ， ，面积为，由题意得，∴，∴，故答案为.

点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出与的关系，即可得出结论.

四、双空题

16．已知函数，则f(6)=________；若方程在区间有三个不等实根，实数a的取值范围为________.

【答案】     8    

【解析】（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解．

（2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出的取值范围．

【详解】解：因为

作出函数在区间上的图象如图：

设直线，要使在区间上有3个不等实根，

即函数与在区间上有3个交点，

由图象可知或

所以实数的取值范围是

故答案为：8；．

【点睛】本题考查了分段函数求值、根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题．

五、解答题

17．求值：

(1)；

(2).

【答案】(1)112

(2)3

【分析】（1）依据幂的运算性质即可解决；

（2）依据对数的运算性质及换底公式即可解决.

【详解】（1）

（2）

18．已知函数的定义域是.

（1）当时，求函数的值域；

（2）设，，都有，若是的充分不必要条件，写一个满足题意的集合并说明理由.

【答案】（1）；（2）(答案不唯一)，理由见解析.

【解析】（1）利用二次函数的知识求出答案即可；

（2）求出，都有的充要条件，然后可得答案.

【详解】当时，，

所以，

所以值域是.

（2）据题意使“，都有”为真命题的充要条件是，

即有，其解集是，

故使是的充分不必要条件的集合可以是.

19．已知函数为奇函数，.

(1)求的值；

(2)判断函数的单调性；

(3)若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)在R上是增函数

(3)

【分析】（1）根据奇函数性质可得，，代入即可得到的值；

（2）利用单调性的定义证明，任取，设，然后，再分析判断其符号即可；

（3）利用奇函数性质可推得，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在上恒成立的问题，求解即可.

【详解】（1）函数定义域为.因为函数为奇函数，

所以有，即.

又，

则，

所以，.

（2）由（1）知，.

任取，不妨设 ，

，

∵，∴，∴.

又，，

∴，

即，

∴函数是上的增函数.

（3）因为，函数为奇函数，

所以等价于，

∵是上的单调增函数，

∴，即恒成立，

∴，

解得.

20．已知函数在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和m值的两个条件作为已知．

条件①：的最小正周期为；

条件②：的最大值与最小值之和为0；

条件③：．

(1)求的值；

(2)若函数在区间上是增函数，求实数a的最大值．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）先由三个条件得出结果，再选择条件即可求出；

（2）根据正弦函数的单调性即可列出式子求解.

【详解】（1）若选择条件①，则，故可得；

若选择条件②，则，故可得；

若选择条件③，则，故可得；

根据题意，只能选择①②或①③作为已知条件．

若选择①②，则，此时；

若选择①③，则，此时．

（2）根据（1）中所求，不论选择①②还是①③，，

又其单调性与相同，

故函数在区间上是增函数，可转化为在上是增函数．

又当，，

要满足题意，只需，

故可得，即实数a的最大值为．

21．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万美元，且当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.

（1）写出年利润(万美元)关于年产量(万部)的函数解析式：

（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.

【答案】（1）；（2）32万部，最大值为6104万美元.

【解析】（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得，然后由，将代入即可.

（2）当时利用二次函数的性质求解；当时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.

【详解】（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.

所以，

解得，

当时， ，

当时， .

所以

（2）①当时， ，所以；

②当时， ，由于，

当且仅当，即时，取等号，所以此时的最大值为5760.

综合①②知，当，取得最大值为6104万美元.

【点睛】思路点睛：应用题的基本解题步骤：

（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；

（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；

（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．

22．已知函数，，当时，恒有．

（1）求的表达式及定义域；

（2）若方程有解，求实数的取值范围；

（3）若方程的解集为，求实数的取值范围．

【答案】（1），；（2）；（3）．

【分析】（1）由已知中函数，，当时，恒有，我们可以构造一个关于方程组，解方程组求出的值，进而得到的表达式；

（2）转化为，解得，可求出满足条件的实数的取值范围.

（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程

的解集为，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.

【详解】（1）∵当时，．

，

即，

即，．

整理得恒成立，∴，

又，即，从而．

∴，

∵，∴，或，

∴的定义域为．

（2）方程有解，即，

∴，∴，∴，

∴，或，

解得或，

∴实数的取值范围．

（3）方程的解集为，

∴，∴，

∴，

方程的解集为，故有两种情况：

①方程无解，即，得，

②方程有解，

两根均在内，，

则解得．

综合①②得实数的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.