2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二分层班下学期第二次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县育才学校高二分层班下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．如图，九连环是中国从古至今广为流传的一种益智玩具．在某种玩法中，按一定规则移动圆环，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，数列满足，且，则解下5个环所需的最少移动次数为（    ）

A．5 B．10 C．21 D．42

【答案】C

【分析】根据已知的数列递推公式，得到与的等量关系，即可计算出解下个圆环需最少移动的次数.

【详解】由，，

得．

故选：C．

2．已知数列的前项和为，且满足，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】首先通过列举数列的项，得到数列是周期数列，利用周期判断选项.

【详解】，，，，……

所以数列是以3为周期的周期数列，前三项和，

，，所以，

，，所以.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据递推公式，列举数列中的项，判断数列是周期数列.

3．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为（   ）

A．0 B．37

C．100 D．－37

【答案】C

【分析】根据等差数列的定义可得数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.由已知求得首项和公差，可得选项.

【详解】设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，

所以数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d1＋d2.

又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{an＋bn}为常数列，所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.

故选：C.

4．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（    ）

A．小寒比大寒的晷长长一尺

B．春分和秋分两个节气的晷长相同

C．小雪的晷长为一丈五寸

D．立春的晷长比立秋的晷长长

【答案】C

【分析】先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列的公差和冬至到夏至的晷长构成等差数列的公差，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误，即得结果.

【详解】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）；

同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，首项，末项，公差（单位都为寸）.

故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；

春分的晷长为，，

秋分的晷长为，，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；

小雪的晷长为，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；

立春的晷长，立秋的晷长分别为，，

，，，

故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：

本题的解题关键在于看懂题意，二十四节气的晷长变化形成两个等差数列，即结合等差数列项的计算突破难点.

5．数列满足，则“ ”是“数列成等比数列”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据充分必要条件的定义和等比数列的定义判断．

【详解】时，由得，，，，所以是等比数列，充分性满足；

反之若是等比数列，则，，也成等比数列，所以，即，又，所以，此时，满足题意，必要性也满足，

应为充要条件．

故选：C．

【点睛】关键点点睛：本题考查充分必要条件的判断，考查等比数列的判断，掌握充分必要条件和等比数列的定义是解题关键．解题方法是充分性与必要性分别进行判断，充分性只要把代入计算求出即可判断，而必要性需由数列是等比数列求出参数，因此可由开始的3项成等比数列求出，然后再检验对数列是等比数列即可．

6．已知，，均为正数，若，，，成等比数列，且公比为，则（    ）

A．0 B．1 C．3 D．不确定

【答案】B

【解析】根据等比数列的定义列式可解得结果.

【详解】依题意，有.

故选：B

7．若函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则（    ）

A． B．

C． D．与的大小关系与的取值有关

【答案】A

【分析】直接代入函数平均变化率公式进行化简得到，表达式，由题意知，即可得判断，大小关系.

【详解】，．

由题意知，所以，

故选：A．

8．函数的图象如下图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意结合平均变化率的概念即可得解.

【详解】函数在区间上的平均变化率为，

由函数图象可得，在区间上，即函数在区间上的平均变化率小于0；

在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大.

所以函数在区间上的平均变化率最大.

故选：C.

【点睛】本题考查了平均变化率的概念，关键是对知识点的准确掌握，属于基础题.

9．定义在区间上的函数，其图象是连续不断的，若，使得，则称为函数在区间以上的“中值点”．则下列函数：①；②；③；④中，在区间上至少有两个“中值点”的函数是（    ）

A．①④ B．①③ C．②④ D．②③

【答案】A

【分析】由题意函数在区间上存在一点，使得函数在此处的切线的斜率等于，两点所在直线的斜率，判断各项是否符合要求即可．

【详解】①，而显然成立，故有无数个“中值点”，符合题设；

②，而，故有且只有一个“中值点”，不合题设；

③，而，故有且只有一个“中值点”，不合题设；

④，而，故有两个“中值点”，符合题设；

故选:A．

10．函数在处的导数的几何意义是（    ）

A．在点处与的图象只有一个交点的直线的斜率

B．过点的切线的斜率

C．点与点的连线的斜率

D．函数的图象在点处的切线的斜率

【答案】D

【解析】由导数的几何意义即可求解.

【详解】解：的几何意义是函数的图象在点处的切线的斜率．

故选：D.

11．如图，函数的图象在P点处的切线方程是,若点的横坐标是5，则 (　　)

A． B．1 C．2 D．0

【答案】C

【详解】试题分析：函数的图象在点P处的切线方程是，所以，在P处的导数值为切线的斜率，2，故选C．

【解析】本题主要考查导数的几何意义．

点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值．

12．已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率

B．在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率

C．对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率

D．存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率

【答案】D

【解析】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断.

【详解】解：∵在a到b之间的平均变化率是，

在a到b之间的平均变化率是，

又，，

∴，

∴A、B错误；

易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数，

即函数在该点处的切线的斜率，

同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，

即函数在该点处的切线的斜率，

由题中图象可知：

时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确．

故选：D．

二、填空题

13．若，则________.

【答案】6.

【解析】根据导数的极限定义即可求解

【详解】.

故答案为：6

【点睛】本题主要考查了导数的定义，属于容易题.

14．如图所示的图形是由一连串直角三角形拼合而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为______．

【答案】

【分析】由勾股定理易得.

【详解】因为，，，…，，

所以，，，…，．

故答案为：.

15．已知函数，数列是公差为2的等差数列，且，若，则__________．

【答案】21

【分析】根据题意可得，由数列是公差为2的等差数列可得是以的等比数列，由，带入即可得解.

【详解】，

所以，

所以是以的等比数列，

，

故答案为：21.

16．已知，则满足的正数的值为______．

【答案】

【分析】由导数的定义求两函数在处的导数值，然后利用题目给定的等式建立关于的方程，即可求出正数的值.

【详解】由导数的定义知，，．

∵，

∴，即，解得（舍去）或．

故答案为：

三、解答题

17．已知数列中，a1=1，其前n项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，若数列为递增数列，求λ的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）项和转换可得，继而得到，可得解；

（2）代入可得，由数列为递增数列可得，，令，可证明为递增数列，即，即得解

【详解】（1）∵，

∴，

∴，

即，∴，

∴，

∴．

（2）．

=2·-λ（2n+1）．

∵数列为递增数列，

∴，即．

令，

即．

∴为递增数列，∴，

即的取值范围为．

【点睛】本题考查了数列综合问题，考查了项和转换，数列的单调性，最值等知识点，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

18．已知曲线上一点，过点作直线．

（1）求与曲线相切且以为切点的直线的方程；

（2）求与曲线相切且切点异于点的直线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）利用导数的定义求的导函数，进而求出点处的斜率，写出切线方程.

（2）设切点为，由（1）所得导函数求斜率，写出含参的切线方程，由点在切线上求参数，即可写出切线方程.

【详解】（1），

当时，，

∴，则与曲线相切且以为切点的直线的斜率，

∴所求直线的方程为．

（2）设切点坐标为，则由（1）知直线的斜率，

∴直线的方程为，又直线过点，

∴，解得（舍去）或．

∴所求直线的斜率的，故直线的方程为，即．

19．已知数列满足：，．

（1）求证数列是等比数列；

（2）若数列满足，求的最大值．

【答案】（1）证明见解析；（2）2．

【分析】（1）利用等比数列的定义证明；

（2）先求出数列的通项公式，再利用判断出单调递减，求出的最大值．

【详解】（1）因为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，

所以数列是等比数列．

（2）由（1）得，

所以．

因为

，

所以，所以单调递减，

所以的最大值为．

【点睛】(1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；

(2)判断数列单调性的方法：①比较法；②函数单调性法．

20．某学校餐厅每天供应名学生用餐，每星期一有、两种菜可供选择.调查表明，凡是在这星期一选菜的学生，下星期一会有改选菜；而这星期一选菜的学生，下星期一会有改选菜.用、分别表示第个星期一选菜的人数和选菜的人数.

（1）试用（且）表示，并判断数列是否为等比数列，请说明理由；

（2）若第个星期一选菜的有名学生，则第个星期一选菜的大约有多少名学生？

【答案】（1）答案见解析；（2）第个星期一选菜的大约有名学生.

【分析】（1）根据已知条件可得出，整理得出，分、两种情况讨论，结合等比数列的定义可得出结论；

（2）根据（1）中的结论可求得数列的通项公式，即可求得的值.

【详解】（1）由题意，知对有，

所以当且时，，所以，

所以，

所以当时，数列不是等比数列，

当时，数列是以为首项，为公比的等比数列；

（2）由（1）知当时，，

所以，所以，

所以第个星期一选菜的大约有名学生.

21．已知数列的前项和满足：

（1）求证：数列是等比数列并写出的通项公式；

（2）设如果对任意正整数，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析，；（2）.

【分析】（1）由题设得且，即可得，等比数列得证，写出通项公式.

（2）由（1）得，则有，即可判断的最大项，而对任意正整数，都有，即为，进而求的范围.

【详解】（1）当时，，即，

当时，，即，

∴，而，即是首项为，公比为的等比数列，

∴，故.

（2）由（1）知：，

∴，

当时，；当时，；当时，，

∴，即.

∴对任意正整数，都有，即，

∴恒成立，得或，即.

【点睛】关键点点睛：

（1）通过构造的形式，根据定义证明等比数列，写出通项公式.

（2）利用的通项，结合的符号确定最大项，要使对任意正整数，都有，即恒成立，求参数范围.

22．已知曲线.

（1）求该曲线斜率为-3的切线方程；

（2）当曲线的切线斜率最大时，切点为，过点作直线与轴、轴的正半轴交于两点，求面积的最小值.

【答案】（1）或.（2）

【分析】（1）先对函数求导，再令导函数等于-3即可求出切点坐标，进而可求切线方程；

（2）先由切线斜率取最大时，求出切点坐标，再设出两点坐标，得到直线的截距式方程，将切点坐标代入直线方程，结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）由，得，

，解得或.

当时，；当时，.

∴切线方程为或，

即或.

（2）∵，

∴当时，切线的斜率取得最大值1，此时，

即点坐标为.

由题意，设，（，），则直线的方程为.

∴.

∴ ，

当且仅当，即时取“”号.

将代入，解得，.

∴直线的方程为，即时，面积的最小值为.

【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，根据导数的方法求曲线的切线方程，由切线斜率求切点坐标，属于基础题型.