河北省邯郸市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份河北省邯郸市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据集合的交集运算即可得到答案.
【详解】集合，集合，则.
故选：A
2. 命题“，使”否定是（ ）
A. “，使”B. “，使”
C. “，使”D. “，使”
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.
【详解】命题“，使”的否定是“，使”，
故选：D
3. 下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据两个函数表示同一个函数的条件，即函数三要素都相同，逐个选项判断即可．
【详解】对于选项A，，，
两个函数的对应关系不同，不是同一个函数；
对于选项B，的定义域为R，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项C，，利用诱导公式可得到，两个函数不是同一个函数；
对于选项D，，利用诱导公式可得到，
对应法则相同，且定义域、值域也相同，故两个函数是同一个函数，
故选：D．
4. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的零点存在定理，结合函数的单调性逐个选项判断即可得到答案．
【详解】易知在R上单调递减，
又因为，
∴函数零点所在的一个区间是，
故选：B．
5. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值及函数值的情况判断即可.
【详解】对任意的，，故函数的定义域为R，
又因为，所以为奇函数，故A、C错误；
当时，，故B错误；
故选：D．
6. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定，，，代入计算得到答案.
【详解】，故，又，，
，
故选：C
7. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性可判断，利用指对互化以及幂函数的单调性可判断，进而可求解.
【详解】∵，∴，又，，∵为 的增函数，∴，∴，
故选：A．
8. 已知函数，若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数零点与方程的根的关系，解方程和函数作图，利用数形结合运算求解即可．
【详解】由已知得，
所以或，作出函数的图象，
得的图象与直线恰有2个交点，
所以由题意知直线与的图象没有交点，所以或，
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式，结合选项即可逐一求解.
【详解】对于A，因为，所以，所以，当且仅当取等号，故A正确；
对于B，因为，当且仅当取等号，故B不正确；
对于C，因为，当且仅当取等号，故C不正确；
对于D，因为，当且仅当取等号，故D正确．
故选:AD．
10. 已知函数，则下列结论正确是（ ）
A. π为函数的最小正周期
B. 点是函数图象的一个对称中心
C. 函数在上单调递增
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据型函数的周期、对称中心、对称轴、单调性等基础知识，逐个选项判断即可得到答案．
【详解】由题可知，的最小正周期为，故A正确；
因为．故B正确；
因为，故可得，故C正确；
因为，故D错误．
故选：ABC．
11. 下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用奇函数定义、函数的单调性逐项判断可得答案.
【详解】对于A，，因为，所以为奇函数，
且单调递增函数，所以单调递增函数，故A正确；
对于B，的定义域为，因为，
所以为奇函数，且单调递增区间为，所以在整个定义域上不单调，故B错误；
对于C，的定义域为，因为，
所以为奇函数，因为为增函数，所以为增函数，故C正确；
对于D，的定义域为，因为，所以为奇函数，因为在上不单调，故D错误．
故选：AC．
12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，的值域为
B. 当时，的单调递减区间为
C. t取任意实数时，均有的图象关于直线对称
D. 若的定义域为全体实数，则实数t的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据，可求的值域，即可判断A,根据复合函数的单调性即可判断B，根据二次函数的对称性即可判断C，根据判别式小于0即可判断D.
【详解】对于A，当时,，故的值域为,故A错误；
对于B，当时，，此时定义域为，令，
由于在单调递减，为定义域内的增函数，由复合函数单调性满足“同增异减”的判断方法得，的单调递减区间为，故B正确；
对于C，真数关于对称，故C正确；
对于D，若的定义域为全体实数，则在R上恒成立，即，则，故D错误．
故：BC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分．
13. 已知点在幂函数的图象上，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用待定系数法，求得函数解析式，根据幂的运算，可得答案.
【详解】设幂函数（α为常数），∴，∴，∴，．
故答案为：.
14. 若不等式的解集为，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】根据一元二次不等式与方程解的关系，列出等式即可求解.
【详解】由题意得，是方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：5.
15. 已知角θ的终边经过点，则______，______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】根据任意角的三角函数的定义、同角三角函数基本关系式，直接运算即可．
【详解】∵角θ的终边经过点，∴；
∴．
故答案为：① ②．
16. 已知为定义在R上的偶函数，当时，函数单调递减，且，则的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据的性质可作出的图象，根据平移可得的图象，结合图象即可求解.
【详解】由题意知函数在上单调递增且为偶函数，由得，作出的图象并向左平移一个单位，所以 ，或 ．故的解集为．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）
（2）
【答案】（1）5 ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据指数的运算性质计算即可；
（2）根据对数的运算性质计算即可
详解】（1）原式．
（2）原式．
18. 非空集合，．
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式化简集合,即可根据集合的交并补运算进行求解，
（2）根据充分不必要条件转化成集合的包含关系，即可列不等式求解.
【小问1详解】
∵，∴，，
∴ ．
【小问2详解】
由题意知，
∴
∴，
∴实数a的取值范围为．
19. 已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求实数a的值，并判断函数的单调性；
（2）求函数的值域．
【答案】（1），函数为增函数
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数为R上的奇函数可得，即可求出，再利用定义法即可判断函数的单调性；
（2）先由得，从而可求得的范围，进而可得函数的值域.
【小问1详解】
由题可知，函数是定义在R上的奇函数，
∴，即，
经检验时，为奇函数，则，
令，
则，
∵为增函数，，
∴，
∴，即
∴函数为增函数；
【小问2详解】
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴函数的值域为．
20. 2022年10月16日，习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会土的报告中，提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标，国内某企业为响应这一号召，计划在2023年投资新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入做定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本万元，且由市场调研知每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
（1）试写出2023年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式；
（2）当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000（万元）
【解析】
【分析】（1）根据利润=销售额-成本，可得出2023年利润L（万元）关于年产量x（千部）的函数解析式；
（2）分别求出分段函数两个范围的最大值，再比较大小即可得到企业所获最大利润．
【小问1详解】
根据利润=销售额-成本，可得
当时，
当时，
，
故；
【小问2详解】
由（1）可知，
，
当时，，
当时，
当时，，
当且仅当，即时，，
，产量为（千部）时，企业所获利润最大，
最大利润是9000（万元）.
21. 已知函数．
（1）求函数的最大值及取得最大值时x的所有取值；
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来2的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若存在，使得等式成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）最大值为，取得最大值时x的所有取值为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换及辅助角公式可得，再由的性质求解即可；
（2）通过图象变换可得，把所求问题转化为函数的值域问题，再由的范围求出的范围，从而可得的范围，即可求出m的范围．
【小问1详解】
因为，
所以函数的最大值为．
令．
所以函数取得最大值时x的所有取值为．
【小问2详解】
由题意得，
因为，所以，所以，
故实数m的取值范围为．
22. 已知函数在区间上的最大值为2，最小值为 ．
（1）求实数a，b的值；
（2）若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）换元，转化成关于 的二次函数，利用二次函数的单调性即可求解.
（2）换元成关于 的二次函数，利用参数分离，求解函数的最大值即可.
【小问1详解】
,令，设，，
∵，对称轴为，∴在上单调递增，
则 即 解得，
∴实数a的值为1，b的值为0．
【小问2详解】
由，得，
令，则，，
当时，恒成立，即；
当时，，
令，则只需，
由于均为上的单调递增函数，所以，在上单调递增，
∴，∴，
综上，实数k的取值范围为．