2021-2022学年上海市行知中学高一下学期3月月考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年上海市行知中学高一下学期3月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市行知中学高一下学期3月月考数学试题 一、填空题1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，若点的坐标为，则__．【答案】##【分析】先利用角的终边定义三角函数值，然后再利用二倍角公式即可.【详解】由题令，则所以，，所以．故答案为：.2．已知扇形的周长为8，中心角为2弧度，则该扇形的面积为___________.【答案】4【分析】设出扇形半径和弧长，列出方程组，求出，，进而求出扇形面积.【详解】设扇形半径为，弧长为，则由题意得：，解得：，，所以该扇形的面积为故答案为：43．已知，,则________.【答案】【分析】由，再结合两角差的正切公式求解即可.【详解】解：因为，,又，所以=，故答案为.【点睛】本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题.4．函数的最大值为__．【答案】9【分析】运用二倍角公式和诱导公式转化为二次函数求解【详解】，因为，所以当时，取到最大值为9．故答案为：95．已知菱形，若，，则向量在上的投影为_______.【答案】【分析】根据菱形中向量关系，求向量模长，再根据投影公式求投影.【详解】菱形ABCD中，，向量在上的投影故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量解决平面几何问题，以及投影公式.6．给出下列六种图象变换的方法：①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的；②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍；③图象向右平移个单位长度；④图象向左平移个单位长度；⑤图象向右平移个单位长度；⑥图象向左平移个单位长度.请用上述变换中的两种变换，将函数的图象变换为函数的图象，那么这两种变换正确的标号是__________.（按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可）【答案】④②或②⑥【分析】可将函数按照“先平移，后伸缩”和“先伸缩，后平移”两类，按照伸缩规则和平移规则得到，得到答案.【详解】按“先平移，后伸缩”得的图像的图像的图像，按“先伸缩，后平移”得的图像的图像的图像.故答案为④②或②⑥【点睛】本题考查正弦型函数的伸缩变换和平移变换，属于简单题.7．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是__．【答案】．【分析】利用整体代换法求出函数的增区间，然后根据题意分析建立不等式组解出即可.【详解】由，得，即函数的单调增区间为，因为在是增函数，所以区间过原点，且所以时，的增区间为，则满足，即，所以实数的取值范围是故答案为：.8．若关于的不等式对任意恒成立，则所有满足条件的实数的取值构成的集合为__．【答案】,【分析】对二次项系数进行讨论，分成与两种情况，当时，考虑二次函数的开口方向及一元二次方程根的判别式情况.【详解】当时，，不等式化简为，不恒成立，舍去，当时，则，即解得，则满足条件的实数的取值取值构成的集合为,．故答案为：,.9．在中，，三角形面积满足，则与的夹角的范围________.【答案】【分析】由得到，由得到，从而得到的范围，从而得到的范围【详解】因为在中，，所以，即因为三角形面积满足，所以，所以得到，又因，所以故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积，三角形面积公式，属于中档题.10．若在上是严格减函数，则实数的取值范围是__．【答案】【分析】根据分段函数在上是严格减函数，要求每一段函数是严格减函数，且当时分别代入两段函数，左边界函数值大于等于右边界的函数值.【详解】已知函数在上是严格减函数，则在区间上是严格减函数，且在区间上是严格减函数，且当时分别代入两段函数，左边界函数值大于等于右边界的函数值.则，所以．故答案为：.11．已知函数的定义域为R，且，当时，．若存在，使得，则m的取值范围为___________．【答案】【解析】由题意分段求出解析式，画出图象后数形结合即可得解.【详解】且当时，，当时，，不合题意；当时，，当时，，当时，，作出函数图象，如图：当时，令得或，若存在，使得，则.故答案为：.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了函数解析式的求解和数形结合思想，属于中档题.12．对任意闭区间，用表示函数在上的最大值，若有且仅有一个正数使得成立，则实数的取值范围是_________.【答案】【分析】讨论的范围得出的表达式，求出的值域即可.【详解】①当时，，由，得，所以，此时，即，则，即；②当时，，由，得，此时，即； ③当时，，由，得，所以，此时，则，即；④当时，，则，由，得不成立，此时不存在；⑤当时，，由，得，所以，此时，则，即；⑥当时，，由，得，综上，由有且仅有一个正数使得成立，实数的取值范围是.【点睛】本题考查三角函数最值的求解，解题的关键是分段讨论的范围，根据的不同取值范围得出的表达式，再利用三角函数的性质求解. 二、单选题13．设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（    ）A． B．或C． D．【答案】D【分析】根据相等向量的定义，结合单位向量的定义逐一判断即可.【详解】两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项AB不正确；题中没有明确向量模的大小关系，所以选项C不正确；因为分别是的单位向量，所以，故选：D14．，已知函数恰有五个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数的零点转化为两个函数的交点，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】由题意得可转化为与恰有五个交点，当时，单调递减，且当时，，而函数，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以此时两个函数图象不可能有5个交点，当时，如图所示：如图所示，需满足，所以，故选：B15．下列命题正确的个数为（    ）（1）函数在定义域内单调递增；（2）函数是周期函数，且最小正周期为；（3）函数的一条对称轴为；（4）函数的最小正周期为的充要条件是．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】（1）利用正切函数的单调性进行说明即可；（2）结合的最小正周期即可；（3）令解出即可；（4）利用三角函数的性质及充要条件判断.【详解】（1）函数在单调递增，不能说在它的定义域上单调递增故（1）错误；（2）函数是周期函数，且最小正周期为，故（2）错误；（3）由，当时，，所以函数的一条对称轴为，符合题意，故（3）正确；（4）由所以函数的最小正周期为的充要条件是，故（4）错误；故选：A.16．设函数的最大值为，最小值为，则与满足的关系是A． B．C． D．【答案】B【解析】将函数化为一个常数函数与一个奇函数的和，再利用奇函数的对称性可得答案.【详解】因为 ，令，则，所以为奇函数，所以，所以，故选：B【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，考查了奇函数的对称性的应用，属于中档题. 三、解答题17．函数的定义域为，函数．(1)求的值；(2)若在上为严格增函数，解关于的不等式．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用定义域与不等式的关系，结合根与系数的关系进行求解；（2）先利用单调性求出，再利用指数函数的单调性进行求解.【详解】（1）由题意得，即的定义域为，则，所以；（2）因为函数在上递增，则，所以，原不等式等价于，解得或，综上，关于的不等式的解集为．18．设函数部分图像如图所示．(1)求；(2)求函数的单调递减区间．【答案】(1)，，(2)． 【分析】（1）利用最低点的值找到的值，由图像得，从而取出周期，进而求出，将图像上的点代入表达式中，结合题目所给即可求出的值；（2）先求出函数的单调递减区间，根据所给的区间分析求得函数的单调递减区间.【详解】（1）由题意得，则周期为，则，所以，将代入得，所以，即，由可得，则；（2），令，得，令，则，因为， 所以单调递减区间为．19．如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．（1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？【答案】（1）（千米）；（2）（万元）.【解析】（1）根据P位于弧的中点，则P位于的角平分线上，然后分别在正中求解. （2）设，，然后分别在表示 ，，在中由余弦定理表，再由求解.【详解】（1）由P位于弧的中点，在P位于的角平分线上，则，，由，且，∴为等边三角形，则，三条街道的总长（千米） ；（2）设，，则，，，，由余弦定理可知：，，则|，设三条街道每年能产生的经济总效益W，，，，，，，当时，W取最大值，最大值为（万元）．【点睛】方法点睛：解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．20．已知函数，（其中．(1)求函数的最大值；(2)若对任意，函数与直线有且仅有两个不同的交点，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)1；(2)． 【分析】（1）根据两和差的正弦公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数最值性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数的对称性，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】（1），所以函数的最大值为；（2）若对任意，函数与直线有且仅有两个不同的交点，则的周期为，又由，得，得．，，所以且，又，，则，所以，即的取值范围是．21．已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)在中，角所对应的边分别为，若，且，求的值；(3)设函数，记最大值为最小值为，若实数满足，如果函数在定义域内不存在零点，试求实数的取值范围．【答案】(1)最小正周期为；(2)的值为2；(3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用三角恒等变换化简函数，求出周期作答.（2）由（1）求出，再利用余弦定理求解作答.（3）利用（1）中函数求出，换元并结合单调性求出的最值，再利用对数函数性质求解作答.【详解】（1）依题意，，所以函数的最小正周期为.（2）因为，由（1）知，，解得，在中，由余弦定理得，即，而解得，所以的值为2.（3）由（1）（2）知，，，，则，令，则，因此，函数在上单调递增，，函数在上单调递增，因此在上，函数单调递增，单调递增，则，因为，即有，解得，函数，即在定义域内不存在零点，显然，即，，函数的定义域为，于是原问题转化为函数在上无零点，即的最大值小于1恒成立，显然当时，，有，解得，所以实数的取值范围为．【点睛】结论点睛：函数在区间上单调，函数在区间上单调，并且在上函数值集合包含于区间，则函数在区间上单调；如果与单调性相同，那么是增函数，如果与单调性相反，那么是减函数.